初中数学培训教程

线、线段、射线

1.过两点有且只有一条直线.

(简：两点决定一条直线)

2.两点之间线段最短

3.同角或等角的补角相等.

同角或等角的余角相等.

4.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

5.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.(简：垂线段最短)

平行线的判断

1.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行(简：平行于同一直线的两直线平行)

3.同位角相等，两直线平行.

4.内错角相等，两直线平行.

5.同旁内角互补，两直线平行.

平行线的性质

1.两直线平行，同位角相等.

2.两直线平行，内错角相等.

3.两直线平行，同旁内角互补.

三角形三边的关系

1.三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边.

三角形角的关系

1.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.

2.直角三角形的两个锐角互余.

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

4.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

全等三角形的性质、判定

1.全等三角形的对应边、对应角相等.

2.边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

3.角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

4.推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.

5.边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等.

6.斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

角的平分线的性质、判定

性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

判定：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上.

等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角).

2.推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.

3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.

4.推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.

等腰三角形判定

1等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

2.三个角都相等的三角形是等边三角形.

3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

线段垂直平分线的性质、判定

1.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.

2.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

3.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合.

轴对称、中心对称、平移、旋转

1.关于某条直线对称的两个图形是全等形

2.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

3.两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

4.若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

5.关于中心对称的两个图形是全等的.

关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

6.若两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称.

7.平移或旋转前后的图形是不变的.中心对称是旋转的特殊形式。

勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.

勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角①直角三角形中，如果一个锐角等于

30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.

②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半.

n边形、四边形的内角和、外角和

1.四边形的内角和等于360。.

2.四边形的外角和等于360。

3.多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）180。.

4.推论任意多边的外角和等于360°.

平行四边形性质

1.平行四边形的对角相等.

2.平行四边形的对边相等.

3.夹在两条平行线间的平行线段相等.

4.平行四边形的对角线互相平分.

平行四边形判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

5.一组对边平行相等的四边形是平行四边形

矩形性质

1.矩形的四个角都是直角.

2.矩形的对角线相等.

矩形判定

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.

2.有三个角是直角的四边形是矩形.

3.对角线相等的平行四边形是矩形.

菱形性质

1、菱形的四条边都相等.

2.菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3、菱形面积=对角线乘积的一半，即

菱形判定

1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2.四边都相等的四边形是菱形

3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

正方形性质

1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等.

2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

正方形判定

1.四个角都是直角，四条边都相等的四边形是正方形

2.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

等腰梯形性质

1.等腰梯形在同一底上的两个角相等.

2.等腰梯形的两条对角线相等.

等腰梯形判定

1.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

2.对角线相等的梯形是等腰梯形.

①经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.

②经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边.

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.

梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半，S=Lh

比例的基本性质如果a:b=c:dad=bc

相似三角形判定

1.定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

2.两角对应相等，两三角形相似.

3.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

4.三边对应成比例，两三角形相似

5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

相似三角形性质

1.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.

2.相似三角形周长的比等于相似比.

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.

4.位似图形是相似图形的特殊形式。位似比等于相似比。

圆

1.圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径.的点的集合.

3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合.

4.同圆或等圆的半径相等.

5.不在同一直线上的三点确定一个圆。

垂径定理

1.垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧.

推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.

4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.

5.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等.

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆

中，相等的圆周角所对的弧也相等.

②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°

的圆周角所对的弦是直径.

③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，

那么这个三角形是直角三角形.

三角形的外心，三角形外接圆的圆心，它是三边的中垂线的交点，到三个顶点的距离相等.

三角形的内心，三角形内切圆的圆心，它是三个内角的平分线的交点，到三边的距离相等.

直角三角形三边为a、b、c,c为斜边，则外接圆的半径；内切圆的半径

直线和圆的位置关系

①直线L和。0相交d<r

②直线L和。0相切d=r

③直线L和。0相离d>r

切线的判定：经过半径的外端且垂直于这切线

切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

切线长定理.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

圆和圆的位置关系

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

①两圆外离d>R+r

②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r<d<R+r(R>r)

④两圆内切d=R-r(R>r)

⑤两圆内含dVR-r(R>r)

正多边形和圆

①依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形n(n>3):

②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.定理任何正多边形都有一个外接圆和一

个内切圆，这两个圆是同心圆.

正n边形的每个内角都等于

定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

正三角形面积，a表示边长.

