第17讲对数函数

第17讲：对数函数【考点归纳】考点一、对数函数的概念及应用考点二、与对数函数有关的定义域考点三、对数函数的图象问题考点四：对数函数的复合单调性问题考点五：由对数函数的单调性求参数考点六：由对数函数的单调性解不等式考点七、比较大小考点八：对数函数的最值问题考点九：对数函数的应用考点十、对数函数综合问题【知识梳理】知识点一对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．知识点二对数函数的图象和性质对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：y＝logax(a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称知识点三不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴．知识点四反函数的概念一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．(1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域．(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．(3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．【例题详解】题型一、对数函数的概念及应用1．（2324高一上·全国）若函数是对数函数，则a的值是（

）A．1或2 B．1C．2 D．且【答案】C【分析】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可.【详解】∵函数是对数函数，∴，且，解得或，∴，故选：C．2．（2122高一上·全国·课后作业）下列函数中，是对数函数的有①；②；③；④；⑤.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据对数函数的概念分析可得答案.【详解】①在且的条件下才是对数函数，故①不是对数函数；②和③符合对数函数的定义，是对数函数；④中，底数不是常数，不是对数函数；⑤中系数不是，不是对数函数.故选：B.3．（2122高一上·山西长治·阶段练习）若函数的反函数的图象过点，则（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用同底的指数函数与对数函数互为反函数求出a值，再借助对数运算即可作答.【详解】依题意，函数的反函数是，即函数的图象过点，则，，于是得，所以.故选：B题型二、与对数函数有关的定义域4．（2324高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组可得函数的定义域.【详解】由.所以函数的定义域为故选：B5．（2324高一下·河南·开学考试）函数的定义域为（

）A．且 B． C． D．【答案】C【分析】可直接求出函数的定义域进行判断.【详解】由题得，解得，即函数的定义域为.故选：6．（2324高一上·江西赣州·期末）已知函数的定义域为，若，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据对数型函数的定义域得到集合，解出分式不等式得到命题所表示的集合，再利用充分不必要条件的判定即可.【详解】由题意得，解得或，则，，即，即，解得或，则命题所表示的集合为，则集合是集合的真子集，故是充分不必要条件，故选：A.题型三、对数函数的图象问题7．（2324高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】通过分析正比例函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数，由对数函数可知，且，当时，为过原点的减函数，为减函数，则B错误，D正确；当时，为过原点的增函数，为增函数，则A错误，C错误；故选：D.8．（2324高一下·青海西宁）函数的图象是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】利用排除法，结合对数函数的性质即可得解.【详解】因为，故排除D；当时，，故排除BC；结合对数函数的性质可知A正确.故选：A.9．（2324高一上·江西景德镇·期末）已知（且且），则函数与的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】由对数的运算性质可得，讨论的范围，结合指数函数和对数函数的图象的单调性，即可得到答案.【详解】由，即为，即有；当时，，函数在上为增函数，在为增函数，选项B满足；当时，，函数在上为减函数，在为减函数，四个图象均不满足，在同一坐标系中的图象只能是B．故选：B题型四：对数函数的复合单调性问题10．（2324高一上·江西上饶·期末）已知是上的减函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用分段函数是减函数，列出不等式组求解即可.【详解】因为在R上是减函数，所以，解得，即.故选：D.11．（2324高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得.【详解】由可得，，解得，故的定义域为，由为增函数，令，对称轴为，故其单调递减区间为，所以的单调递减区间为.故选：D.12．（2324高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调区间的求法，即可求出结果.【详解】由得到或，令，则，因为在定义域上是减函数，又的开口向上且对称轴为，易知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的单调递增区间为，故选：B.题型五：由对数函数的单调性求参数13．（2324高一下·贵州遵义·期中）已知函数是上的单调递增函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得函数每一段都是增函数，且左侧函数值不大于右侧函数值求解.【详解】由题意可知是上的单调递增函数，则，解得．故选：B.14．（2324高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复合函数的单调性可得且，解之即可求解.【详解】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减，所以且，解得．即实数a的取值范围为故选：B15．（2324高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意可得，解得即可.【详解】因为函数是上的减函数，所以，解得，即实数的取值范围为.故选：D题型六：由对数函数的单调性解不等式16．（2324高一上·安徽马鞍山·期末）已知，则实数的取值范围为.【答案】【分析】由题意结合对数函数单调性即可得解.【详解】由题意，所以，即实数的取值范围为.故答案为：.17．（2324高一上·山东威海·期末）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为.【答案】【分析】利用偶函数的性质结合对数函数的图象与性质计算即可.【详解】由题意可知，又在上单调递增，则时，，则，根据对数函数的性质可知.故答案为：18．（2324高一上·四川广安·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，都有恒成立.则不等式的解集为.【答案】【分析】根据题目条件得到在上单调递增，结合函数奇偶性得到或，求出答案.【详解】因为，所以在上单调递增，又是定义在上的偶函数，，所以在上单调递减，，或，解得或.所以不等式的解集为.故答案为：.题型七、比较大小19．（2324高一下·湖北·阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用换底公式结合对数函数的单调性可得，再与1比较即可得到答案.【详解】因为，且，所以根据对数函数的单调性可知，又因为，所以，故选：B20．（2324高一上·广东深圳·期末）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知结合对数函数的单调性即可比较大小．【详解】因为，所以，即，所以，因为，所以，即，所以，同时，所以，而，所以．故选：D．21．（2324高一上·浙江丽水·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数的单调性即可得到，再利用指数函数、对数函数的单调性得到，，则得到三者大小关系.【详解】令，根据为上的单调减函数，则在上单调递减，且，，所以函数在上存在唯一的零点，故；又因为，所以，所以，即，所以，所以，即，所以;因为，所以，所以，即，所以，综上可得：.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数的单调性和零点存在定理得到，最后再结合指数函数、对数函数的性质即可比较大小.题型八：对数函数的最值问题22．（2324高一上·福建泉州·期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】判断时，，无最大值，由判断在时的单调性，可得单调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案.【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值；又因为在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，结合题意可得，解得，即实数的取值范围为，故选：B23．（2324高一上·广东广州·期末）函数（，，），若，则的值为（

