1.1.4集合的运算（十三大题型提分练）

1.1.4集合的运算题型1：交集的概念及运算1．交集的性质：①A∩BA；②A∩BB；③A∩A＝；

④A∩＝；⑤A∩BB∩A.【答案】=【解析】略2．集合，，则.【答案】【分析】根据交集的定义求解即可.【解析】，所以.故答案为：.3．已知集合，则．【答案】【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【解析】集合，则.故答案为：4．，，则图中阴影部分表示的集合为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】图中阴影部分表示的是集合的交集部分，根据集合交集得到结果即可.【解析】图中阴影部分表示的是集合的交集部分，，由集合交集运算得到结果为：故选：A.5．已知，，则．【答案】【分析】联立方程求得交点坐标即可求出两集合的交集.【解析】，，联立，解得，所以.故答案为：.题型2：根据交集结果求参数6．已知集合，，若，则．【答案】3【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.【解析】集合，，由，得，又，因此，所以.故答案为：37．已知集合，若，则.【答案】【分析】根据题意，结合集合交集的定义与运算，即可求解.【解析】由集合，因为，根据集合交集的定义与运算，可得.故答案为：.8．已知，，若，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据可求得实数的取值范围.【解析】因为，，且，则.故答案为：.9．已知集合，，，若，且，则实数的值为．【答案】【分析】根据题意可得，即可将3代入，求得a的值。验证后即可确定答案.【解析】由题意，且，可得,故，解得或，当时，，不满足；当时，，符合题意，故实数的值为，故答案为：题型3：并集的概念及运算10．已知集合，，则．【答案】【分析】利用并集的运算性质就可以得到结果.【解析】.故答案为：11．已知集合，，则【答案】【分析】根据并集运算求解即可.【解析】由题意可得：.故答案为：.12．已知集合，则．【答案】【分析】求出和，得到答案.【解析】由题意得，解得，故，，故，故，故答案为：13．设集合，，，则．【答案】【解析】根据，，利用交集的定义求得，再利用并集的定义与求解.【解析】因为集合，，所以，又因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.14．设集合A={x|-4≤x<2}，B={x|-1<【答案】x|-【解析】先根据A={x|-4≤x<2}，B={x|-1<【解析】因为集合A={x|-4≤所以A∪又因为C=x|所以(A∪B)∩C故答案为：x|-【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.题型4：根据并集的结果求参数或集合15．已知集合，若，则实数=.【答案】【分析】根据集合的并集运算结果得到，考虑和两种情况，计算得到答案.【解析】，，则，若，则，，满足条件；若，无解；综上所述：.故答案为：.16．已知集合，，且，则实数的取值范围是.【答案】【分析】按并集定义计算即可得解.【解析】，又所以故答案为：17．若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为．【答案】7【分析】根据子集关系可分类求解，进而得到，根据子集的个数公式即可求解.【解析】由可得，由于，所以，当时，，当时，则，解得，当时，则，解得，所以,故Q的真子集个数为，故答案为：7题型5：补集的概念及运算18．已知全集为R，集合，则.【答案】【分析】根据补集概念求解即可.【解析】全集为R，集合，则.故答案为：19．已知集合，则．【答案】【分析】利用集合的补集和交集运算求解.【解析】解：因为集合所以又，所以，故答案为：20．若全集，则用列举法表示集合_________【答案】【分析】由补集的定义即可求解【解析】故答案为：21．已知，则=【答案】【分析】进行交集和补集的运算即可.【解析】或，.故答案为：.题型6：根据补集运算确定参数或集合22．已知，，且，则实数p的取值范围是【答案】【分析】结合已知条件，利用补集概念求出，然后利用集合间包含关系即可求解.【解析】因为，所以，因为，且，所以，解得，故实数p的取值范围是.故答案为：.23．设，，，则实数的值是.【答案】8【分析】根据全集，补集概念得即可解决.【解析】由题知：，，，所以，得，故答案为：8.24．已知全集为U，集合A={1，3，5，7}，={2，4，6}，={1，4，6}，则集合B=；【答案】{2，3，5，7}【分析】直接先求出集合U，即可得到集合B.【解析】因为A={1，3，5，7}，={2，4，6}，所以U={1，2，3，4，5，6，7}.又={1，4，6}，所以B={2，3，5，7}.故答案为：{2，3，5，7}25．