陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年高一数学上学期第三次月考试题含解析

PAGEPAGE19陕西省咸阳市试验中学2024-2025学年高一数学上学期第三次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下列说法正确的是（）A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心【答案】D【解析】圆锥的母线长与底面圆直径的大小关系不确定，则A项不正确；圆柱的母线与轴平行，则B项不正确；圆台的母线与轴相交，则C项不正确；很明显D项正确．考点：圆锥、圆柱、圆台、球的结构特征.2.视察如图所示的四个几何体，其中推断不正确的是()A.①是棱柱 B.②不是棱锥 C.③不是棱锥 D.④是棱台【答案】B【解析】①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故选B．点睛：本题考查多面体的结构特征，关键是熟记且理解棱柱，棱锥，棱台的结构特征，是基础题3.在正方体中，直线AC与直线所成的角为（）A.30° B.60° C.90° D.45°【答案】C【解析】【分析】在正方体中，，由在正方形中，,可得出答案.【详解】在正方体中，，所以直线AC与直线所成的角等于直线AC与直线所成的角.又在正方形中，，所以直线AC与直线所成的角为所以直线AC与直线所成的角为.故选：C【点睛】本题考查求异面直线所成角，求异面直线所成角的方法主要有定义法和向量法.属于基础题.4.正方体的内切球和外接球的半径之比为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设正方体的棱长为，内切球的半径为，外接球的半径为，则，所以，所以，故选D.5.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面四边形的面积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：依据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=S，本题中直观图的面积为，所以原平面四边形的面积等于．考点：平面图形的直观图6.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】C【解析】【分析】依据线面间的位置关系推断．【详解】平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能相交，或者异面，A错；平行于同始终线的两个平面可能平行，也可能相交，B错；，则平面内全部直线都与垂直，而，则平面内的全部直线也都与垂直，则，C正确；平面垂直的性质定理说两个平面垂直）（如），其中一个平面（如）内与交线垂直的直线（如直线）垂直于另一平面（如），但，不垂直，D错．故选：C．【点睛】本题考查空间直线与平面间的位置关系，驾驭空间直线、平面间位置关系是解题关键．7.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面（）A.有且只有一个 B.有多数多个 C.至多一个 D.不存在【答案】A【解析】【分析】在直线上任取一点，则点和直线确定一个平面，在平面内过点作直线，由直线唯一确定一个平面，进而利用线面平行的判定定理和公理2的推理，即可求解.【详解】在直线上任取一点，则点和直线确定一个平面，即为平面，在平面内过点作直线，由，则直线唯一确定一个平面，即为平面，因，，所以，假设过直线与直线平行的平面有两个或两个以上，那么与这两条相交直线确定一个平面是冲突的，所以过直线与直线平行的平面有且只有一个.故选：A.【点睛】本题主要考查了空间中的异面直线的位置关系，以及公理2的两个推理及线面平行的判定定理的应用，着重考查空间想象实力，属于基础题.8.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【答案】B【解析】因为PB⊥α，AC⊂α，所以PB⊥AC，又AC⊥PC，PB∩PC=P，所以AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.故△ABC为直角三角形.9.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．【详解】设底面半径为r，则，所以.所以圆锥的高.所以体积.故选：C.【点睛】本题考查圆锥的性质及体积，圆锥问题抓住两个关键点：（1）圆锥侧面绽开图的扇形弧长等于底面周长；（2）圆锥底面半径r、高h、母线l组成直角三角形，满意勾股定理，本题考查这两种关系的应用，属于简洁题.10.已知平面外不共线的三点到平面的距离都相等，则正确的结论是（）A.平面必平行于平面 B.平面必与平面相交C.平面必不垂直于平面 D.存在的一条中位线平行于平面或在平面内【答案】D【解析】利用解除法：如图所示，正方体中，取棱的中点，将平面看作平面，三点到平面的距离相等，该平面与垂直相交，选项A，C错误；三点到平面的距离相等，该平面与平行，选项B错误；本题选择D选项.点睛：平面几何的基本公理是平面几何的基础，公理1是推断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是推断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够娴熟用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．11.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用公理三及推论推断求解．【详解】在A图中：分别连接PS，QR，则PS∥QR，∴P，S，R，Q共面．在B图中：过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面．在C图中：分别连接PQ，RS，则PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面．在D图中：PS与RQ为异面直线，∴P，Q，R，S四点不共面．故选D．【点睛】本题考查四点不共面的图形的推断，解题时要仔细审题，留意平面性质及推论的合理运用，属于基础题．12.某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面绽开图应当为(对面是相同的图案)()A. B. C. D.【答案】A【解析】其绽开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在绽开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在绽开图中肯定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，绽开后绝不能相邻．故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___________．