河北省衡水中学高三上学期七调考试数学（文）试题

20172018学年度上学期高三年级七调考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则集合（）A.B.C.D.【答案】D【解析】,所以.故选.2.若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（）A.2B.4C.D.4【答案】B【解析】,虚部为,故选B.3.已知向量，，若与垂直，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】,由于两个向量垂直,所以,解得,故选B.4.已知数列为等比数列，若，则（）A.有最小值12B.有最大值12C.有最小值4D.有最大值4【答案】A【解析】,所以,故选A.5.如图，中心均为原点的双曲线和椭圆有公共焦点，，是双曲线的两个顶点，若，，三点将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A.3B.2C.D.【答案】B【解析】是双曲线的两顶点，将椭圆长轴四等分椭圆的长轴长是双曲线实轴长的倍双曲线与椭圆有公共焦点，的离心率的比值是故答案选6.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图是一枚8圆形金质纪念币，直径是22，面额为100元.为了测算图中军旗部分的面积，现将1粒芝麻向纪念币内投掷100次（假设每次都能落在纪念币内），其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A.B.C.D.【答案】B则圆形金质纪念币的面积为πr2=π×112=121π，∴估计军旗的面积大约是.故选：B.7.函数的部分图像大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】,构造函数,,故当时,即,排除两个选项.而,故排除选项.所以选D.8.已知曲线，，曲线经过怎样的变换可以得到，下列说法正确的是（）A.把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度B.把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度C.把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D.把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变【答案】B【解析】对于,,所以先所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到,再向右平移个单位长度得到.故选B.9.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入，，则输出的值是（）A.68B.17C.34D.36【答案】C【解析】依据题设中提供的算法流程图可知：当时，，此时，则；这时，，此时，，这时，输出，运算程序结束，应选答案C。点睛：本题的求解要充分借助题设的算法流程图中提供的算法规则，按照程序中提供的算法步骤进行操作和运算，最终求出算法程序结束时输出的结论是。10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图，平面，，，，，经计算，，，，∴，∴，，，，∴，故选A．11.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于，广告的总播放时长不少于，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（）A.6，3B.5，2C.4，5D.2，7【答案】A【解析】依题意得,目标函数为,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值.故选A.12.若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】当时,在定义域上没有零点,故排除两个选项.当时,,令,解得,故函数在上递减,在上递增,而,,所以在区间上至多有一个零点,不符合题意,排除选项.故选D.【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关函数零点的问题.由于本题是选择题,故可以采用特殊值的解法来求解.首先观察题目所给的函数,这是一个由指数函数和对数函数组合而成的函数,关键点在于对数函数部分,再观察选项,发现可以利用这两个数进行排除,分别令,利用导数来验证函数在给定区间上是否有两个不同零点来排除选项.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知某校100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是__________．【答案】30【解析】试题分析：由直方图可知支出超过150元的频率为，所以人数为考点：频率分布直方图14.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则以两双曲线的四个焦点为顶点的四边形的面积为__________．【答案】20【解析】曲线的焦点为,渐近线为,即,解得,故曲线的焦点为,故四边形面积为.15.已知数列是递增数列，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由于数列为递增数列,所以,解得.16.如图，，均垂直于平面和平面，，，则多面体的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】该几何体可以补形为正方体,正方体的外接球即该几何体的外接球,正方体的外接球直径为其体对角线,长度为,故外接球的表面积为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在中，为边上一点，且，已知，.（1）若是锐角三角形，，求角的大小；（2）若的面积为，求的长.【答案】（1）.（2）.【解析】【试题分析】(1)在中,利用正弦定理可求得,得到,利用等腰的性质可知.(2)利用三角形的面积公式可求得,利用余弦定理可求得,由此求得的长.【试题解析】（1）在中，，，，由正弦定理得，解得，所以或.因为是锐角三角形，所以.又，所以.（2）由题意可得，解得，由余弦定理得，解得，则.所以的长为.18.国内某知名大学有男生14000人，女生10000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（已知该校学生平均每天运动的时间范围是），如下表所示.