专题01第一章勾股定理(中等类型10大类型)(原卷版+解析)

专题01第一章勾股定理【专题过关】类型一、用勾股定理解三角形【解惑】如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，则的长为（

）

A．5 B．6 C．7 D．8【融会贯通】1．（2023春·河北保定·八年级统考期中）直角三角形两直角边的长度分别为6和8，则斜边上的高为（

）A．10 B．4.8 C．9.6 D．52．（2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习）若一个直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边上的高为多少（

）A． B． C． D．3．（2023秋·陕西西安·八年级陕西师大附中校考开学考试）如图，直线，正方形的三个顶点A、B、C分别在直线上，点A到直线的距离是3，点C到直线的距离是6，则正方形的面积为．

4．（2023春·黑龙江黑河·八年级校考期中）如图，四边形中，，，，，点E是上一点，且，求的长．

5．（2023春·江苏苏州·九年级校联考阶段练习）如图，已知四边形中，，，连接，，过C作，垂足为E．

(1)求证：；(2)若，，求的面积．类型二、勾股树（数）问题【解惑】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、5、7，则最大正方形E的面积是（

）

A．14 B．108 C．58 D．72【融会贯通】1．（2023春·重庆忠县·八年级校考阶段练习）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考开学考试）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为．3．（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足、、、，则正方形的边长是．4．（2023春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为5，4，4，9，则最大的正方形G的面积为．5．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为．

类型三、以直角三角形向外作正方形【解惑】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为，，，，下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．【融会贯通】1.（2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为，且，则(

)A．21 B．3 C．9 D．2.（2022秋·山东泰安·七年级统考期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（

）A． B． C． D．3．（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则另一个的面积为的正方形的边长为（

）

A．3 B．4 C．5 D．4．（2023春·河北石家庄·八年级统考开学考试）如图，分别以的三边长，，为边长向外作正方形，正方形中标注的数字代表所在正方形的面积，则x所在的正方形的面积为．5．（2023春·新疆伊犁·八年级校考期中）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的总面积为，直角三角形①的斜边为，则直角三角形①的面积为．类型四、勾股定理与折叠问题【解惑】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，则等于（

）

A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是．2．（2023秋·福建福州·七年级福州华伦中学校考开学考试）如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到内（不包括边），则的取值范围为．3.（2023春·新疆巴音郭楞·八年级校考期中）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为．

4．（2022秋·甘肃白银·八年级校考期中）如图，四边形是长方形，，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上处，求的长．

5．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）把一长方形纸片按图所示折叠，使顶点B与点D重合，折痕为，若，，重叠部分的面积为多少？

类型五、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）【解惑】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（

）A．6 B．9 C．12 D．18【融会贯通】1．（2023春·山西大同·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为．

2．（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，斜边，则．3．（2019秋·广东梅州·八年级广东梅县东山中学校考期中）在中，斜边长，的值为4．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于．6．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接．

(1)求证：(2)若，，，直接写出线段的长．类型六、赵爽弦图【解惑】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边（），表示斜边，则下列说法中错误的是（

）

A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023春·安徽·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（

）A．7 B．24 C．17 D．252．（2023春·北京·八年级统考期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023春·山西吕梁·八年级校考阶段练习）如图是我国古代数学家赵爽创制的一副“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形．若，，则的长是．

4．（2023春·江西赣州·八年级校联考期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就如图，小颖同学把图中长和宽分别和的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，则图中小正方形的面积为．5．（2023春·辽宁大连·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一，如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为和，则中间小正方形的对角线长为．

类型七、勾股定理构造图形【解惑】为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即米），测温仪自动显示体温（

）A．米 B．米 C．米 D．米【融会贯通】1．（2023秋·广东揭阳·八年级统考期末）如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘两点到门槛的距离为1尺（1尺10寸）两扇门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和为寸．

3．（2023春·陕西商洛·八年级校考期中）《九章算术》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一道有趣的题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何?”其大意如下：已知甲、乙两人同时从一地出发，甲的速度为7步/秒（步为古代长度计量单位，与现在的米类似），乙的速度为3步/秒．乙一直向东行走，甲向南行走10步后，偏离原方向，朝北偏东的方向直行一段后与乙相遇，问甲、乙各行走了多少步?设乙经过秒后两人相遇，则根据题意，可列方程为．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8，又往北走2，遇到障碍后又往西走3，再折向北走6处往东一拐，仅1就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？

