北京市房山区2023-2024学年高一下学期学业水平调研（一）数学试题

房山区20232024学年度第二学期学业水平调研（一）高一数学本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.化成弧度是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据角度制与弧度制的互化公式求解【详解】因为，所以.故选：A2.已知且，则角的终边所在的象限是A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的定义，可确定且，进而可知所在的象限，得到结果.【详解】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，故选B.【点睛】该题考查的是有关根据三角函数值的符号断定角所属的象限，涉及到的知识点有三角函数的定义，三角函数值在各个象限内的符号，属于简单题目.3.已知向量，，则与（）A.平行且同向 B.平行且反向C.垂直 D.不垂直也不平行【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积的坐标表示即可得出判断．【详解】因为，所以，故选：C．4.要得到函数的图象，只需要将函数的图象A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】B【解析】【详解】因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位．本题选择B选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．5.下列函数中，最小正周期为且为奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB，根据诱导公式化简D的解析式，再根据正余弦型函数的奇偶性和周期性可判断CD.【详解】函数的最小正周期为，故A错误；函数，定义域为，定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数，故B错误；函数，函数定义域为R，由，函数是偶函数，故C错误；函数，函数定义域为R，由，函数为奇函数，最小正周期为，故D正确.故选：D.6.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据函数图象，由，求得周期，进而得到，再根据点在图象上即可求解．【详解】由图象知，，即，则，所以，因为点在图象上，所以，即，因为，所以，故选：C．7.设是非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为，所以，则，解得，所以，故充分性成立；当时，或，则或，故必要性不成立；综上，“”是“”的充分不必要条件.故选：A8.若向量满足，，且，则向量与夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设向量与的夹角为，由得，根据平面向量数量积的运算律求解即可．【详解】设向量与的夹角为，由得，，即，因为，所以，故选：B．9.已知是实数，则函数的图象不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由实数的取值范围，讨论函数的最值和周期，对选项中的图象进行判断.【详解】当时，，且的最小值为正数，故A正确；当时，，且的最小值为负数，故B正确；当时，，故C正确；在选项D中，由振幅得，则，而由图象知，故D错误.故选：D.10.设函数在区间上是单调函数，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由在区间上是单调函数得出，由分析出的值，即可计算出．【详解】因为在区间上是单调函数，且，所以，解得，又因，所以是一条对称轴，是的一个对称中心，若和是同一周期中相邻的对称轴和对称中心，则，即，符合题意若和是同一周期不相邻的对称轴和对称中心，则，即，不合题意，又，所以，故选：A．第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.______．【答案】【解析】【分析】将所求式子中的角变形为，然后利用诱导公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【详解】．故答案为【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12.函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】解不等式,即得解.【详解】由题意得.解得.故答案为：.13.已知向量在正方形网格中的位置如图所示，那么向量的夹角的余弦值为______.【答案】【解析】【分析】以向量的起点为原点，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】如图所示，以向量的起点为原点，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则，，则有，，，所以，即向量的夹角的余弦值为.故答案为：.14.