扇形弧长：

扇形面积：

圆柱的侧面积

圆柱的表面积

圆锥的侧面积

圆锥的表面积

幕的运算：

①aWO时a0=I，a-p=

②aman=am+n；(am)n=amn

③0的0次某没有意义

平方差：a2-b2=(a+b)(a-b)

完全平方:a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2

推广：a2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab

一次函数丫=1«+6(kWO)

k>0,y随x的增大而增大

k<0,y随x的增大而减少

正比例函数y=kx(kKO)

①k>0,y随x的增大而增大，直线y=kx经过(0,0),(1,k),经过第一、三象限

②k<0,y随X的增大而减少，直线y=kx经过（0,0）.（bk）,经过第二、四象限

反比例函数（kKO）

①k>0,双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随x的增大而减少.

②k<0,双曲线在第二、四象限，在每个象限内，随x的增大而增大当

一元二次方程ax2+bx+c=0（b2-4ac>0）根为

一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式.

b2-4ac=0方程有两个相等的实根.

b2-4ac>0方程有两个不等的实根.

b2-4ac<0方程没有实根.

二次函数y=ax2+bx+c（aKO）。

b2-4ac=0抛物线与x轴只有一个公共点.

b2-4ac>0抛物线与x轴有两个交点

b2-4ac<0抛物线与x轴有没有公共点.

①抛物线的一般式：y=ax2+bx+c。（aHO）

②抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k。

顶点（h,k）,对称轴为直线

最大（小）值为（左同右异）

③抛物线的两根式：y=a（x-xl）（x-x2）

常见的勾股数（整数）3,4,5；6,8,10：5,12,13;8,15,17,9,40,41等。

常见的无理数；，，等等

21.41441.732七2.236

锐角三角函数

0°30°45°60°90°

sin01/2■42112也/21

cos1也/2A/2/21/20

tan0心/31也/

有效数字：从左边第一个不是。的数起，到最后一个数止。如0.03120有效数字为3、1、2,0共4个有效数字。

中位数：把一列数从大到小（或从小到大）排列，若有奇数个数，中间一个为中位数，若有偶数个数，中间两个的平均数为中位数.

（2）方差公式：.五个连续整数的方差是2,标准差为根号2.

第一节直角与勾股

1.（2010浙江台州市）如图，ZVIBC中，ZC=90°,AC=3,点P是边BC上的动点，则AP长不可限是（）

cB

（第3题）

A.2.5B.3C.4D.5

2.（2010山东临沂）如图，A4BC和ADCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接80,

则BD的长为

(第13

(A)G(B)2G(C)373(D)4G

3.（2010四川萨州）在AABC中，A8=6,AC=8,BC=10,则该三角形为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

4.（2010广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm,现将△ABC折叠，使点B与点A重

合，折痕为。E,则8E的长为

(A)4cm(B)5cm(C)6cm(D)10cm

C

第15题

5.（2010广西南宁）图1中，每个小正方形的边长为1,AA3C的三边的大小关系式:

(A)a<c<b(B)a<h<c

(C)c<a<b(D)c<b<a图1

6.（2010广东湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（)

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6

7.（10湖南益阳）如图4,在△/7归中，AB=AC=^力〃是底边上的高，E为比中点,则然=,

8.（2010辽宁丹东市）已知△秋。是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△/比的斜边4。为直角边，画第二个等腰Rt△力切,

再以RI△力切的斜边力〃为直角边，画第三个等腰RI△力场；…，依此类推，第〃个等腰直角三角形的斜边长是.

第15题

9.（2010浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所

谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理.在右图的勾股图中，已知NACB=90°,NBAC=30°,

AB=4.作^PQ!?使得NR=90°,点H在边QR上，点D,E在边PR上，点G,F在边_PQ上，那么APQR的周长等于.

10.（2010四川宜宾）已知，在△A8C中，NA=45。，AC=巾,AB=#+1,则边BC的长为.

11.（2010湖北鄂州）如图，四边形4BCD中，AB=AC=AD,E是CB的中点，AE=EC,NBAC=3NDBC,BD=&j2+6\[6,

则AB=.

BEC

12.（2010河南）如图，Rt^ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AB=6.点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C

重合），且DA=DE,则AD的取值范围是.

D

13.（2010四川乐山）如图（4）,在■中，CD是斜边AB上的高，NACD=40°,则NEBC=

14.（2010四川乐山）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.图（6）是•棵

由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S,

第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S,…，第”个正方形和第〃个直角三角形的面积之和为除设第一个正方形的边

长为1.