5．（2022秋·七年级单元测试）如图，小丽荡秋千，秋千架高2.4米，秋千座位离地0.4米，小红荡起最高时，坐位离地0.8米．此时小红荡出的水平距离是多少？（荡到秋千架两边的最高点之间的距离）

类型八、小鸟飞行问题【解惑】如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(

)

A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023春·重庆云阳·八年级校考阶段练习）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树稍飞到另一棵树的树稍，问小鸟至少要飞行（

）A．6米 B．8米 C．10米 D．14米2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．12米3．（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？类型九、勾股定理的证明方法【解惑】意大利著名画家达·芬奇用如图所示（四边形，四边形，四边形都为正方形，设图①中空白部分的面积为，图③中空白部分的面积为）的方法验证了勾股定理，步骤如下所示，则下列判断不正确的是（

）第一步：由图①可得；第二步：由图③可得第三步：由，可验证

A．★表示B．●表示C．◆表示= D．▲表示【融会贯通】1．（2023春·河南周口·八年级校考期中）数学兴趣小组的同学用火柴盒研究证明勾股定理的新方法．如图，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连接，此时，，，．

(1)判断的形状，并说明理由；(2)请利用直角梯形的面积证明勾股定理：．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，对任意符合条件的直角三角形，绕其锐角顶点逆时针旋转得，所以，且四边形是一个正方形，它的面积和四边形面积相等，而四边形面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．3．（2023春·北京密云·八年级校考期末）解答(1)请你根据图甲中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）．

(2)以图甲中的直角三角形为基础，可以构造出以，为底，以为高的直角梯形，如图乙所示，请你利用图乙验证勾股定理．

4．（2023春·安徽芜湖·八年级统考期中）观察，思考与验证

(1)如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式____________；(2)如图2所示，，且，，在同一直线上，试说明，；(3)伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．5．（2023·江苏·八年级假期作业）如图是证明勾股定理的一种方法：用4个全等的直角三角形，拼成一个图形，请你利用面积证明勾股定理的真实性．类型十、台阶地毯长度问题【解惑】如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（

）．

A．3米 B．4米 C．5米 D．7米【融会贯通】1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（

）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米3．（2023春·云南昭通·八年级统考期中）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米4．（2023秋·全国·八年级专题练习）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元．5.（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，是台阶的模型图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于．

专题01第一章勾股定理【专题过关】类型一、用勾股定理解三角形【解惑】如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，则的长为（

）

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】设，根据，求出，在中，由勾股定理列出方程即可求解．【详解】解：由题意知：，，∵，，∴，设，在中，由勾股定理得，即，解得，即．故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据题意得出，进而表示出的长．【融会贯通】1．（2023春·河北保定·八年级统考期中）直角三角形两直角边的长度分别为6和8，则斜边上的高为（

）A．10 B．4.8 C．9.6 D．5【答案】B【分析】根据勾股定理先求出斜边长，然后再根据等积法求出斜边上的高即可．【详解】解：∵直角三角形两直角边的长度分别为6和8，∴斜边长度为：，∵直角三角形的面积为：，∴斜边上的高为：．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．2．（2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习）若一个直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边上的高为多少（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设斜边上的高为，利用勾股定理可求出斜边的长，利用面积法即可求出的值，可得答案．【详解】∵直角三角形的两条直角边分别为，，斜边长为，直角三角形的面积为，解得：，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形两直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；灵活运用三角形的面积的两种不同的表示方法得到等量关系是解题关键．3．（2023秋·陕西西安·八年级陕西师大附中校考开学考试）如图，直线，正方形的三个顶点A、B、C分别在直线上，点A到直线的距离是3，点C到直线的距离是6，则正方形的面积为．

【答案】45【分析】如图，作，垂足分别为E、F，通过证明，得出，再根据勾股定理求出即可．【详解】解：如图，作，垂足分别为E、F，则，，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∵点A到直线的距离是3，点C到直线的距离是6，∴，∴，∴正方形的面积为45；故答案为：45

【点睛】本题考查了点到直线的距离、勾股定理和全等三角形的判定和性质等知识，正确理解题意、证明是解题的关键．4．（2023春·黑龙江黑河·八年级校考期中）如图，四边形中，，，，，点E是上一点，且，求的长．

