2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1指数一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1第四章指数函数与对数函数4.1指数第1课时n次方根与分数指数幂考点1n次方根的含义及其运算1.(2024·山东潍坊一中高一月考)若xn=a(x≠0),则下列说法中正确的个数是()。①当n为奇数时,x的n次方根为a;②当n为奇数时,a的n次方根为x;③当n为偶数时,x的n次方根为±a;④当n为偶数时,a的n次方根为±x。A.1B.2C.3D.4答案:B解析:当n为奇数时,a的n次方根只有1个,为x;当n为偶数时,由于(±x)n=xn=a,所以a的n次方根有2个,为±x。所以说法②④是正确的,选B。2.(2024·浙江绍兴一中高一期中考试)计算:-x3等于(A.x-x B.-xC.-x-x D.x答案:C解析:由已知,得-x3≥0,所以x≤0,所以-x3=(-x)·x2=-x·x2=-3.(2024·宁夏银川一中高一月考)若xy≠0,则等式x2y3=-xyy成立的条件是(A.x>0,y>0 B.x>0,y<0C.x<0,y>0 D.x<0,y<0答案:C解析:∵xy≠0,∴x≠0,y≠0。由x2y34.(2024·陕西西安中学周测)下列各式正确的是()。A.(-5)2=-5 B.C.72=7 D.3答案:C解析:由于(-5)2=5,4a4=|a|,3(-π)5.(2024·广西南宁三中高一段考)下列说法:①481的运算结果是±3;②16的4次方根是2;③当n为大于1的偶数时,na只有当a≥0时才有意义;④当n为大于1的奇数时,na对随意a其中,正确说法的个数为()。A.4 B.3 C.2 D.1答案:C解析:对于①,因为偶次根式的结果只能是正数,①错误;对于②,偶次方根的结果有正有负,②错误;依据指数幂的运算法则可知③④正确。则正确的个数为2,故选C。6.(2024·云南曲靖宣威八中高一第六次质检)化简(3+2)2024·(3-2)2024=。

答案:1解析:原式=[(3+2)·(3-2)]2024=12024=1,故答案为1。7.(2024·广东阳江阳东广雅学校高一期中)化简(1-2答案:2x-1解析:∵x>12,∴2x-1>0,∴(1-2x)8.(2024·广东中山一中高一月考)已知a<b<0,n>1,n∈N*,化简:n(a-答案:解:当n=2k+1(k∈N*)时,原式=(a-b)+(a+b)=2a;当n=2k(k∈N*)时,原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a。所以n(a-b考点2分数指数幂及其运算9.(2024·湖北武钢三中高一期中考试)若(3-2x)-34有意义,则实数x的取值范围是(A.(-∞,+∞)B.-∞,32C.-∞,D.3答案:C解析:要使(3-2x)-34有意义,需使3-2x>0,即x10.(2024·吉林东北师大附中月考)若a>0,b>0,m,n都是有理数,则下列各式不成立的是()。A.ambn=am·b-n B.C.am+an=amn D.am·a-n=am-n答案:C解析:由分数指数幂的运算性质,可知C不成立。11.(2024·湖北武汉二中周练)若102x=25,则10-x等于()。A.-15 B.15 C.150答案:B解析:∵102x=25,∴(102x)12=2512,∴10x=(52)12=5。∴10-12.(2024·河北石家庄二中月考)下列命题为真命题的是()。A.当n为偶数时,nanB.当n为奇数时,nanC.(-1)13D.0-答案:B解析:由根式的性质可知,当n为奇数时,nan=a,当n为偶数时,nan=|a|,所以A错误,B正确;(-1)13=-1,(-1)26=1,所以C错误;13.(2024·河北衡水中学高一月考)假如x=1+2b,y=1+2-b,那么用x表示y,则y等于()。A.x+1x-C.x-1x答案:D解析:y=1+2-b=1+12b=1+1x-1=14.(2024·安徽毛坦厂中学单元测试)若y=(3x-2)12+(2-3x)12+62有意义,则实数x,y答案:23解析:y=(3x-2)12+(2-3x)12+62=3x-2+2-3x+62,要使式子有意义必需考点3n次方根与分数指数幂的互化15.(2024·云南民族高校附属中学高一月考)323可化为(A.2 B.3 C.39 D.