第08讲三角形全等的判定“边边边”(3种题型)(原卷版+解析)

第08讲三角形全等的判定“边边边”（3种题型）【知识梳理】全等三角形判定“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.【考点剖析】题型一：用“边边边”直接证明三角形全等例1．（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点在一条直线上，，求证：．

【变式1】（2023秋·八年级课时练习）如图，在和中，，，要利用“”证明，需增加的一个条件可以是（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·全国·八年级假期作业）如图，已知，要用“”判定，则只需添加一个适当的条件是_____．【变式3】（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．(1)求证：；(2)求证：．题型二、用“边边边”间接证明三角形全等例2、已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．【变式1】（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，已知，，求证：．

【变式2】（2022秋·广东湛江·八年级校考期中）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AB=CD，BF=DE，AE=CF．求证：．【变式3】已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.【变式4】（2023秋·八年级课时练习）小春在做数学作业时，遇到这样一个问题：如图，，，请说明．小春动手测量了一下，发现确实等于，但她不能说明其中的道理，你能帮助她吗?【变式5】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE.【变式6】（2023秋·八年级课时练习）如图，，，，分别与，相交于点O，F．求证：．【变式7】（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）如图，，，、相交于，由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中3个正确结论（不要添加字母和辅助线，并对其中一个给出证明）结论1：结论2：结论3：证明：【变式8】（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，D是上的一点，于点E，交的延长线于点F，若，，试判断直线与的位置关系，并说明理由．题型三：尺规作一个角等于已知角例3．（2023春·山东枣庄·七年级统考期末）小明回顾了一下用尺规作一个角等于已知角的过程：已知：．求作：．作法如下：①作射线；②以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D，交于点E；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点D'；⑤过点作射线．就是所求作的角．请你根据以上材料完成下列问题：(1)完成下面说理过程(将正确答案填在相应的横线上)；如图，分别连接，；由作图可知，，______，______，所以______，()所以．(依据)(2)上面说理过程中的依据是：________________．【变式1】（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（

）A． B． C． D．【变式2】（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）如下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判定的依据是______．【变式3】（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）作图题：已知，选择适当的方法，求作，使．（不写作法，保留作图痕迹）

【过关检测】1．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期末）如图，木工师傅常用角尺平分任意一个角，做法如下：如图，在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线．做法中用到的三角形全等的判定方法是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且，，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（2022秋·天津宁河·八年级校考期中）如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出还需要添加的一个条件可以是（

）A． B． C． D．以上都对4．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（）A． B． C． D．5．（2023秋·山西长治·八年级统考期末）2022年10月12日某中学八年级（4）班的同学在听了“天宫课堂”第三课，即我国航天员在中国空间站进行的太空授课后，组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，那么的依据是（

）A． B． C． D．6．（2022秋·八年级课时练习）如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（

）A．30° B．60° C．70° D．80°7．（2023·全国·八年级假期作业）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（

）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④8．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（

）

A． B． C． D．9．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的个数为(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题10．（2022秋·八年级课时练习）如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是______．11．（2022秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，，若，则______度．12．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，，，则________．13．（2022秋·八年级课时练习）已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有___对全等三角形．14．（2023·全国·八年级假期作业）如图，，若要用“”证明，需要补充一个条件，这个条件是__________．15．（2022秋·广东广州·八年级广州四十七中校考期中）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD，AE=DF，CE=BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为__________16．（2022秋·辽宁鞍山·八年级校考期中）如图，已知，则___________．17．（2023秋·安徽池州·八年级统考期末）如图，在网格中，___________．18．（2020秋·江苏南京·八年级校考期中）我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有______个．三、解答题19．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求．20．（2023·全国·八年级假期作业）如图，已知，，为的中点，说出的理由．

21．（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，交于点O，．求证：．22．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求证：BM//DN.23．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）已知，如图，，求证：24．（2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，点E、点F在上，且，，，求证：．

25．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点A，E，C，F在同一条直线上，，，，则与相等吗？并说明理由．26．（2023·江苏·八年级假期作业）已知：如图，中，，为的中点．求证：平分．

27．（2022秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图，请你仅用无刻度直尺作图．(1)在图①中，画出三角形边上的中线；(2)在图②中，找一格点D，使得．28．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．

(1)的面积是_________；(2)试利用方格图，用无刻度直尺按要求画图：①画边的中线；②画线段（均为格点），使．（只画出一条即可）29．（2023·全国·八年级假期作业）如图，已知，，为上任意一点，过点作一条直线分别交，的延长线于点，．求证：．

第08讲三角形全等的判定“边边边”（3种题型）【知识梳理】全等三角形判定“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.【考点剖析】题型一：用“边边边”直接证明三角形全等例1．（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点在一条直线上，，求证：．