男生平均每天运动的时间分布情况：女生平均每天运动的时间分布情况：（1）假设同组中的每个数据均可用该组区间的中间值代替，请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）.（2）若规定平均每天运动的时间不少于的学生为“运动达人”，低于的学生为“非运动达人”.（ⅰ）根据样本估算该校“运动达人”的数量；（ⅱ）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“运动达人”与性别有关.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）.（2）（ⅰ）4000（人）.（ⅱ）见解析.【解析】【试题分析】(1)根据分层抽样计算出男生抽取,女生抽取,由此计算出的值,并计算出男生平均运动时间.(2)(i)运动达人的比例为,故共有人是运动达人.(ii)根据数据列出联表后,计算,故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“运动达人”与性别有关.【试题解析】（1）由题意得，抽取的男生人数为（人），抽取的女生人数为（人），故，.则估算该校男生平均每天运动的时间为，所以该校男生平均每天运动的时间为.（2）（ⅰ）样本中“运动达人”所占的比例是，故估算该校“运动达人”有（人）.（ⅱ）由统计数据得：根据上表，可得.故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“运动达人”与性别有关.19.如图，在三棱柱中，已知，，点在底面上的投影是线段的中点.（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长.（2）求三棱柱的侧面积.【答案】（1）见解析.（2）.【解析】试题分析：（1）证明：作于点，由，又平面，易得平面平面，由，；（2）由已知可得的高，的高．试题解析：（1）证明：连接，在中，作于点，因为，得，因为平面，所以，因为，得，所以平面，所以，所以平面，又，得．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由已知可得的高，的高．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、线面垂直；2、二面角的平面角.【方法点晴】本题考查线面垂直、二面角的平面角，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题型.第一小题作于点，由，再证平面平面，由，．第二小题由已知可得的高，的高.20.如图，已知直线关于直线的对称直线为，直线，与椭圆分别交于点，和，，记直线的斜率为.（1）求的值.（2）当变化时，试问直线是否恒过定点，若恒过定点，求出该定点的坐标；若不恒过定点，请说明理由.【答案】（1）1.（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）可以设直线的方程为，再设直线上任意一点关于直线对称点为，于是分别表示出，由直线对称性可知，所在直线与垂直，且中点在上，于是整理得出的值；（Ⅱ）本问考查椭圆中直线过定点问题，设，将AM方程与椭圆方程联立，可以求出点M的坐标，同理将直线AN方程与椭圆方程联立，可以求出点N的坐标，根据M，N两点坐标，可以求出直线MN的方程，从而判定直线MN是否过定点.试题解析：（Ⅰ）设直线上任意一点关于直线对称点为直线与直线的交点为，∴，由得……..①由得…….②，由①②得.（Ⅱ）设点，由得，∴，∴.同理：，，∴即：∴当变化时，直线过定点.方法点睛：定点问题的探索与证明时一般考虑以下两种解法：（1）可以先设直线方程为，然后利用条件建立的等量关系进行消元，借助于直线系的思路找出定点；（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数的最大值为，的图像关于轴对称.（1）求实数，的值.（2）设，则是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1），.（2）见解析.【解析】【试题分析】(1)对求导,利用它的单调性求得当时函数取得最大值,解方程求得.根据二次函数的对称轴可求得.(2)由(1)知,利用的二阶导数判断出函数在区间内单调递增,故有,问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根来求解.利用分离常数法将分离出来后利用导数证明不存在.【试题解析】（1）由题意得，令，解得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，取得极大值，也是最大值，所以，解得.又的图像关于轴对称，所以，解得.（2）由（1）知，，则，所以，令，则对恒成立，所以在区间内单调递增，所以恒成立，所以函数在区间内单调递增.假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，则，设，，则对恒成立，所以函数在区间内单调递增，故恒成立，所以，所以函数在区间内单调递增，所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.综上所述，不存在区间，使得函数在区间上的值域是.【点睛】本小题主要考查利用函数导数求函数解析式,考查利用二次函数的对称轴求函数的解析式,考查利用导数研究能成立问题.题目给定两个函数和,这两个函数都是含有一个参数的,的参数的求解方法是利用导数求出最大值来建立方程求解,是利用二次函数的对称轴为轴建立方程求解.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位长度得到曲线.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知直线与曲线交于，两点，点，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）先根据将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；再根据图像平移得曲线C1的直角坐标方程；（2）先根据将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；再设直线参数方程，代入C1，最后根据参数几何意义以及韦达定理求|PA|+|PB|的值．试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，所以曲线的直