设全集，集合，则.【答案】或2【分析】根据补集的性质，再根据集合相等的概念列方程组，从而可得结论.【解析】由题意，根据补集的性质，∴，解得或，故答案为：或2.【点睛】本题的考点是集合关系中的参数取值问题，主要考查集合的基本运算，补集的性质，集合相等的概念，是基础题.题型7：交、并、补混合运算26．已知全集，集合，集合，则【答案】【分析】根据交集、补集的运算直接求解【解析】由题可得，所以，故答案为：.27．若全集，则集合．【答案】【分析】根据集合的运算求解即可.【解析】因为，所以，故答案为：28．若，，，则．【答案】【解析】先求得集合A、B，再由集合的补集运算、交集运算可得答案.【解析】因为，，所以，又，所以，故答案为：.29．已知全集，集合，集合，则=.【答案】【分析】先求集合，再求，进而求交集即可.【解析】集合，，所以，所以.故答案为：30．已知，，，则等于【答案】或【解析】根据集合的并交补运算法则计算即可.【解析】解：因为，，所以或故答案为：或.【点睛】本题考查集合的并交补运算，属于基础题.题型8：文氏图（Venn图）31．设全集为，集合是的子集，用交、并、补运算符号表示图中阴影部分集合为．【答案】【分析】根据图，得到集合关系即可.【解析】由图可知元素属于但不属于，即阴影部分对应的集合为，故答案为：32．设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】由并集的概念以及韦恩图的辨析即可得解.【解析】由题意，那么图中的白色部分所表示的集合是.故选：C.33．集合A，B，C是全集U的子集，且满足A∪B=A．A∩B=C．(∁UA【答案】C【分析】令C=A【解析】若C=由图知：A∩B=A∩C、B=C、故选：C34．已知是全集，是的三个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来．【答案】【分析】根据分析即可.【解析】由题知，图中的阴影部分为，故答案为：.35．如图表示图形阴影部分的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是B的元素且C的元素，或是A的元素”，由韦恩图与集合之间的关系可得答案．【解析】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素故可以表示为，也可以表示为：.故选：B．36．如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】分析出阴影部分为和的子集，从而选出正确答案.【解析】题图中的阴影部分是的子集，不属于集合S，故属于集合S的补集，即是的子集，则阴影部分所表示的集合是故选：C题型9：根据交、并、补混合运算确定集合或参数37．已知全集．若集合、满足，，则．【答案】【分析】充分理解集合的运算的定义即可得出答案.【解析】说明；说明，所以.或解：故答案为：38．若已知A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有个．【答案】4【分析】利用交集和交集的性质，列举出满足条件的集合A，由此能求出结果．【解析】解：∵A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}∴满足条件的集合A有：A＝{0，1}，A＝{﹣2，0，1}，A＝{0，1，2}，A＝{﹣2，0，1，2}∴满足上述条件的集合A共有4个．故答案为：4．39．已知集合或，且，则实数的取值范围是【答案】【分析】先求出，根据，结合数轴求出实数的取值范围.【解析】解：∵或，∴，又∴故答案为：【点睛】本题考查交并补运算，考查利用数轴处理集合间的关系，属于基础题.40．已知集合，，若集合中仅有一个元素，则实数m的取值范围是【答案】【分析】由集合中仅有一个元素知，与有一个交点，去掉绝对值号分析即可.【解析】因为，当时，由知，时，无数个解，时，无解，不符合题意，当时，由知，当时有一解，故,当时，即时无解，所以集合中仅有一个元素时，即方程有一解，综上.故答案为【点睛】本题主要考查了分类讨论思想，集合描述法的理解，方程根的问题，属于中档题.41．已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是.【答案】【分析】通过集合运算得出，对集合进行分类讨论，时显然成立，时无解.【解析】当时，，满足题意.当时，时，解得综上所述，.故答案为：题型10：根据交、并、补混合运算确定元素或集合的个数42．已知集合，，则集合中元素的个数为A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】先计算出，再算出，可得中元素的个数。【解析】当，对应，，则，中有4个元素.故选：A【点睛】本题考查集合并运算，是一道基础题.43．集合中有3个元素，集合中有7个元素，则集合的子集个数最多为（