【详解】证明：∵，∴，即，在和中∴．【变式1】（2023秋·八年级课时练习）如图，在和中，，，要利用“”证明，需增加的一个条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，，因此还需增加，A：，无法证明，不符合题意；B：，无法证明，不符合题意；C：，可证得，符合题意；D：，无法证明，不符合题意；故选：C．【变式2】（2023·全国·八年级假期作业）如图，已知，要用“”判定，则只需添加一个适当的条件是_____．【答案】【详解】∵全等三角形的判定“”：三边对应相等的两个三角形全等，∴当和中，，∴，故答案为：．【变式3】（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．(1)求证：；(2)求证：．【详解】（1）解：证明：，，即，在和中，，；（2）由（1）知，，．题型二、用“边边边”间接证明三角形全等例2、已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．【答案与解析】证明：∵M为PQ的中点（已知），∴PM＝QM在△RPM和△RQM中，∴△RPM≌△RQM（SSS）．∴∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）．即RM平分∠PRQ.【变式1】（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，已知，，求证：．

【详解】证明：在和中，，∴，∴．【变式2】（2022秋·广东湛江·八年级校考期中）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AB=CD，BF=DE，AE=CF．求证：．【详解】证明：∵，∴，在和中，，∴，∴．【变式3】已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.【答案】证明：连接DC，在△ACD与△BDC中∴△ACD≌△BDC（SSS）∴∠CAD＝∠DBC（全等三角形对应角相等）【变式4】（2023秋·八年级课时练习）小春在做数学作业时，遇到这样一个问题：如图，，，请说明．小春动手测量了一下，发现确实等于，但她不能说明其中的道理，你能帮助她吗?【详解】解：能．连接．在和中，，，．【变式5】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE.【答案与解析】证明：在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SSS）∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形对应角相等）.【变式6】（2023秋·八年级课时练习）如图，，，，分别与，相交于点O，F．求证：．【详解】证明：，，，，，，，即，，．【变式7】（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）如图，，，、相交于，由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中3个正确结论（不要添加字母和辅助线，并对其中一个给出证明）结论1：结论2：结论3：证明：【答案】结论1：结论2：结论3：平分证明结论3，见详解【详解】结论1：结论2：结论3：平分证明结论3：在和中，，∴，∴，即平分．【变式8】（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，D是上的一点，于点E，交的延长线于点F，若，，试判断直线与的位置关系，并说明理由．【详解】解：．理由如下：，，，∴，在和中，，，，，，，，．题型三：尺规作一个角等于已知角例3．（2023春·山东枣庄·七年级统考期末）小明回顾了一下用尺规作一个角等于已知角的过程：已知：．求作：．作法如下：①作射线；②以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D，交于点E；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点D'；⑤过点作射线．就是所求作的角．请你根据以上材料完成下列问题：(1)完成下面说理过程(将正确答案填在相应的横线上)；如图，分别连接，；由作图可知，，______，______，所以______，()所以．(依据)(2)上面说理过程中的依据是：________________．【答案】(1)，，(2)全等三角形的对应角相等【详解】（1）解：如图，分别连接，；由作图可知，，，，所以，()所以．故答案为：，，；（2）解：∵与是与的一组对应角，∴依据是：全等三角形的对应角相等．故答案为：全等三角形的对应角相等．【变式1】（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由作法易得，在与中，，∴（），∴（全等三角形的对应角相等）．故选：C．【变式2】（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）如下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判定的依据是______．【答案】【详解】解：由用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图步骤可知，如图所示：，判断的依据是，【变式3】（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）作图题：已知，选择适当的方法，求作，使．（不写作法，保留作图痕迹）

【详解】解：如图，即为所求三角形，

【过关检测】1．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期末）如图，木工师傅常用角尺平分任意一个角，做法如下：如图，在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线．做法中用到的三角形全等的判定方法是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得由此即可利用证明，得到．【详解】解：在和中，，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且，，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推出，利用证明，得到，推出，再利用平行线的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握“两直线平行同旁内角互补”是解题的关键．3．（2022秋·天津宁河·八年级校考期中）如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出还需要添加的一个条件可以是（

）A． B． C． D．以上都对【答案】B【分析】根据已知条件，，要利用“”推理得，只需再得到一组边相等即可，再结合选项中所给的条件，运用线段之间的关系进一步分析即可得出答案．【详解】解：当时，，理由：∵，又，，∴（）故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．4．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答．【详解】解：由“”可以判定两个三角形全等，，，，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．5．（2023秋·山西长治·八年级统考期末）2022年10月12日某中学八年级（4）班的同学在听了“天宫课堂”第三课，即我国航天员在中国空间站进行的太空授课后，组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，那么的依据是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由E，F分别是，的中点，，得出；根据三边对应相等，证明．【详解】∵E，F分别是，的中点，∴在与中∴故选：D【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．．6．（2022秋·八年级课时练习）如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（