图（6）

请解答下列问题：

（1）5=________；

（2）通过探究，用含〃的代数式表示S”则5=

15.（2010江苏镇江）如图，Rt^ABO^p,ZACB=90°,DE过点c,且DE//AB,若NAC£>=50°,则

ZA=,NB三

16.（2010广西玉林、防城港）两块完全一样的含30角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块的斜

边刚好过下面一块的直角顶点，如图6,ZA=30\AC=10,则此时两直角顶点C、C'间的距离是.

图6

17.（2010福建泉州南安）将一副三角板摆放成如图所示，图中Z1=

（第10题图）

18.（2010广西钦州市）一个承重架的结构如图所示，如果Nl=155。，那么N2=

19.（2010山东淄博）如图是由4个边长为I的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以

作出长度为的线段条.

（第15题）

20.（2010年山西）在MA46O中,NACS=90°,D是AB的中点，CD=4cm,贝ljAB=cm。

21.（2010黑龙江绥化）Rt^ABC中，ZBAC=9O°,AB=AC=2,以AC为一-边，在AABC外部作等腰直角三角形ACD,

则线段BD的长为o

22.（2010浙江杭州）（本小题满分10分）

如图，AB=3ACfBD=34£,又BD〃AC,点、B,A,E在同一条直线上.

（1）求证：bABDs〉CAE\

（2）如果AC=80,AD=2V2BD,设=m求BC的长.

E

23.（2010湖北孝感）（本题满分10分）

［问题情境］

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚

曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。

（定理表述］

请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；（3分）

b.BbE°C

（第21囱图2）

［尝试证明］

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以Q+b为高的直角梯形（如图2）,请你利用图2,验证勾股定理；（4

分）

［知识拓展］

利用图2中的直角梯形，我们可以证明"2<J5.其证明步骤如下：

C

•/BC=a+b,AD=_______。

又•••在直角梯形ABCD中有BC____AD（填大小关系），即_______,

a+hrr

..<A/2.（3分）

C

24.（2010山东荷泽）（本题满分8分）如图所示，在RtZXA8c中，NC=90°,乙4=30,8。是NA8C的平分线，CD=

5cm,求A8的长.

B

C

AD

20题图

第二节三角形

1.（2010浙江宁波）如图，在△ABC中，AB=AC,N4=36°,BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线,

则图中的等腰三角形有

（A）5个（B）4个（03个（D）2个

（第10题）

2.（2010浙江义乌）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段用=5,则线段PB的长度

为（▲）

A.6B.5C.4D.3

3.（2010江苏无锡）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（）

A.两边之和大于第三边B.有一个角的平分线垂直于这个角的对边

C.有两个锐角的和等于90°D.内角和等于180°

4.（2010黄冈）如图，过边长为1的等边AABC的边AB上一点P,作PE_LAC于E,Q为BC延长线上一点，当PA=CQ

时，连PQ交AC边于D,则DE的长为（）

I12.

A.—B.—C.-D.不能确定

323

第15题图

5.（2010山东烟台）如图，等腰△ABC中，AB=AC,NA=20°。线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,

则NCBE等于

A、80°B、70°C、60°D、50°

（*5«R）

6.（2010江西）己知等腰三角形的两条边长分别是7和3,则下列四个数中，第三条边的长是（）

A.8B.7C.4I）.3

7.（2010湖北武汉）如图，Z\ABC内有一点D,且DA=DB=DC,若NDAB=20°,NDAC=30°,则NBDC的大小是（）

A.100°B.80°

C.70°D.50°

8.（2010山东威海）如图，在△ABC中，D,E分别是边AC,AB的中点，连接BD.若8。平分NABC,则下列结论错误

的是（）

B

A.BC=2BE

B.ZA=ZEDA

C.BC=2AD

D.BDVACc

9.（2010湖南株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、8是两格点，如果C也是图中的格点,

且使得AABC为等腰三角形，则点C的个数是

A.6B.7C.8D.9

10.（2010云南楚雄）已知等腰三角形的一个内角为70。，则另外两个内角的度数是（）

A.55°,55°B.70°,40°C.55°,55。或70。，40°D.以上都不对

11.（2010湖北随州）如图，过边长为I的等边AABC的边AB上一点P,作PE_LAC于E,Q为BC延长线上一点，当PA

=CQ时，连PQ交AC边于D,则DE的长为（）

112

A.—B.—C.—D.不能确定

323

第15题图

2x-y=3,

12.（2010湖北襄樊）已知：一等腰三角形的两边长x、y满足方程组《则此等腰三角形的周长为（）

3x+2y=8,

A.5B.4C.3D.5或4

13.（2010山东东营）如图，点C是线段AB上的一个动点，△AC。和ASCE是在A3同侧的两个等边三角形，DM,EN分

别是△ACQ和△8CE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动（不与点A,B重合），连接得到四边形。MNE.这