已知向量，为单位向量，，则向量的坐标为_____.（写出一个即可）【答案】（或者）【解析】【分析】设，根据向量垂直的坐标表示结合模长公式列式求解即可.【详解】设，由题意可得：，解得或，所以或.故答案为：（或者）.15.在平面直角坐标系中，角的终边过点，则___；将射线绕原点沿逆时针方向旋转到角的终边，则___.【答案】①.##0.75②.##0.8【解析】【分析】根据题意结合三角函数值的定义求；因为，利用诱导公式结合三角函数值的定义求.【详解】因为角的终边过点，即，所以；由题意可知：，所以.故答案为：；.16.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，给出下列四个结论：①的一个周期为；②的图象关于原点对称；③的最大值为；④在区间上有个零点．其中所有正确结论的序号为__________.【答案】①②④【解析】【分析】对于①：代入周期的定义，即可判断；对于②：根据奇函数的定义分析判断；对于③：分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断；对于④：根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】对于①：因为所以的一个周期为，故①正确.对于②：因为的定义域为，且，可知为奇函数，所以的图象关于原点对称，故②正确；对于③：对于，当且仅当时，取得最大值，对于，当且仅当，即时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故③错误.对于④：令，解得或，又因为，可得或或，所以在区间上有个零点，故④正确.故答案为：①②④.三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知向量满足，且与的夹角为．（1）求；（2）求；（3）若，求实数的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用向量数量积的定义求解；（2），代入已知数据求解即可；（3）利用向量垂直数量积为0，求实数的值.【小问1详解】因为，且，所以.【小问2详解】.【小问3详解】由，得，即.所以.解得.18.已知函数．（1）求的值；（2）求函数的最小正周期；（3）求函数的单调递增区间．【答案】（1）2（2）（3）【解析】【分析】（1）直接代入，由特殊角的三角函数值求出的值；（2）根据二倍角公式化简整理把函数化成一个角的一种三角函数的形式得，由正弦型函数的周期公式求出最小正周期；（3）根据正弦函数的单调递增区间，把看成一个整体，解不等式，求出的单调递增区间.【小问1详解】【小问2详解】因为所以函数的最小正周期.【小问3详解】因为函数在区间上单调递增.所以由，得.即.所以函数的单调递增区间为.19.设函数由下列三个条件中的两个来确定：①；②最小正周期为；③．（1）写出能确定函数的两个条件，并求出的解析式；（2）求函数在区间上的最小值及相应的的值．【答案】（1）两个条件为②③，（2）时，函数的最小值为【解析】【分析】（1）条件①不成立，选择两个条件②③，由最小正周期求，由求出；（2）由，有，结合正弦函数的性质求最小值和最小值点.【小问1详解】，条件①不成立，能确定函数的两个条件为②③..因为函数的最小正周期为，，所以.又，得，所以，得.由，得.所以.【小问2详解】因为，所以.所以当，即时，函数的最小值为.20.将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．摩天轮直径为米，中心距地面米，按逆时针方向匀速转动，某游客从最低点处登上摩天轮，分钟后第一次到达最高点．（1）游客登上摩天轮分钟后到达处，求该游客距离地面的高度；（2）求该游客距离地面的高度(单位:米)与他登上摩天轮的时间(单位:分钟)的函数关系式；（3）当该游客登上摩天轮分钟时，他的朋友在摩天轮最低点处登上摩天轮．求他和他的朋友距离地面的高度之差的绝对值的最大值．【答案】（1）米（2）（3）20【解析】【分析】（1）由已知条件得的大小，可得点到地面的高度；（2）以为原点建立平面直角坐标系，表示出点坐标，可得距离地面的高度与时间的函数关系式；（3）两人距离地面的高度都表示为与时间的函数，作差后通过三角恒等变换化简后结合正弦函数的性质求最大值.【小问1详解】因为从最低点处登上摩天轮，分钟后第一次到达最高点，所以登上摩天轮分钟后，，所以游客距离地面的高度为米.【小问2详解】如图以为原点建立平面直角坐标系.则，与的函数关系式为，即.【小问3详解】设x分钟后两人距离地面的高度之差的绝对值为.所以当，即时，取得最大值为20.21.已知，都是定义在上的函数，若存在实数，使对任意都成立，则称为，在上生成的函数．（1）判断函数是否为，在上生成的函数，说明理由；（2）判断函数是否为，在上生成的函数，说明理由；（3）若为，在上的一个生成函数，且，，的最小值为，，求的解析式．【答案】（1）是，理由见解析（2）不是，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式结合生成函数的定义，判断并证明；（2）利用反证法判断并证明结论；.（3）存在实数使得对任意恒成立，由最小值为和，求出实数的值即可.【小问1详解】函数是，在上生成的函数，理由如下：因为，存在实数，使，所以函数是，在上生成的函数