答案:C解析:323=3316.(2024·河北张家口高一月考)5a-2可化为(A.a-25C.a25 答案:A解析:当根式化为分数指数幂时,留意分子与分母,5a-217.(2024·河北石家庄二中周测)将222化为分数指数幂为(A.232 C.274 答案:D解析:222=22×212=2×218.(2024·河北石家庄一中高一月考)下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的是()。A.-x=(-x)12(B.6y2=y1C.x-12y23=D.x-13=-3x答案:C解析:对于A,-x=-x12,故A错误;对于B,当y<0时,6y2>0,y13<0,故B错误;对于C,x-12y23=3y2x(x>0,y>0),故19.(2024·宁夏银川一中月考)将532写成根式,正确的是(A.352 C.532 答案:D解析:依据分数指数幂的定义可知D正确。20.(2024·辽宁东北育才中学高一月考)计算:3a92a-答案:1解析:因为a-3有意义,所以a>0,所以原式=3a92·a-32÷a考点4根式与分数指数幂的综合问题21.(2024·陕西西北工业高校附属中学高一月考)下列各式中成立的是()。A.nm7=nB.12(-3C.4x3+y3D.39=答案:D解析:nm7=n7m7=n7m-7,故A错误;12(-3)4=1234=3412=313=33,故B错误22.(2024·湖南边城一中月考)已知ab=-5,则a-ba+b-ab的值是A.25 B.0 C.-25 D.±25答案:B解析:由题意知ab<0,a-ba+b-ab=a-aba2+b-abb2=a5a2+23.(2024·湖北枝江一中单元测评)若代数式3x-1+3-x有意义,则9答案:8解析:由于3x-1+3-x有意义,所以3x-1≥0,3-x≥0,解得13≤x≤3,故9x24.(2024·河南中原油田一中高一单元测评)若10x=3-18,10y=427,则102x-答案:1解析:102x-y=(10x)2÷10y=(3-18)2÷427=3-25.(2024·湖北宜昌一中高一月考)已知3a2+b=1,则9a答案:3解析:由3a2+b=1,得9a×3b3a=32a26.(2024·广东阳江一中单元检测)化简:(23a2·b)(-6a·3b)÷(-36a·答案:4a解析:(23a2·b)(-6a·3b)÷(-36a·6b5)=(2a23·b12)·(-6a12·b13)÷(-3a127.(2024·湖南浏阳一中高一月考)完成下列题目。(1)已知x+y=8,xy=9,且x>y>0,求x12答案:∵x+y=8,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=64-36=28。∵x>y>0,∴x-y=27,∴x12-y12x12+y(2)化简:a43-8a答案:原式=a13(a13)3-(2b13)3(a13)2+a1328.(2024·湖北黄冈中学单元检测)若x>0,y>0,且x-xy-2y=0,求2x答案:解:因为x-xy-2y=0,x>0,y>0,所以(x)2-xy-2(y)2=0,所以(x+y)(x-2y)=0。由x>0,y>0得x+y>0,所以x-2y=0,所以x=4y,所以2x-xyy+2第2课时指数与指数幂运算的综合问题答案P228考点1有理数指数幂的运算性质及应用1.(2024·湖南长沙长郡中学高一期中)化简3ab2·a3b23b·A.baB.abC.abD.a答案:C解析:原式=[(ab2)13·2.(2024·浙江桐乡茅盾中学高一期中)化简3aa的结果是(A.a B.a C.a2 D.3答案:B解析:3aa=3a·a12=33.(2024·吉林五十五中高一期中)计算:(-27)23×9-32A.-3 B.-13 C.3 D.答案:D解析:(-27)23×9-32=[(-3)3]23×(32)-32=(-3)4.(2024·黑龙江哈尔滨第六中学高一期末)已知x+x-1=4,则x2-x-2等于()。A.±83 B.83 C.-83 D.±23答案:A解析:x+x-1=4两边平方得x2+x-2=14,所以(x-x-1)2=14-2=12,所以x-x-1=±23,所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±83。5.(2024·广东揭阳高一期中)化简(a23b12)(-3a答案:-9a解析:(a23b12)(-3a12b13)÷136.