【答案】【分析】设，则，分别在和中，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设，则，∵∴、都为直角三角形，在中，由勾股定理可得：在中，由勾股定理可得：∵∴解得即【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方．5．（2023春·江苏苏州·九年级校联考阶段练习）如图，已知四边形中，，，连接，，过C作，垂足为E．

(1)求证：；(2)若，，求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据，得出，根据，得出，即可根据求证；（2）根据，得出，．则，根据勾股定理求出，最后根据三角形面积公式求解即看．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴．∵在和中，∴；（2）解：由（1）知，，则，．∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；全等三角形那个对应边相等；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．类型二、勾股树（数）问题【解惑】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、5、7，则最大正方形E的面积是（

）

A．14 B．108 C．58 D．72【答案】B【分析】由勾股定理可得，直角三角形中，以斜边为边的正方形的面积等于分别以两个直角边为边的正方形的面积的和，据此求解即可．【详解】解：如图所示，由勾股定理，得，故选：B．

【点睛】本题考查了勾股树，掌握勾股树的特征是解题的关键．【融会贯通】1．（2023春·重庆忠县·八年级校考阶段练习）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，设正方形A、B、C、D、E、F的边长分别为a、b、c、d、e、f，根据勾股定理可得，，，即可得出正方形A、B、C、D的面积之和等于最大正方形G的面积，根据正方形面积公式即可得答案．【详解】如图，设正方形A、B、C、D、E、F的边长分别为a、b、c、d、e、f，

∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，∴，，∴正方形E、F的面积和为正方形A、B、C、D面积的和，∵最大的正方形的边长为7，∴，∴最大正方形G的面积等于正方形E、F的面积和，∴正方形A、B、C、D的面积之和等于最大正方形G的面积，∴正方形A、B、C、D的面积之和为，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的几何意义，勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考开学考试）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为．【答案】25【分析】根据勾股定理的几何意义可直接解答．【详解】解：如图，由勾股定理可得：正方形的面积之和等于正方形E的面积，正方形的面积之和等于正方形F的面积，正方形的面积之和等于正方形G的面积，因此正方形的面积之和，故答案为：25．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．3．（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足、、、，则正方形的边长是．【答案】【分析】标记正方形、，分别设正方形、、的边长为、、，由勾股定理得出，，，代入计算出，即最大正方形的面积为．【详解】解：如下图，标记正方形、，分别设正方形、、的边长为、、，则由勾股定理得：，，，即最大正方形的面积为：，则最大正方形E的边长为故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．4．（2023春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为5，4，4，9，则最大的正方形G的面积为．

【答案】【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形的面积和即为最大正方形G的面积．【详解】设正方形A，B，C，D，E，F，G的边长分别为，正方形A，B，C，D的面积分别为，根据正方形的面积公式得：，正方形A，B的边长正好是直角三角形的两条直角边，由勾股定理可得：，正方形E的面积为：，同理可得正方形F的面积为：，同理可得正方形G的面积为：，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够发现正方形的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形的面积和即为最大正方形面积．5．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为．

【答案】2024【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有三角形的面积，总结出一般规律，即可进行解答．【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：，∵,∴第一代勾股树中所有正方形的面积为；同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为；第三代勾股树中所有正方形的面积为；第n代勾股树中所有正方形的面积为；∴第2023代勾股树中所有正方形的面积为2024．故答案为：2024．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是仔细观察图形，根据勾股定理总结出变化的一般规律．类型三、以直角三角形向外作正方形【解惑】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为，，，，下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理，分别得出同一直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是，即可得到答案．【详解】解：如图，连接，

根据勾股定理，得，∴，，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是发现两个直角三角形的斜边是公共边．【融会贯通】1.（2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为，且，则(

)

A．21 B．3 C．9 D．【答案】C【分析】根据勾股定理求出，则可得出答案．【详解】解：由勾股定理得，，则，故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．2.（2022秋·山东泰安·七年级统考期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，推而广之即可求出“生长”2023次后形成图形中所有正方形的面积之和．【详解】解：设的是三条边分别是a，b，c（斜边）．根据勾股定理，得，即．∵“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，“生长”3次后，所有的正方形的面积和是，…“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．故选：C．