）A．4 B．4或C．2或 D．2【答案】C【分析】将，利用换元，化为，分类讨论a的取值范围，结合函数单调性以及最值的差，列式求解，即得答案.【详解】由题意得，，令，则，则函数，即为，当时，在上单调递增，由可得：；当时，在上单调递减，由可得：；故的值为2或，故选：C24．（2324高一上·四川成都·期末）已知函数的值域为，的值域为，则（

）A．0 B．1 C．3 D．5【答案】A【分析】由已知可得函数的值域为，从而可得的值，的最小值为9，从而可得的值，即可得解．【详解】因为函数的值域为，所以函数的值域为，所以，解得，因为的值域为,，所以的最小值为9，所以，解得，所以．故选：A．题型九：对数函数的应用25．（2223高一上·四川凉山·期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（

）A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍【答案】A【分析】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，利用对数的运算性质结合指数与对数的互化可求得的值.【详解】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，则，上述两个等式作差可得，则，故.故选：A.26．（2223高一上·四川眉山·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（

）倍．（参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、，利用对数的运算性质可求得的值.【详解】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、，则，即，所以，.故选：B.27．（2021·四川泸州·一模）我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（

）（参考数据：）A．1559 B．3943 C．1579 D．2512【答案】C【解析】由题意可得的方程，再由对数的运算性质求解即可．【详解】由题意得：，则，，故选：C题型十、对数函数综合问题28．（2324高一上·广东湛江·期末）已知函数．(1)若的定义域为，求的取值范围；(2)若的值域为，求的取值范围；(3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，结合，即可求解；（2）根据题意，结合的值域为，得到，即可求解；（3）根据题意，求得和，转化为恒成立，令，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.，【详解】（1）解：函数的定义域为，即在上恒成立，则满足，解得，所以实数的取值范围是；（2）解：函数的值域为，则满足，解得或，即实数的取值范围；（3）解：因为且，可得在上单调递增，所以，，所以对任意恒成立，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，令，所以，当，即时，，解得，所以无解；当，即时，解得，所以，综上，实数的取值范围是．29．（2324高一上·广西贺州·期末）已知函数，（其中且）．(1)若函数定义域为R，求实数的取值范围；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．【答案】(1)(2)是偶函数【分析】（1）首先求出的解析式，依题意可得恒成立，即可得到，从而求出参数的取值范围；（2）设，首先求出定义域，再根据奇偶性的定义判断即可.【详解】（1）由题意得，因为函数定义域为，所以恒成立，即，解得，故实数的取值范围.（2）设，定义域需满足：，解得，故函数的定义域为，定义域关于原点对称，则，又因为，即，所以是偶函数，即是偶函数.30．（2324高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数．(1)求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数；(2)若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)定义域为，证明见解析(2)【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）分析可知，，由可得出，结合参变量分离法可得出，利用指数函数的单调性可求得实数的取值范围.【详解】（1）解：对于函数，则，可得，所以，函数的定义域为，证明单调性：设，则有，，由于，所以，，，并且，则，于是，所以，即：，所以函数在定义域上单调递增．（2）解：当时，，所以不等式恒成立等价于对任意的恒成立，等价于在恒成立．由可得，所以，，则，于是实数的取值范围是．【专项训练】一、单选题31．（2324高一上·浙江·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可.【详解】由且.故选：C32．（2324高一下·山西大同·阶段练习）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可.【详解】对于函数，令，即，解得，所以函数的定义域为，又，所以在上单调递减，在上单调递增，函数在定义域上单调递增，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.故选：A33．