）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】D【分析】根据交集和并集分析可得集合的元素个数最多有7个，进而求子集个数的最大值.【解析】设集合分别有个元素，由题意可知：，即，可知：当且仅当时，取到最大值7，即集合的元素个数最多有7个，所以集合的子集个数最多为个.故选：D.44．若集合，，，则集合中的元素个数是.【答案】【分析】求出集合、，可求出集合，即可得解.【解析】因为集合，，，则，，所以，，故集合中的元素个数是.故答案为：.45．已知全集中有m个元素，中有n个元素，若非空，则的元素个数为（

）.A．m B．n C． D．【答案】D【分析】利用已知条件得，即可得出结果.【解析】∵中有m个元素，中有n个元素，又非空，∴中有个元素.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的运算以及集合元素的个数.属于较易题.题型11：容斥定理的应用46．已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（

）A．25 B．23 C．21 D．19【答案】C【分析】根据进行求解.【解析】设高三（1）班有51名学生组成的集合为，参加田赛项目的学生组成的集合为A，参加径赛项目的学生组成的集合为，由题意集合A有17个元素，有22个元素，中有9个元素，其中，所以有个元素.所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为.故选：C.47．高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（

）人，只学习必修一的有（

）人.A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9【答案】D【分析】利用韦恩图法即可快速求解.【解析】设同时学习必修二和选修一的有x人，则，解得，即同时学习必修二和选修一的有3人，则只学习必修一的有（人），故选：D..48．已知全集，，则集合B的元素个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．不确定【答案】B【分析】由已知求出全集，再由可知中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，从而可求出中的元素.【解析】因为全集，，所以中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，且除了1，3，5，7，中有的其他数字，中也一定会有，中没有的数字，中也一定会有，所以，故选：B49．已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数为个．【答案】【分析】法一：由韦恩图判断；法二：由及补集概念即可求.【解析】法一：因为中有个元素，如图所示阴影部分，又中有个元素，故中有个元素；法二：因为有个元素，又全集中有个元素，故的元素个数个．故答案为：.题型12：集合新定义50．高一的花花发现对于一个有限集，一般都可以找到两个非空数集和，满足，且，记集合为的一个“划分集”.若中有个元素，则不同的“划分集”共有个.（用含的表达式填空）【答案】/【分析】集合中的每个元素都有属于或属于两种情况，共有种情况，排除空集和考虑对称情况得到答案.【解析】集合中的每个元素都有属于或属于两种情况，故共有种情况，排除全都属于或的两种情况，考虑对称情况，故不同的“划分集”共有个.故答案为：.51．设集合为正整数，记为同时满足下列条件的集合的个数：①，②若，则，③若，则，则【答案】【分析】任取偶数，将除以2，若商仍为偶数，再除以，，经过次后，商必为奇数，此时商为，从而，的是否属于，由是否属于确定，求得的表达式，即可求解.【解析】任取偶数，将除以2，若商仍为偶数，再除以，，经过次后，商必为奇数，此时商为，从而，其中为奇数，，由题意知，若，则等价于为偶数；若，则等价于为奇数，所以是否属于，由是否属于确定，设是中所有奇数的集合，所以是的子集个数，当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数为（或），所以，所以.故答案为：.52．已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则.【答案】【分析】根据互斥子集的概念分情况讨论即可.【解析】根据互斥子集的概念可知，当集合中有个元素时，集合中有个元素，且，，则集合有个，则共个，当集合中有个元素时，集合中有个元素，且，，则集合有个，则共个，集合中有个元素时，集合中有个元素，且，，则集合有个，则共个，所以满足互斥子集的个数，故答案为：.53．已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（