【点睛】本题主要考查了勾股定理在几何图形中的应用，能够根据勾股定理发现每一次得到新正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．3．（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则另一个的面积为的正方形的边长为（

）

A．3 B．4 C．5 D．【答案】B【分析】利用勾股定理易得，进行计算即可得到答案．【详解】解：直角三角形的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，，，，，面积为的正方形的边长为：，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，解答的关键理解题意，并了解勾股定理的几何意义．4．（2023春·河北石家庄·八年级统考开学考试）如图，分别以的三边长，，为边长向外作正方形，正方形中标注的数字代表所在正方形的面积，则x所在的正方形的面积为．

【答案】14【分析】根据勾股定理即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得：，由图可知：，∴x所在的正方形的面积为，故答案为：14．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方．5．（2023春·新疆伊犁·八年级校考期中）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的总面积为，直角三角形①的斜边为，则直角三角形①的面积为．

【答案】【分析】根据勾股定理得出空白正方形的面积，进而得出其边长，再根据勾股定理求出①的长直角边的长度，最后根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：∵②为直角三角形，阴影部分是两个正方形，∴，∴，∵①为直角三角形，，∴，∴直角三角形①的面积故答案为：．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．类型四、勾股定理与折叠问题【解惑】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可得，，，最后利用勾股定理解即可．【详解】解：中，，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，，，设，则，由折叠的性质，可得，，在中，，，解得，等于．故选D．【点睛】本题考查勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，对应角相等．【融会贯通】1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是．【答案】或/5或2【分析】当时，先求出及的长，再在中利用勾股定理求出；当时，作，证明出为等腰直角三角形即可求出即可．【详解】解：当时，如图，

，，，，，由折叠得，，，设，，在中，，，即；当时，如图，作，

，，，，，．故答案为：5或2．【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题关键．2．（2023秋·福建福州·七年级福州华伦中学校考开学考试）如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到内（不包括边），则的取值范围为．

【答案】【分析】先根据勾股定理求得，当点落在上时，此时最短，当点落在上时，此时最长，利用三角形等面积法及勾股定理即可求解．【详解】解：当点落在上时，此时最短，如图2，则，

，，，，，，，，，当点落在上时，此时最长，如图3，则，

作于点G，于点H，则，，，，，，，，，的取值范围为，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理，借助辅助线，利用分类讨论思想是解题的关键．3.（2023春·新疆巴音郭楞·八年级校考期中）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为．

【答案】【分析】根据折叠的性质，则，设，则，再根据勾股定理，即可．【详解】由题意得，，设，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理，折叠的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，折叠的性质．4．（2022秋·甘肃白银·八年级校考期中）如图，四边形是长方形，，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上处，求的长．

【答案】【分析】由四边形为长方形，得到为直角，由折叠得到，，，利用勾股定理求出的长，由求出的长，在中，设，表示出，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可确定出的长．【详解】解：四边形是长方形，，，，，，将沿折叠可得，，，，在中，，，，则由勾股定理得，即，设，则有，在中，，则由勾股定理得，即，解得，．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，解方程等知识，熟练掌握相关几何定理及性质是解本题的关键．5．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）把一长方形纸片按图所示折叠，使顶点B与点D重合，折痕为，若，，重叠部分的面积为多少？

【答案】【分析】根据折叠的性质可得，，，设，根据勾股定理解，求出，再利用三角形面积公式求解．【详解】解：四边形是长方形，，，，，由折叠可知，，，设，则，在中，由勾股定理得：，，解得，，，即重叠部分的面积为．【点睛】本题考查折叠问题，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质，即折叠前后对应边相等，对应角相等．类型五、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）【解惑】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】D【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可．【详解】解：如图示，∴在中，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键．【融会贯通】1．（2023春·山西大同·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为．

【答案】8【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解．【详解】解：连接，如图所示：

因为和都是等腰直角三角形，，即故故答案为：8【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，斜边，则．【答案】2【分析】根据勾股定理，可知两直角边的平方和等于斜边平方，进而得出答案．【详解】∵在中，斜边∴∴故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是根据勾股定理，发现题干中．3．（2019秋·广东梅州·八年级广东梅县东山中学校考期中）在中，斜边长，的值为【答案】【分析】结合题意，根据勾股定理的性质计算，即可得到答案．【详解】∵中，斜边长，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用，从而完成求解．4．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于．【答案】69【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2），＝132−102，＝69．故答案为：69．【点睛】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2．6．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接．