(2024·湖南雅礼中学高一周测)化简:(1-a)·41(a答案:-4解析:要使原式有意义,需a-1>0。(1-a)41(a-1)3=(1-a)·(a-1)-34=-(a-1)(考点2无理数指数幂的运算7.(2024·湖北武汉二中月考)由下面的两串有理数指数幂渐渐靠近,可以得到的数为()。(1)21.7,21.73,21.732,21.7320,21.73205,…(2)21.8,21.74,21.733,21.7321,21.73206,…A.21.7 B.21.8 C.23 答案:C解析:3的不足近似值为1.7,1.73,1.732,1.7320,1.73205,…;3的过剩近似值为1.8,1.74,1.733,1.7321,1.73206,…。故由(1)(2)两串有理数指数幂所靠近得到的数为238.(2024·江西临川一中单元检测)计算:3π×13π+(222)2+A.17 B.18 C.6 D.5答案:B解析:3π×13π+(222)2+15=3×1考点3指数幂运算的综合问题9.(2024·浙江镇海中学高一周练)1681-14的值是A.23 B.32 C.481 答案:B解析:1681-14=811610.(2024·陕西西安中学高一月考)计算1634-8×6449-1A.1 B.-2 C.15 D.-8答案:A解析:原式=(24)34-8×87-11.(2024·福建漳州长泰一中高一期中)下列各式中成立的一项是()。A.-12x2=-3x B.C.(-2a)2b=-2ab D.ab答案:D解析:A.-12x2=-62x,故A错误;B.-100.1=-10×1010=-10,故B错误;C.(-2a)2b=2|a12.化简(a-1)2+(1-a)2A.1-a B.2(1-a)C.a-1 D.2(a-1)答案:C解析:∵a-1有意义,∴a-1≥0,即a≥1。∴(a-1)2+(1-a)2+3(1-a)3=(a-1)+|1-13.(2024·山西大同阳高一中高二第一次月考)1120-(1-0.5-2)÷2782A.-13 B.13 C.43答案:D解析:原式=1-1-10.52÷322=1-1-10.2514.(2024·广东珠海高三模拟)若a+b=m13,ab=16m23(m>0),则a3+bA.0 B.m2 C.-m2 答案:B解析:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m13·m2315.(2024·宁夏银川一中月考)当a>0时,-ax3等于(A.xax B.x-C.-x-ax D.-x答案:C解析:∵a>0,∴x<0,-ax3=|x|-ax=-x-16.(2024·江西临川一中月考)设x,y是正数,且xy=yx,y=9x,则x的值为()。A.19 B.43 C.1 答案:B解析:∵x9x=(9x)x,(x9)x=(9x)x,∴x9=9x。∴x8=9。∴x=89=417.(2024·广西河池示范性中学课改联盟体高一联考)已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x·2x+a-1,若f(-1)=34,则a等于()A.-3 B.-2 C.-1 D.0答案:A解析:∵f(-1)=34,∴f(1)=-34,即21+a-1=-34,即1+a=-2,得18.(2024·河南郑州第一中学高一期中)计算:(0.0081)-14-3×56答案:-8解析:原式=103-3×13+19.(2024·安徽黄山高一期中调考)求下列各式的值:(1)0.001-13-780+1634答案:原式=(0.1)3×-13-1+24×34+((2)设x12+x-12=3,求答案:∵x12+∴x+x-1=(x12+x-12)20.(2024·河北廊坊八中高一月考)计算(化简)下列各式。(1)(0.0001)-14+2723答案:原式=(10-4)-14+(33)23-782-12+13(2)m12-n12m12+n1答案:原式=(m12-考点4指数幂中的条件求值问题21.(2024·广东广州二中高一期中)已知2x=72y=A,且1x+1y=2,则A的值是(A.7 B.72 C.±72 D.98答案:B解析:∵2x=72y=A,∴A1x=2,A1y=72=49,A1x+1y=2×49=98,∵122.设a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a4+b4+c4等