）A． B． C． D．的关系无法确定【答案】C【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解.【解析】，有，从而有，进一步，即，所以，，有，从而有，进一步有，即，所以，综上所述，有.故选：C.题型13：解答题54．若集合(1)用列举法表示集合.(2)若，求实数的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）解一元二次方程即可；（2）根据并集的结果得到集合的包含关系即可求解.【解析】（1）由解得或，所以.（2）因为，所以，由解得或，若，则，满足；若，则，因为，所以，综上或.55．已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)结合已知条件，利用集合间的包含关系得到不等式组，进而得到答案；(2)分类讨论集合是否为空集即可求解.【解析】（1）因为，，，所以，解得.故实数的取值范围为.（2）由可知，或，①当时，，即，满足题意；②当时，则，即.由可知，或，即或，综上所述，实数的取值范围为.56．已知，且，若，求实数的取值范围．【答案】【分析】由得，由得，求解即可.【解析】由得，即.由得，解得.故实数的取值范围为57．设集合，，(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可知，代入集合分类讨论的取值即可得；（2）根据并集结果可得，再对集合是否为空集进行分类讨论即可得出实数的取值范围.【解析】（1）由集合可得，由可得，故，解得或，当时，，此时不满足题意，舍去，当时，，满足题意，故；（2）由得，当时，即时，满足题意；当时，即时，满足题意；当时，即时，，解得，综上可得，或；即实数的取值范围为.58．已知集合为非空数集，定义：，(1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）；(2)若集合，且，求证：(3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值．【答案】(1)，(2)见解析(3)1349【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可;（2）根据集合相等的概念，能证明；（3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可.【解析】（1），，集合，集合.（2），，且，T中也只包含4个元素，即，剩下的元素满足，；（3）设集合满足题意，其中，则，，，由容斥原理，，的最小元素为0，最大元素为，，解得实际上时满足题意，证明如下：设，则，题意有，即，m的最小值为675，当m=675时，集合A中元素最多，即时满足题意综上，的最大值为1349.【点睛】关键点点睛：根据所给定义判断，据此得出，由关系，得出关于不等式，求出最小值即可得解.一、填空题1．已知集合，若，满足条件的所有集合B中元素的和.【答案】36【分析】由题意可知，将等式两边平方整理得，根据判别式可得，再依次经检验得，再根据可得满足条件的所有集合B，即可计算元素的和.【解析】根据题意，将等式两边平方得继续平方整理得，故该方程有解；所以，即，解得.又因为，故；当时，即，解得，代入验证可知不符合题意；当时，即，解得或，代入验证可知符合题意；当时，即，解得，代入验证可知符合题意；当时，即，解得，代入验证可知符合题意；故，由，可知集合B是集合A的子集；所以，满足条件的所有集合B共有，，，，，，，所以，所有元素之和为.故答案为：36.2．设集合,集合有个元素，且，若所有可能的的各个元素之和是，则的所有可能值为.【答案】或【分析】分别考虑，然后得出结论.【解析】当时，，元素和为：，不符；当时，，每个数字出现次，元素和为：，不符；当时，，每个数字出现次，元素和为：，符合；当时，，每个数字出现次，元素和为：，符合；当时，，每个数字出现次，元素和为：，不符合；综上：或.【点睛】本题考查集合间的关系的应用，难度较难.采用列举法的时候，最好可以按照从小到大或者从大到小的顺序去列举，避免造成遗漏.3．对于两个集合，满足.且中元素个数不属于中元素个数不属于.求满足题意的不同的的个数为.【答案】【分析】确定，考虑中的元素个数为几种情况，计算得到答案.【解析】，，当的元素个数为时，中的元素个数为，此时且，1种情况；当的元素个数为时，中的元素个数为，此时且，4种情况；当的元素个数为时，中的元素个数为，不成立；当的元素个数为时，中的元素个数为，根据对称性知有4种情况；当的元素个数为时，中的元素个数为，根据对称性知有1种情况；综上所述：共有10个不同的满足条件.故答案为：.4．设，，且，则a＝，b＝．【答案】【分析】根据交集的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【解析】因为，所以方程组有实数解，即方程有实数解，所以，因为，所以，，，得，所以由，由，因此，而，所以，故答案为：；5．设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足：（1）对于任意，，若，则；（2）对于任意，，若，则下列命题正确的是填序号若有个元素，则有个元素；若有个元素，