江苏省大丰市新丰中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题

20172018学年度第二学期期中考试高二数学试题说明：(1)试卷满分160分，考试时间120分钟.(2)本试卷分为第Ⅰ卷（填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分.(3)请将答案写在答题纸对应的区域内，否则答案无效.（第Ⅰ卷）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应的位置上)视力0.250.500.751.001.75（第6题）2、已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为______3、抛物线的准线方程为______.4、函数的单调递减区间为________．5、命题，命题，则是的________条件．6、从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右上图．若某高校A专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中最多有人能报考A专业．7、袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为．8、根据右图所示的伪代码，可知输出的结果S为．9、已知曲线y=lnx的切线过原点，那么此切线的斜率为.

10、已知双曲线的左右焦点分别为以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，若，则它的离心率为__________.11、若函数有三个单调区间，则b的取值范围是__________12、已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是.13、设函数，若是f(x)的一个极大值点，则实数b的取值范围为.

14、已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设，则该椭圆的离心率=.

二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.）15、（本题满分14分）已知复数（m∈R）在复平面上对应的点为Z，求实数m取什么值时，点Z（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.16、（本题满分14分）在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球。（1）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率。（2）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样的规定公平吗？17、（本题满分14分）命题p：函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的定义域为R；命题q：函数g(x)＝eq\f(x＋a,x－2)在(2，＋∞)上是增函数．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18、（本题满分16分）在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门(该门为轴对称图形)，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长为6dm的材料弯折而成，BC边的长为2tdm.曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线C1是一段余弦曲线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为，此时记门的最高点O到BC边的距离为；曲线C2是一段抛物线，其焦点到准线的距离为，此时记门的最高点O到BC边的距离为.(1)试分别求出函数，的解析式.(2)要使得点O到BC边的距离最大，应选用哪一种曲线?此时，最大值是多少?19、（本题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点OxyABPEF（第18题）．设为椭圆在第一象限上的点，，分别为椭圆的左顶点和OxyABPEF（第18题）下顶点，且交轴于点，交轴于点．OxyABPOxyABPEF（第19题）（2）若为椭圆的右焦点，求点的坐标；（3）求证：四边形的面积为定值．20、（本题满分16分）已知函数(a为常数).(1)当时，求f(x)的单调区间；(2)若，且对任意的恒成立，求实数a的取值范围.

2017—2018学年度第二学期期中考试高二数学试题答案一、填空题1、∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<02、3、y=4、(0,1)5、充要6、187、8、129、10、11、12、【解析】因为集合A={x|x2+2x3≤0}={x|3≤x≤1}，B={x|2a≤x≤a2+1}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，所以且等号不能同时取得，解得a≤，故实数a的取值范围是.13、(∞，2)【解析】由条件得f(x)=[x3+(b4)x2+(44b)x+4b]ex，则f'(x)=[x3+(b1)x2+(42b)x+4]ex，易知f'(2)=0恒成立，满足题意.记g(x)=x3+(b1)x2+(42b)x+4，则g'(x)=3x2+2(b1)x+(42b)，又x=2是f(x)的一个极大值点，所以g'(2)<0，所以2b+4<0，解得b<2.14、【解析】由题意知A，B两点的坐标分别为，(0，a)，设点M的坐标为(x0，y0)，由AM=e·AB，得(*)因为点M在椭圆上，所以+=1，将(*)式代入，得+=1，整理得e2+e1=0，解得e=.二、解答题：15、3）点Z在第一象限，即复数z的实部虚部均大于0由，解得m＜―1或m＞3∴当m＜―1或m＞3时，点Z在第一象限.16、解用（x，y）表示甲，乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）共25种（1）设：甲获胜为事件A，则事件A包含的基本事件有（2，1）（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）（4，3）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）共10个，则P（A）=.（2）设获胜为事件B，乙获胜为事件C，事件B包含的基本事件有：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2）（4，1）共10个，则P（B）=所以因为，所以这样的规定不公平。17、解解:当p为真命题时，ax2，＋2x＋1>0恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,4－4a<0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a>1，))∴a>1.当q为真命题时，g(x)＝eq\f(x－2＋2＋a,x－2)＝1＋eq\f(a＋2,x－2)在(2，＋∞)上是增函数，∴a＋2<0，即a<－2.∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p与q一真一假，∴a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．18、解(1)对于曲线C1，因为曲线AOD的解析式为y=cosx1，所以点D的坐标为(t，cost1)，所以点O到AD的距离为1cost，而AB=DC=3t，则h1(t)=(3t)+(1cost)=tcost+4，1≤t≤.对于曲线C2，因为抛物线的方程为x2=y，即y=x2，所以点D的坐标为，所以点O到AD的距离为t2，而AB=DC=3t，所以h2(t)=t2t+3，1≤t≤.(2)由(1)知h'1(t)=1+sint<0，所以h1(t)在上单调递减，所以当t=1时，h1(t)取得最大值3cos1.又h2(t)=+，而1≤t≤，所以当t=时，h2(t)取得最大值.因为cos1>cos=，所以3cos1<3=.故选用曲线C2，当t=时，点O到BC边的距离最大，最大值为dm.19、解(本小题满分16分)解：（1）依题意，，，其中，解得．因为，所以．（2）由（1）知，椭圆的右焦点为，椭圆的方程为，①所以．从而直线的方程为：．②由①②得，．从而直线的方程为：．令，得，所以点的坐标为．（3）设（），且，即．则直线的方程为：，令，得．直线的方程为：，令，得．所以四边形的面积．20、解：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2ax=.当a=时，f'(x)=..................................2分由f'(x)<0及x>0，解得0<x<1，所以函数f(x)的单调减区间为(0，1)......................4分(2)方法一：设F(x)=f(x)(a2)x=ax2lnx(a2)x.因为对任意的x∈[1，e]，f(x)≥(a2)x恒成立，所以当x∈[1，e]时，F(x)≥0恒成立.F'(x)=2ax(a2)==.因为a<0，令F'(x)=0，得x1=，x2=<1.................7分①当0<≤1，即a≤1时，因为x∈(1，e)，所以F'(x)<0，所以F(x)在(1，e)上单调递减.因为对任意的x∈[1，e]，F(x)≥0恒成立，所以F(x)min=F(e)≥0，即ae21(a2)e≥0，解得a≥.因为>1，所以此时a不存在...................10分②当1<<e，即1<a<时，因为x∈时，F'(x)>0；x∈时，F'(x)<0，所以F(x)在上单调递增，在上单调递减.因为对任意的x∈[1，e]，F(x)≥0恒成立，所以F(1)=2>0，且F(e)≥0，即ae21(a2)e≥0，解得a≥.因为1<<，所以≤a<.......................13分③当≥e，即≤a<0时，因为x∈(1，e)，所以F'(x)>0，所以F(x)在(1，e)上单调递增，由于F(1)=2>0，符合题意...............15分综上所述，实数a的取值范围是...................16分方法二：因为f(x)≥(a2)x在x∈[1，e]上恒成立，即a(x2x)≥lnx2x在x∈[1，e]上恒成立.①当x=1时，此不等式恒成立，故此时a∈R..............6分②当x∈(1，e]时，a≥在x∈(1，e]上恒成立，令g(