【答案】相交或异面【解析】【分析】依据异面直线的定义可知与两条异面直线相交的两条直线不行能平行，可得到位置关系.【详解】如下图所示：此时的位置关系为：相交如下图所示：此时的位置关系为：异面若平行，则与的四个交点，四点共面；此时共面，不符合异面直线的定义综上所述：的位置关系为相交或异面本题正确结果；相交或异面【点睛】本题考查空间中直线的位置关系的推断，属于基础题.14.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面上升9厘米，则此球的半径为_____厘米．【答案】12【解析】试题分析：考点：球的体积和表面积15.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高是______；底面边长是______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】干脆依据三视图推断即可.【详解】由左视图得三棱柱的高为2,又底面为正三角形,故底面边长为.故答案：(1).(2).【点睛】本题主要考查了三视图,属于基础题型.16.下列命题中，正确的为________（正确序号全部填上）（1）空间中，一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；（2）一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角相等或互补；（3）直线，为异面直线，所成角的大小为，过空间一点作直线，使l与直线及直线都成相等的角，这样的直线可作3条；（4）直线与平面相交，过直线可作唯一的平面与平面垂直．【答案】（1）（3）【解析】【分析】（1）利用等角定理，即可推断正误；（2）列举反例，即可得出结论；（3）利用异面直线所成角，即可推断正误；（4）列举反例，即可得出结论【详解】（1）空间中，若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则由等角定理知，这两个角相等或互补，所以（1）正确；（2）如图，平面，，两两垂直，，且，，过直线作平面，此时，，二面角为，而满意条件的平面有无穷多个，所以二面角无法确定，所以（2）错误；（3）直线，为异面直线，所成角的大小为，过空间一点作直线，设直线l与直线及直线都成相等的角，若，可作0条；若，可作1条；若，可作2条；若，可作3条；若，可作4条；若，可作1条，所以（3）正确；（4）若直线与平面垂直，过直线可作多数个平面与平面垂直，所以（4）错误.故答案为：（1）（3）.【点睛】本题考查等角定理的应用、二面角的概念、平面与平面垂直的判定定理及异面直线所成角，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图．【答案】见解析【解析】试题分析：结合几何体利用三视图的定义和几何体的特征绘制几何体的三视图即可.试题解析：三视图如图所示．点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要留意实、虚线的画法．18.如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.求证：（1）四点共面；（2）三线共点.【答案】（1）见证明（2）见证明【解析】【分析】（1）连接，结合平面几何学问可证得，于是可得结论成立．（2）由题意可得直线与必相交，设交点为，然后再证明点在平面与平面的交线上，进而得到结论成立．【详解】证明：（1）连接.∵分别是和的中点，∴.又，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴与确定一个平面，∴四点共面．（2）由（1）知，，且，∴直线与必相交，设.∵平面，，∴平面.又平面，，∴平面，即是平面与平面的公共点，又平面平面，∴，∴三线共点．【点睛】（1）要证明“线共面”或“点共面”，可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内．（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，依据公理3可知这些点在交线上，因此可得点共线．19.（不写做法）（1）如图，直角梯形中，，，是直角梯形所在平面外一点，画出平面和平面的交线．（2）如图所示，在正方体中，试画出平面与平面的交线．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）延长和交于点，再连接，即得到交线；（2）先记与的交点为，连接，即可得出交线.【详解】（1）（延长和交于点，连接，即为平面和平面的交线），如图：（2）（记与的交点为，连接，则即为平面与平面的交线），如图:【点睛】本题主要考查画出平面与平面的交线，考查空间想象实力，属于基础题型.20.如图，（I）求证（II）设【答案】见解析【解析】【详解】（I）,（II），,第一问主要依据线面垂直得到线线垂直，然后再利用线线垂直得到线面垂直．其次问首先是利用已知条件得到一个平面，然后去证明面面平行，进而得到线面平行．【考点定位】线面垂直的判定定理和性质定理，面面平行的判定定理和性质定理．21.长方体中，，点P为的中点.求证：（1）直线平面PAC；（2）平面平面PAC；（3）直线平面PAC.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设交于点,连接,利用中位线性质可得,进而求证即可；（2）由底面正方形可得,由长方体可得,进而求证即可；（3）由（2）可得,连接,利用勾股定理可得,进而求证即可.【详解】证明:（1）设交于点,连接,因为,所以,又点P为的中点,所以,因为平面PAC,平面PAC,所以平面PAC（2）因为,所以,因为长方体,所以平面,所以,因为,平面,所以平面,因为平面,所以平面平面（3）由（2）,因为平面,所以平面,所以,连接,则,,,

因为,所以,因为,平面,所以平面【点睛】本题考查线面平行的证明,考查线面垂直的证明,考查面面垂直的证明,考查推理论证实力.22.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明PA//平面BDE；（Ⅱ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面BDE；（Ⅱ）由已知求出平面BDE的一个法向量和平面DEC的一个法向量，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值；（Ⅲ）由已知得PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），由此利用向量法能求出在棱PB上存在点F，PF=，使得PB⊥平面DEF．【详解】（Ⅰ）证明：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），=（2，0，﹣2），=（0，1，1），，设是平面BDE的一个法向量，则由，得，取y=﹣1，得．∵=2﹣2=0，∴，又PA不包含于平