(1)求证：(2)若，，，直接写出线段的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论；（2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决．【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接

，，，，，在和中，，，，，，，，，，（2）解：设，，，，则，，，，即：，由（1）知：，，，，，，，即：，解得：，即：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质，其中倍长中线是解决问题的关键．类型六、赵爽弦图【解惑】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边（），表示斜边，则下列说法中错误的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正方形的面积得出，，根据勾股定理得出，进而根据完全平方公式变形求得的值，即可求解．【详解】解：∵大正方形面积为，∴，故A选项正确，不合题意；∴∵小正方形面积为，∴，故B选项正确，不合题意；∴∴，故C选项错误，符合题意；∴∴（负值舍去），故D选项正确，不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式的变形求值，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【融会贯通】1．（2023春·安徽·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（

）

A．7 B．24 C．17 D．25【答案】C【分析】勾股定理得：，又，由此即可求出，因此小正方形的边长为17．【详解】解：由题意知小正方形的边长是，由勾股定理得：，，，小正方形的边长为17．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023春·北京·八年级统考期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】首先根据勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可．【详解】∵勾，弦，∴∴小正方形的面积为．故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系．3．（2023春·山西吕梁·八年级校考阶段练习）如图是我国古代数学家赵爽创制的一副“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形．若，，则的长是．

【答案】【分析】根据含角的直角三角形的三边关系设未知数解方程即可．【详解】在中，，∴，设，则，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了含角直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质，熟练掌握直角三角形的相关性质是解题关键．4．（2023春·江西赣州·八年级校联考期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就如图，小颖同学把图中长和宽分别和的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，则图中小正方形的面积为．

【答案】【分析】由图可知，图中正方形的边长为直角三角形长和宽的差，即可求解．【详解】解：由图可知，图中正方形的边长为，∴图中小正方形的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理，正方形的面积．正确识图是解题的关键．5．（2023春·辽宁大连·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一，如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为和，则中间小正方形的对角线长为．

【答案】【分析】根据边长求出中间小正方形的边长，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，，连接，

根据题意可得，，∵四边形是正方形，∴，∴在中，，故答案为：．【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．类型七、勾股定理构造图形【解惑】为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即米），测温仪自动显示体温（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可．【详解】解：如图，过点D作于点E，

∵米，米，∴（米），在中，由勾股定理得到：（米），故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．【融会贯通】1．（2023秋·广东揭阳·八年级统考期末）如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据勾股定理求得，计算的值即可．【详解】根据勾股定理求得，∴，故选D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘两点到门槛的距离为1尺（1尺10寸）两扇门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和为寸．

【答案】101【分析】过作于，构建直角三角形，根据勾股定理计算求解即可．【详解】解：过作于，

设，则，，，在中，可有，即，解得，所以门的宽度的和为101寸．故答案为：101．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用问题，构建直角三角形是解答此题的关键．3．（2023春·陕西商洛·八年级校考期中）《九章算术》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一道有趣的题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何?”其大意如下：已知甲、乙两人同时从一地出发，甲的速度为7步/秒（步为古代长度计量单位，与现在的米类似），乙的速度为3步/秒．乙一直向东行走，甲向南行走10步后，偏离原方向，朝北偏东的方向直行一段后与乙相遇，问甲、乙各行走了多少步?设乙经过秒后两人相遇，则根据题意，可列方程为．【答案】【分析】根据题意画出三角形ABC，用含x的代数式表示三边长，利用勾股定理可得方程．【详解】解：如图，两人同时从A地出发，甲向南行走10步后到达C地后，偏离原方向．设x秒两人在B处相遇，这时乙行驶，甲共行驶，

∵，∴，∵，由勾股定理得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8，又往北走2，遇到障碍后又往西走3，再折向北走6处往东一拐，仅1就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？

【答案】登陆点到宝藏处的距离为10千米【分析】通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度，构造直角三角形利用勾股定理求解．【详解】解：过点作于点，根据题意可知，千米，千米，在中，由勾股定理得千米，答：登陆点到宝藏处的距离为10千米．

