2024北京顺义区高三一模数学（第二次统练）试题及答案

试题PAGE1试题2024北京顺义高三一模数学（第二次统练）考生须知1.本试卷共5页，共两部分，21道小题，满分150分。考试时间120分钟。2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和班级。3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）设集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）已知复数的共轭复数满足，则（A）（B）（C）（D）（3）在的展开式中，的系数为（A）（B）（C）（D）（4）已知，，，则（A）（B）（C）（D）（5）已知各项均为正数的数列的前项和为,，，，则（A）（B）（C）（D）（6）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，直线与相交于点，与轴交于点，若为的中点，则（A）（B）（C）（D）（7）若函数则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（8）如图，正方体中，是线段上的动点，有下列四个说法：=1\*GB3①存在点，使得平面；=2\*GB3②对于任意点，四棱锥体积为定值；=3\*GB3③存在点，使得平面；=4\*GB3④对于任意点，都是锐角三角形.其中，不正确的是（A）=1\*GB3①（B）=2\*GB3②（C）=3\*GB3③（D）=4\*GB3④（9）已知在平面内，圆，点为圆外一点，满足，过点作圆的两条切线，切点分别为.若圆上存在异于的点，使得，则的值是（A）（B）（C）（D）（10）设是的一个排列.且满足，则的最大值是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.（11）函数的定义域是.（12）在中，，，则面积为_______.（13）若非零向量满足，且，则能使得成立的一组可以是__________，___________.（14）已知双曲线的焦距为.若点在双曲线上，则的离心率等于_________.（15）已知函数，给出下列四个结论：=1\*GB3①当时，对任意，有1个极值点；=2\*GB3②当时，存在，使得存在极值点；=3\*GB3③当时，对任意，有1个零点；=4\*GB3④当时，存在，使得有3个零点；其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6道题，共85分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（16）（本小题13分）已知函数，其中.（=1\*ROMANI）若，求的值；（=2\*ROMANII）已知时，单调递增，再从条件=1\*GB3①、条件=2\*GB3②、条件=3\*GB3③中选择一个作为已知，使函数存在，求的最大值.条件=1\*GB3①：；条件=2\*GB3②：；条件=3\*GB3③：的图像与直线的一个交点的横坐标为.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（17）（本小题14分）在直三棱柱中，，分别为棱的中点．（=1\*ROMANI）求证：；（=2\*ROMANII）若.（=1\*romani）求平面与平面夹角的余弦值；（=2\*romanii）若平面与直线交于点，直接写出的值．（18）（本小题13分）某学校工会组织趣味投篮比赛,每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种.方式一：选手投篮3次.每次投中可得1分，未投中不得分，累计得分；方式二：选手最多投3次.如第1次投中可进行第2次投篮，如第2次投中可进行第3次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累计得分；已知甲用方式一参加比赛，乙用方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为，且每次投篮相互独立．（=1\*ROMANI）求甲得分不低于分的概率；（=2\*ROMANII）求乙得分的分布列及期望；（=3\*ROMANIII）甲，乙谁胜出的可能性更大？直接写出结论.（19）（本小题15分）已知椭圆的右焦点为，长轴长为，过作斜率为的直线交于两点，过点作斜率为的直线交于两点，设，的中点分别为，.（=1\*ROMANI）求椭圆的方程；（=2\*ROMANII）若，设点到直线的距离为，求的取值范围.（20）（本小题15分）设函数，.曲线在点处的切线方程为.（=1\*ROMANI）求的值；（=2\*ROMANII）求证：方程仅有一个实根；（=3\*ROMANIII）对任意，有，求正数的取值范围.（21）（本小题15分）已知点集满足.对于任意点集,若其非空子集满足,则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分,记中所有点的横坐标之和为，中所有点的纵坐标之和为.（=1\*ROMANI）写出的一个优划分,使其满足；（=2\*ROMANII）对于任意点集,求证：存在的一个优划分，满足；（=3\*ROMANIII）对于任意点集,求证：存在的一个优划分，满足.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.DCADB，BCCAB二、填空题共5小题，每题5分.（11）（12）（13），且即可（14）（15）=1\*GB3①=4\*GB3④（有错不得分，对1个三分）三、解答题（16）（本小题满分13分）（=1\*ROMANI）解：法一：=……1分=……3分即可得又，所以……5分法二：……2分=……3分所以即得……………4分又，所以……5分（=2\*ROMANII）=选择=2\*GB3②，，因为，所以………………7分因为的最小正周期，………………8分所以由可得所以，……………10分或法二：因为，………………7分所以即………………8分因为所以，……………10分选择=3\*GB3③，=的图像与直线的一个交点的横坐标为即可得，所以…8分又，所以，…10分法一：令解得，即的单增区间为…11分又时，单增所以，是的一个子区间所以，即可得，又所以…12分故是的一个子区间，所以的最大值为.…13分法二：因为，，所以…11分因为在上单增，所以，即可得，所以…12分所以，可得的最大值为.…13分（17）（本小题14分）(=1\*ROMANI)法一：证明：连接因为，为中点，所以……1分因为是直三棱柱的侧棱，所以平面……2分因为平面，所以因为，所以平面……3分因为平面，所以……4分法二：证明：连接因为是直三棱柱的侧棱，所以平面……1分所以，又，所以……2分所以……3分又因为为中点，所以……4分(=2\*ROMANII)解：（=1\*romani）因为，所以为等边三角形设中点为，则因为平面，设的中点为，则，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.……5分则，，，，，，，因为为中点，所以，所以，…………6分因为，，所以平面所以是平面的一个法向量.……7分设是平面的一个法向量，则，所以，令，可得所以……9分设平面与平面的夹角为，则所以平面与平面的夹角的余弦值为.……11分(=2\*romanii)……14分（18）（本小题满分13分）（=1\*ROMANI）解：设甲选择方式一参加比赛得分为……1分……2分设甲得分不低于2分为事件……3分则=……4分（=2\*ROMANII）设乙选择方式二参加比赛得分为，的可能取值为，=，=，=……8分所以的分布列为所以……10分（=3\*ROMANIII）甲获胜的可能性更大.……13分（19）（本小题满分15分）（=1\*ROMANI）解：长轴长为，所以……1分又焦点为，所以……2分所以所以，椭圆的方程为……4分（=2\*ROMANII）设，直线的方程为联立，消去得所以……5分又为的中点，所以，……………7分因为，即，又为的中点不妨用代换，可得，……9分讨论：（1）当时，直线的斜率不存在此时=，解得.当时，，此时的方程为所以，点到直线的距离为同理，当，……11分（2）当时，，此时=所以直线的方程为化简可得……12分法一：点到直线的距离又，所以……13分因为，所以……14分所以综上可知，……15分法二：直线的方程为……12分令，可得，综上可知，直线恒过定点……14分故点到直线的距离的最大值为，此时直线的斜率不存在又直线的斜率一定不为所以……15分（20）（本小题满分15分）(=1\*ROMANI)解：因为，所以……1分又点在切线上，所以……2分所以即……4分（=2\*ROMANII）证明：欲证方程仅有一个实根只需证明仅有一个零点令，则……6分令，则讨论：（1）当时，=所以在上单调递增，所以即所以在上单调递增，，即此时无零点…7分（2）当时，，即此时有一个零点……8分（3）当时，所以，当时，，即此时无零点……9分综上可得，仅有