个四边形的面积变化情况为（）

（A）逐渐增大（B）逐渐减小（C）始终不变（D）先增大后变小

CV'MB。

14.（2010广东汕头）如图,把等腰直角aABC沿30折叠，使点A落在边3C上的点E处.下面结论错误的是（）

A.AB=BEB.AD=DCC.AD=DED.AD=EC

,A

15.（2010重庆江津）已知：AABC中，AB=AC=X,BC=6,则腰长X的取值范围是（）

A.0<X<3B.x>3

c.3<x<6D.x>6

,Ac

（第6题）

16.（2010重庆江津）如图，在RtaABC中，AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且NDAE=45°,将△AOC绕点A顺时

针旋转90°后，得到△A尸3,连接石尸.下列结论中正确的个数有（）

①ZEAF=45°ABEACD

③EA平分NCEF④BE2+DC2=DE2

A.1个B.2个C.3个D.4个

(M9JI)

17.（2010广东茂名）如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得EF=5

米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是

A、15米B,20米C、25米D、30米

18.(2010广东深圳)如图1,Z^ABC中,AC=AD=BD,ZDAC=80°.则NB的度数是

A.40°B.35°C.25°D.20°

19.（2010贵州铜仁）如图，小红作出了边长为1的第1个正△A|B|G，算出了正△AIBQI的面积，然后分别取△A|B|G三

边的中点A2,B”C2,作出了第2个正2c2，算出了正AAzB2c2的面积，用同样的方法，作出了第3个正AAsB3c3，算出了

正3c3的面积……，由此可得，第8个正△AljBiiCs的面积是（）

A-¥畤B.#x（g）8C,中x（?

20.（2010四川广安）等腰三角形的两边长为4、9,则它的周长是

A.17B.17或22C.20D.22

21.（2010黑龙江绥化）如图所示，已知AABC和ADCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点

O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连结OC、FG,则下列结论：①AE=BD②AG=BF③FG〃BE@ZBOC=ZEOC,

其中正确结论的个数（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

笫10题图

22.（2010广东清远）等腰三角形的底角为40。，则这个等腰三角形的顶角为（）

A.40°B.80°C.100°D.100°或40°

23.如图，AD是AABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出4ABC是等腰三角形的是

（把所有正确答案的序号都填写在横线上）

①NBAD=NACD②NBAD=NCAD,③AB+BD=AC+CD@AB-BD=AC-CD

24.（2010广东广州，16,3分）如图4,8。是△ABC的角平分线，ZABD=36°,NC=72。，则图中的等腰三角形有

25.（2010江苏无锡）如图，△48C中，必•垂直平分4C交48于6,Z#=30",ZACB=80°,则N比左▲

（第16题）

26.（2010江苏泰州）等腰△ABC的两边长分别为2和5,则第三边长为.

27.（2010四川眉山）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二

个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进

行分割，……，则得到的第五个图中，共有个正三角形.

28.（2010浙江绍兴）做如下操作：在等腰三角形ABC中,AB=AC,AQ平分N8AC,交8c于点。.将△ABD作关于直线AD

的轴对称变换,所得的像与△ACD重合.对于下列结论:①在同一个三角形中,等角对等边;②褥蝙个三角形中,等边对等角;③等腰

三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合.由上述操作可得出的是（将正确结论的序号都填上）.

29.（2010江苏淮安）己知周长为8的等腰三角形，有一个腰长为3,则最短的一条串位线长为.

30..（2010山东滨州）如图，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2.EM+CM

的最小值为

31.（2010四川内江）下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形有4个，图2中以

格点为顶点的等腰直角三角形有个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形有个，图4中以格点为顶点的等

腰直角三角形有个.

32.（2010湖南湘潭）/XABC中，若NA=80",ZB=50G,AC=5,则AB=.

33.（2010广西桂林）如图：己知AB=10,点C、£>在线段AB上且AC=£>8=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为

边在线段48的同侧作等边AAEP和等边△PFB,连结EF,设EF的中点为G;当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的

长是.