【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，解题的根据是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度．5．（2022秋·七年级单元测试）如图，小丽荡秋千，秋千架高2.4米，秋千座位离地0.4米，小红荡起最高时，坐位离地0.8米．此时小红荡出的水平距离是多少？（荡到秋千架两边的最高点之间的距离）

【答案】2.4米【分析】画出秋千的侧面图，根据勾股定理即可求出的值．【详解】解：如图为秋千侧面图，座位最低点为A，最高点为B，

则，过B点作的垂线，垂足为C，则，，由勾股定理得：，∴，故小红荡出的水平距离是.【点睛】本题考查了勾股定理的运用，属于基础题，关键是正确理解题意．类型八、小鸟飞行问题【解惑】如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．【详解】解：过作于，如图所示：

由题意可知，，根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得，它要飞回巢中所需的时间至少是（），故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键．【融会贯通】1．（2023春·重庆云阳·八年级校考阶段练习）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树稍飞到另一棵树的树稍，问小鸟至少要飞行（

）A．6米 B．8米 C．10米 D．14米【答案】C【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过点作于，则是矩形，连接，，，，在中，，故小鸟至少飞行，故选C．【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．12米【答案】C【分析】根据勾股定理解答即可．【详解】如图：由题意可得AB=10-4=6米，BC=6米，AC==10米．故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．3．（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米．

【答案】10【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】如图所示，为树，且米，米，为两树距离8米，过作于E，则，在直角三角形中，．答：小鸟至少要飞10米．故答案为：10．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的的实际运用和两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．【答案】10【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过点作于，连接，，，，在中，，故小鸟至少飞行，故答案为：10．【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？【答案】一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行5米．【分析】根据题意画出对应的几何图形，如图，过点D作，则四边形是矩形，故可得的长度，在中利用勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意画出图形如下：其中米，米，米，过点D作，则四边形是矩形，∴米，米，∴米，在中，米，答：一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行5米．【点睛】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理等内容，根据题意画出对应的几何图形是解题的关键．类型九、勾股定理的证明方法【解惑】意大利著名画家达·芬奇用如图所示（四边形，四边形，四边形都为正方形，设图①中空白部分的面积为，图③中空白部分的面积为）的方法验证了勾股定理，步骤如下所示，则下列判断不正确的是（

）第一步：由图①可得；第二步：由图③可得第三步：由，可验证

A．★表示 B．●表示C．◆表示= D．▲表示【答案】B【分析】根据图形表示出，即可求解．【详解】解：由图①可得，∴★表示，故A正确；由图③可得，故B错误；∴，，∴，故C、D正确；故选：B．【点睛】本题考查勾股定理，解本题的关键是明确题意，利用数形结合思想求解．【融会贯通】1．（2023春·河南周口·八年级校考期中）数学兴趣小组的同学用火柴盒研究证明勾股定理的新方法．如图，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连接，此时，，，．

(1)判断的形状，并说明理由；(2)请利用直角梯形的面积证明勾股定理：．【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）由题意判断，再由全等三角形的性质得到，即可判断的形状；（2）利用直角梯形的面积的两种表示，列式化简即可得证．【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下：由图可知，，，，在长方形中，，，是等腰直角三角形；（2）证明：如图所示：

，，，；，，即，．【点睛】本题考查直角三角形相关性质，涉及全等的性质、直角三角形的判定、勾股定理的证明等，数形结合是解决问题的关键．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，对任意符合条件的直角三角形，绕其锐角顶点逆时针旋转得，所以，且四边形是一个正方形，它的面积和四边形面积相等，而四边形面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．【答案】证明见解析．【分析】利用四边形面积等于和的面积之和，化简整理得到勾股定理．【详解】解：由图可得：，即：，∴，整理得：．【点睛】此题考查了勾股定理的证明，解题的关键是根据所给图形，找到相应的等量关系．3．（2023春·北京密云·八年级校考期末）解答(1)请你根据图甲中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）．

(2)以图甲中的直角三角形为基础，可以构造出以，为底，以为高的直角梯形，如图乙所示，请你利用图乙验证勾股定理．

【答案】(1)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；(2)验证见解析【分析】（1）根据题意分别用文字和符号描述出勾股定理即可；（2）根据题意可知，可得，进而求得，利用整理可得验证出勾股定理．【详解】（1）文字语