2024-2025学年湖南省常德一中高三（上）第二次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省常德一中高三（上）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x||x−1|<2,x∈N∗}，N={−1,0,1,2,3}，则M∩N=(

)A.{0,1,2} B.{1,2} C.{−1,0,1,2} D.{2,3}2.已知角α的终边与单位圆交于点P(−12,y)，则cosα=A.−33 B.−12 3.设a，b∈R，则“a2=b2”是“2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知曲线y=x24−3ln x的一条切线的斜率为1A.3 B.2 C.1 D.15.若3sinα+cosα=0，则1cos2α+sin2α的值为A.103 B.53 C.236.已知实数a>0，且满足不等式log3(3a+2)>log3(4a+1)，若A.x+y>0 B.x+y>1 C.x−y>0 D.x−y>17.已知函数f(x)=x3−3x2A.−8098 B.−8096 C.0 D.81008.已知函数f(x)=5cosπxa，若存在f(x)的极值点x0，满足xA.(−∞,−2)∪(2,+∞) B.(−∞,−3)⋃(3,+∞)

C.(−∞,−5)⋃(二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列式子结果为3的是(

)

①tan25°+tan35°+3tan25°tan35°；②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；

③1+tan15°1−tanA.① B.② C.③ D.④10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π<φ<π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A.φ=−π3

B.f(x)≤f(−π12)

C.f(x)在[π,4π311.已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，g′(x)为g(x)的导函数，且f(x)+g′(x)=2，f(x)−g′(4−x)=2，若g(x)为偶函数，则下列结论一定成立的是(

)A.f(4)=2 B.g′(2)=0 C.f(−1)=f(−3) D.f(1)+f(3)=4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若扇形的圆心角为150°，半径为3，则该扇形的面积为______．13.曲线y=ex在x=0处的切线恰好是曲线y=ln(x+a)的切线，则实数a=14.若定义在A上的函数f(x)和定义在B上的函数g(x)，对任意的x1∈A，存在x2∈B，使得f(x1)+g(x2)=t(t为常数)，则称f(x)与g(x)具有关系P(t).已知函数f(x)=2cos(2x+π6)(x∈[四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x−1.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足f(A)=1．

(1)求A的值；

(2)16.(本小题15分)

已知在多面体ABCDE中，DE//AB，AC⊥BC，BC=2AC=4，AB=2DE，DA=DC且平面DAC⊥平面ABC．

(Ⅰ)设点F为线段BC的中点，试证明EF⊥平面ABC；

(Ⅱ)若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求二面角B−AD−C的余弦值．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx(a∈R)．

(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；

(2)若f(x)既存在极大值，又存在极小值，求实数18.(本小题17分)

已知两点A(−1,0)、B(1,0)，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3，动点M的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)过点F(2,0)作直线l交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为k1、k2．

①证明：k1k2为定值；

②若点Q关于x轴的对称点为点H，探究：是否存在直线l，使得△PFH的面积为919.(本小题17分)

已知函数f(x)=alnxx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y−3=0．

(Ⅰ)求a、b的值；

(Ⅱ)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>参考答案1.B

2.B

3.B

4.A

5.A

6.C

7.A

8.C

9.ABC

10.BD

11.ABD

12.

13.2

14.(−∞,−4]∪[4,+∞)

15.解：(1)f(x)=23sinxcosx+2cos2x−1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，

因为f(A)=2sin(2A+π6)=1，所以sin(2A+π6)=12，

又因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<π2，所以π6<2A+π6<7π6，

则2A+π6=5π6，解得A=π3；

(2)由(1)知，锐角△ABC中，A=π3，所以B=2π3−C，

所以0<C<π20<B=23π−C<π216.解：(Ⅰ)证明：取AC的中点O，连接EF，OF，

由在△DAC中DA=DC，所以DO⊥AC，

由平面DAC⊥平面ABC，且交线为AC，得DO⊥平面ABC，

因为OF/​/AB，且AB=2OF，

又DE/​/AB，AB=2DE，所以OF/​/DE，且OF=DE，

∴四边形DEFO为平行四边形，∴EF//DO，

∴EF⊥平面ABC；

(Ⅱ)解：由DO⊥平面ABC，AC⊥BC，

以O为原点，OA所在直线为x轴，过点O与BC平行的直线为y轴，OD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则A(1,0,0)，C(−1,0,0)，B(−1,4,0)，

由EF⊥平面ABC，所以直线BE与平面ABC所成的角为∠EBF=60°，

所以DO=EF=BFtan60°=23，∴D(0,0,23)，

取平面ADC的法向量m=(0,1,0)，

设平面ADB的法向量n=(x,y,z)，AB=(−2,4,0)，AD=(−1,0,23)，

由n⋅AB=0n17.解：(1)因为a=−1，f(x)=−x−1x，

所以f′(x)=−1+1x2，

因此f′(e)=1e2−1=1−e2e2，f(e)=−e−1e，

所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y+e+1e=1−e2e2(x−e)，

即y=1−e2e2x−2e；

(2)因为18.解：(1)设动点M(x,y)，则kMA=yx+1，kMB=yx−1，

由题意得yx+1⋅yx−1=3，即x2−y23=1(y≠0)，

故曲线C的方程为x2−y23=1(y≠0)；

(2)由(1)得曲线C的方程为x2−y23=1(y≠0)，

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，可设直线l的方程为x=my+2，

联立直线的方程与曲线C的方程得x=my+2x2−y23=1，整理得(3m2−1)y2+12my+9=0，

则Δ>0y1+y2=−12m3m2−1y1⋅y2=9319.解：由题意f(1)=1，即切点坐标是(1,1)

(Ⅰ)f′(x)=a(x+1x−lnx)(x+1)2−bx2

由于直线x+2y−3=0的斜率为−12，且过点(1,1)，故f(1)=1f′(1)=−12

即b=1a2−b=−12解得a=1，b=1．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=lnxx+1+1x，所以

f(x)