34.（2010广西钦州市）如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD°_LBC,垂足为点O（）.过点%作垂足

为点。I；再过点作D|2J_AA，垂足为点。2；又过点。2作LAB,垂足为点小；……；这样一直作下去，得到一组线

段：DoDpD）D2,D2DJ,……，则线段4的长为4（"为正整数）.

第10题

35..（2010年山西）如图，在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,D是AB的中点，过点D作DE_LAC于点E,则DE的长是

36.（2010天门、潜江、仙桃）从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形

纸片的底角等于.

0

37.（2010四川攀枝花）如图8,在△ABE3,AB=AC=2,ZBAC=9O，直角NEPF的顶点P是BC的中点，两边PE,PF分别交AB,

AC于点E,F.给出以下四个结论：①BE=AF,②的最小值为一,③tanNPEF=—,@S加*1.当NEPF在AABC内绕顶点

23

P旋转时（点E不与A,B重合），上述结论始终正确是（将正确的命题序号全部写上）

38.（2010湖北黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC,NA=30。，AB的垂直平分线交AC于。，则NCBD的度

数为.

（13题图）

39.（2010辽宁丹东市）如图，已知等边三角形/及7中，点。，E,尸分别为边4?,AC,比■的中点，M为直线比上一动点，

△。肺为等边三角形（点材的位置改变时，也随之整体移动）.

（1）如图①，当点在点6左侧时，请你判断加与版有怎样的数量关系？点厂是否在直线松上？那道富竣写出结论，不必

证明或说明理由；

（2）如图②，当点M在加上时，其它条件不变，（1）的结论中加与物的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明：

若不成立，请说明理由；

（3）若点』/在点，右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中研'与朋•的数量关系是否仍然成立?若成立？

请直接写出结论，不必证明或说明理由.

A

AA

图①图②图③

第25题图

40.（2010福建晋江）（13分）如图，在等边AA/C中，线段AM为边上的中线.动点。在耳缱AM上时，以CO

为一边且在CD的下方作等边bCDE,连结BE.

（1）填空：ZACB=度；

（2）当点D在缱毯AM上（点D不运动到点A）时，试求出一7的值：

（3）若A8=8,以点C为圆心，以5为半径作。C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中（点D与点A重

m

合除外），试求PQ的长.

41.（2010山东济南）（1）如图,已知A3=AC,AD^AE.求证8沙用电E.备用图⑵

BDEC

42.（2010湖南衡阳）已知：如性L在等边三角形ABC的AC边上取中点。，8C的延长线上取一点E,使CE=CD.求证：

BD=DE.

A

BCB

43.（2010山东省德州）如图，点E,尸在BC上，BE=CF,ZA=ZD,NB=NC,AF与OE交于点O.

⑴求证：AB=DC\

（2）试判断△0E”的形状，并说明理由.

44.（2010江苏常州）如图，在AABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE,ZDBC=ZECBo

求证：AB二AC。

（胡22题）

45.（2010四川内江）如图，/XACO和△BCE都是等腰直角三角形，ZACD=ZBCE=90°,4E交。C于F,80分别交C£,

AE于点G、H.试猜测线段AE和3。的位置和数量关系，并说明理由.

46.（2010福建三明）如图，AACB和ABC。都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90",D为AB边上一点。

（1）求证：AACE^ABCD：（5分）.

（2）若AD=5,BD72,求DE的长。（5分一

（第18HB3）

47.（2010湖北襄樊）如图5,点E、C在BF上，BF=FC,NABC=NDEF=45：NA=ND=90°.

（I）求证：Aff=DE；

（2）若AC交DE于M,且AB=ME=O,将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角N

ECG的度数.

48.（2010内蒙古包头）如图，已知△ABC中，A3=AC=1（）厘米，BC=8厘米，点。为A8的中点.

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点。在线段CA上由C点向A点运动.

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，ABPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点。的运动速度与点。的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过

多长时间点p与点。第一次在△ABC的哪条边上相遇？

A

A

49.（2010湖北十堰）如图，/XABC中，AB=AC,CE1AB.求证：BD=CE.PC

A

A

BC

（第19题）

（2010广东深圳）如图8,AAOB和△COD均为等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,D在AB上

（1）求证：△AOCtaBOD；（4分）

A

（2）若AD=1,BD=2,求CD的长。（3分）

0B

图8

第三节相似

1.（2010江苏苏州）如图，在AABC中，D、E两点分别在BC、AC边上.若BD=CD,ZB=ZCDE,DE=2,则AB的长度

是

A.4B.5

C.6D.7

A