）A．30° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性质得∠DAE＝∠AEB−∠ADB＝70°．【详解】解：∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，∴BF=DE又∵AD＝BC，AE＝CF．∴△AED≌△CFB（SSS），∴∠BCF＝∠DAE，∵∠DAE＝∠AEB−∠ADB＝100°-30°=70°∴∠BCF＝70°．故选C．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和等知识．7．（2023·全国·八年级假期作业）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（

）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④【答案】A【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．【详解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，在△ABC和△FED中，，∴△ABC≌△FED（SSS），∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．8．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用，答案可得．【详解】解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D、C；②任意作一点，作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；③以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；④过点作射线．所以就是与相等的角；作图完毕．在与，，∴，∴，显然运用的判定方法是．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．9．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的个数为(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】由D为BC中点可得BD=CD，利用SSS即可证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质逐一判断即可.【详解】∵D为BC的中点，∴BD=CD，又∵AB=AC，AD为公共边∴△ABD≌△ACD（SSS），故①正确，∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，故②③④正确.综上所述：正确的结论有①②③④共4个，故选D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．其中灵活运用所给的已知条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键.二、填空题10．（2022秋·八年级课时练习）如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是______．【答案】（答案不唯一）【分析】在与中，已经有条件：所以补充可以利用证明两个三角形全等.【详解】解：在与中，所以补充：故答案为：【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键.11．（2022秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，，若，则______度．【答案】40【分析】利用SSS证明，根据全等三角形的性质即可求解．【详解】解：在和中，，（SSS），，，，故答案为：40．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS证明是解题的关键．12．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，，，则________．【答案】【分析】根据已知得出，证明，根据全等三角形的性质得出，即可求解．【详解】解：∵，，∴即，在与中，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．13．（2022秋·八年级课时练习）已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有___对全等三角形．【答案】3【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证．【详解】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，∴△ADB≌△ACB；∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．∴图中共有3对全等三角形．故答案为3．14．（2023·全国·八年级假期作业）如图，，若要用“”证明，需要补充一个条件，这个条件是__________．【答案】【分析】由图形可知为公共边，则可再加一组边相等，可求得答案．【详解】解：∵，，∴可补充，在和中，，∴；故答案为：．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．15．（2022秋·广东广州·八年级广州四十七中校考期中）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD，AE=DF，CE=BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为__________【答案】41°【分析】根据题意，用SSS证明三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD，在△ACE和△DBF中，，∴在△ACE≌△DBF(SSS)，∴∠A=∠D=55°，∠E=∠F=84°，∴∠DBF=180°-55°-84°=41°，故答案为：41°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．16．（2022秋·辽宁鞍山·八年级校考期中）如图，已知，则___________．【答案】【分析】连接，由“”可证，可得．【详解】解：如图，连接，∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．17．（2023秋·安徽池州·八年级统考期末）如图，在网格中，___________．【答案】/45度【分析】由题意得，，，,用SSS可证明，根据全等三角形的性质和外角和内角之间的关系即可得．【详解】如图解：由题意得，，，，在和中，∴（SSS），∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角与内角的关系，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．18．（2020秋·江苏南京·八年级校考期中）我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有______个．【答案】15【分析】利用判定三角形全等，在网格中画出与三角形全等的三角形，即可得解．【详解】解：如图所示：除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有15个．故答案为：15．【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．三、解答题19．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求．【答案】【分析】根据题意，直接根据证明，再根据全等三角形对应角相等，即可求解．【详解】解：在和中，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有．20．（2023·全国·八年级假期作业）如图，已知，，为的中点，说出的理由．

【答案】见解析【分析】根据全等三角形的判定和性质，即可得到结论．【详解】∵为的中点，∴，在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．21．（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，交于点O，．求证：．【答案】证明见解析【分析】只需要利用证明即可证明．【详解】证明：在和中，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等．22．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求证：BM//DN.【答案】见解析．【分析】根据AC＝BD，可得到AB＝CD，结合AM＝CN，BM＝DN，证明出△ABM≌△CDN，得到∠MBA＝∠D，进而证明出BM∥DN．【详解】证明：∵AC＝BD，∴AC＋BC＝BD＋BC，即AB＝CD，∵在△ABM和△CDN中，∴△ABM≌△CDN（SSS），∴∠MBA＝∠D，∴BM∥DN．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的应用，解答本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理，此题难度一般．23．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）已知，如图，，求证：【答案】见详解【分析】连接，证明即可求得答案．【详解】证明：连接，如图所示，∵，，，∴，∴；【点睛】本题考查了几何问题，正确作出辅助线是解题关键．24．（2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习）如