第二章一元二次函数方程和不等式（13类题型清单）（原卷版）

第二章一元二次函数、方程和不等式（题型清单）01思维导图01思维导图0202知识速记知识点01：不等式的性质性质性质内容特别提醒对称性（等价于）传递性（推出）可加性（等价于可乘性注意的符号（涉及分类讨论的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同为正数可开方性知识点02：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．如果，有（当且仅当时，取“”号）特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.知识点03：基本不等式链（其中，当且仅当时，取“”号）知识点04：四个二次的关系4.1一元二次函数的零点一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．4.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.判别式二次函数(的图象一元二次方程()的根有两个不相等的实数根，()有两个相等的实数根没有实数根()的解集()的解集知识点05：解分式不等式5.11、分式不等式5.1定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。5.2分式不等式的解法①移项化零：将分式不等式右边化为0：②③④⑤0303题型归纳题型一作差法比较代数式的大小例题1．（2324高一上·浙江杭州·阶段练习）已知且，，则、的大小关系是（

）A． B． C． D．不能确定例题2．（2324高一上·浙江·期中）设，，则有（）A． B． C． D．例题3．（2324高一上·新疆·阶段练习）（1）比较与的大小：（2）已知，都是正实数，比较与的大小．巩固训练1．（2324高二上·陕西咸阳·阶段练习）设，则（

）A． B．C． D．P与Q的大小关系不确定2．（2324高一上·河南郑州·期中）设，，则a，b的大小关系为（

）A． B． C． D．3．（2324高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则A、B的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定题型二利用不等式求取值范围例题1．（2425高一上·全国·假期作业）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．例题2．（2324高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题3．（2425高一上·上海·假期作业）如果，则（1）的取值范围是；（2）的取值范围是；（3）的取值范围是；（4）的取值范围是.巩固训练1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．2．（2324高二下·山东青岛·期中）已知，则的取值范围是.3．（2024高三下·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为．题型三利用基本不等式求积的最大值例题1．（2324高二下·浙江宁波·期末）已知正实数x，y满足，则xy的最大值为．例题2．（2324高一上·重庆·期中）已知，且满足，则的最大值为．例题3．（2324高一上·贵州黔西·阶段练习）已知实数，，且，则的最大值为.巩固训练1．（2324高三上·河南·阶段练习）若，且，则的最大值为.2．（2425高一上·上海·假期作业）设，求二次函数的最大值．3．（2324高一上·江西宜春·阶段练习）利用基本不等式求下列式子的最值：(1)若，求的最小值，并求此时x的值；(2)已知x，y＞0，且x+4y=1，求xy的最大值；(3)若，求的最大值．题型四利用基本不等式求和的最小值例题1．（2324高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．例题2．（2324高二下·云南昆明·期中）已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．例题3．（2324高二下·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知，且，则的最小值是巩固训练1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，且，则的最小值是2．（2324高一下·上海黄浦·期末）已知正实数满足，则的最小值是.3．（2425高一上·上海·假期作业）（1）若，且，求：（i）的最小值；（ii）的最小值.（2）求的最小值.题型五商式的最值问题例题1．（2324高一下·江西吉安·期末）函数（）的最小值为（

）A． B． C． D．例题2．（2324高三上·吉林松原·阶段练习）若存在，使成立，则的取值范围是.例题3．（2324高一上·四川成都·阶段练习）(1)已知正数、满足，求的最小值；(2)求函数的最小值．巩固训练1．（2324高一上·上海闵行·期中）已知，的最小值为.2．（2024高一·全国·专题练习）已知，则的最大值是3．（2324高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值.题型六“1”的妙用例题1．（2324高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．例题2．（2324高二下·山东聊城·阶段练习）若，且，则的最小值为.例题3．（2324高二下·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为.巩固训练1．（2324高一下·湖南·期中）已知正数满足，则当取得最小值时，，．2．（2324高一下·云南玉溪·阶段练习）已知均为正数，且，则的最小值为.3．（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为．题型七条件等式求最值例题1．（多选）（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（

）A． B．C． D．例题2．（2324高二上·安徽六安·期末）已知，则的最大值为．例题3．（2324高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，.(1)求的最大值；(2)求的最小值.巩固训练1．（多选）（2324高二下·云南曲靖·阶段练习）已知正实数满足，下列说法正确的是（

）A．的最小值为25 B．的最大值为20C．的最小值为11 D．的最小值为12．（2024高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为3．（2324高二下·江苏苏州·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为．题型八基本不等式的恒成立问题例题1．（2324高一上·吉林延边·阶段练习）若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是.例题2．（2324高一上·云南昆明·期中）两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是.巩固训练1．（2324高一上·陕西汉中·期末）“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2324高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是.题型九解不含参的一元二次不等式例题1．（2024高一上·全国·专题练习）关于的不等式：的解集为（

）A． B．C．或 D．或例题2．（2425高一上·上海·假期作业）求不等式的解集：(1)；(2).例题3．（2324高一上·上海松江·期末）解下列不等式：(1):(2).巩固训练1．（1516高二上·甘肃白银·期末）不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．（2324高一上·上海·期中）不等式的解集为.3．（2024高一上·全国·专题练习）解关于的不等式.(1)；(2)4．（2425高一上·上海·假期作业）解下列不等式：(1)；(2)；(3).题型十解含有参数的一元二次不等式例题1．（2425高一上·上海·假期作业）解关于的不等式：(1)；(2).例题2．（2324高一上·辽宁·期中）（1）若不等式的解集为或，求，的值；（2）求关于的一元二次不等式的解集．例题3．（2324高一上·福建福州·期末）已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)解不等式.巩固训练1．（2324高一上·安徽·阶段练习）解关于的一元二次不等式．（结果用集合表示）2．（2324高三上·福建莆田·阶段练习）解关于的不等式：.3．（2324高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）求下列不等式的解集.(1)；(2)；(3).题型十一由一元二次不等式的解确定参数例题1．（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．例题2．（2324高一上·广东潮州·期中）若关于的不等式的解集为或，则的值为.例题3．（2324高一上·河北石家庄·期中）解决下列问题.(1)已知关于的不等式的解集为，求实数的值；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.巩固训练1．（多选）（2324高二下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（

）A． B．C． D．2．（2324高一下·江苏连云港·阶段练习）已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是3．（2425高一上·上海·假期作业）（1）若不等式的解集是，求的值；（2）已知不等式的解集为，求不等式的解集.题型十二一元二次不等式的有解问题例题1．（2324高二下·辽宁阜新·期末）若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是（

）.A．或 B．或C． D．例题2．（2024高三·全国·专题练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为.例题3．（2324高一上·四川泸州·期中）若函数，使不等式成立，则实数a的取值范围为巩固训练1．（2324高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（

）A．9 B．5 C．6 D．2．（2324高一上·湖北孝感·期中）已知命题：“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是.3．（2324高三上·上海·期中）若存在，使得，则实数a的取值范围．题型十三一元二次不等式的恒成立问题例题1．（2324高二下·江苏南京·期末）“，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值