（2324高一上·新疆克孜勒苏·期末）设，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的单调性比较即可.【详解】因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上单调递减，且，所以，即，因为，所以.故选：C34．（2324高一上·浙江丽水·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用题中给出的信息，设他至少要经过小时后才可以驾驶机动车，则，然后利用指数与对数的互化以及对数的运算性质进行求解，即可得到答案．【详解】某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，则血液中酒精含量达到，在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，他至少要经过1小时后才可以驾驶机动车．则，，．他至少经过个小时才能驾驶．故选：D.35．（2324高一上·湖北荆门·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求函数在时函数的值域，再根据函数的值域为，确定时函数的单调性和端点值的范围，求实数的取值范围.【详解】当时，在上单调递增，且，所以函数在的值域是.因为函数的值域是.所以当时的函数值域应该包含.即.故选：B36．（2324高一上·江苏盐城·期末）已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，即可得到函数在上单调递增，结合函数的单调性求解不等式，即可得到结果.【详解】由题意可知，当时，有，即，即，令，则当时，，则函数在上单调递减，由，可得，即，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B37．（2324高一上·湖南娄底·期末）已知函数是定义在的奇函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数为奇函数求出的值，由函数有意义的条件求出的取值范围，即可求的取值范围.【详解】函数是定义在的奇函数，则有，解得，即，有意义，，解得，所以有，此时，满足在上为奇函数，由，所以.故选：C.38．（2324高一上·福建南平·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【详解】设，由题意知，则函数的定义域为，又，所以是奇函数，当时，为增函数，为增函数，所以是增函数，则，由是奇函数可知，在上单调递增，由得，即，则，解得，所以不等式的解集为.故D正确.故选：D二、多选题39．（2324高一上·四川广安·期末）已知函数，则以下说法正确的是（

）A．函数的定义域为 B．函数的值域为C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数【答案】ABD【分析】A选项，由真数大于0得到不等式，求出定义域；B选项，求出函数单调性，得到值域；CD选项，先得到定义域关于原点对称，再由得到函数为偶函数.【详解】A选项，由题意得，解得，故定义域为，A正确；B选项，，定义域为，由于在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，故，值域为，B正确；CD选项，定义域为，关于原点对称，且，故为偶函数，C错误，D正确；故选：ABD40．（2324高一上·江西九江·期末）已知函数，下列说法中正确的是（

）A．若的定义域为，则的取值范围是B．若的值域为，则的取值范围是C．若，则的单调减区间为D．若在上单调递减，则的取值范围是【答案】ABD【分析】由恒成立判断A，由有解判断B，结合对数函数的单调性求减区间判断C，由对数函数性质判断D．【详解】选项A，恒成立，，解得，A正确；选项B，有解，因此，解得或，B正确；选项C，时，，由得或，因此其减区间是，C错；选项D，在上单调递减，则，解得，D正确．故选：ABD．41．（2324高一上·重庆九龙坡·期末）若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据指数函数、对数函数及幂函数的性质一一判断即可.【详解】对于A：因为，所以在定义域上单调递减，又，所以，故A错误；对于B：因为，所以在上单调递增，又，所以，故B正确；对于C：因为，所以在上单调递减，又，所以，故C错误；对于D：因为，所以，则，所以，故D正确；故选：BD42．（2324高一上·广东江门·期末）已知偶函数在上单调递减，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由为偶函数，可得，可判断A；再由复合函数的单调性可知，在上单调递减，可判断B；再由可得，可判断C，D.【详解】若为偶函数，则，所以，解得：，所以，令，在上单调递减，在上单调递增，若，由复合函数的单调性知，在上单调递减，故A正确，B错误；，因为，所以，，则，所以，因为在上单调递增，所以，所以，故D正确，C错误.故选：AD.43．（2324高一上·四川成都·期末）已知函数，则（

）A．的定义域为 B．为偶函数C．在上单调递增 D．的最大值是0【答案】ABD【分析】列不等式求出定义域可判断A；利用偶函数的定义可判断B；利用复合函数的单调性可判断C；利用二次函数和对数函数的性质求出最大值可判断D.【详解】由且，解得，则的定义域为，故A正确；∵，则为偶函数，故B正确；∵，，令，当时，单调递减，而在上单调递增，则在上单调递减，故C错误；∵，，令，当时，，则的最大值是，故D正确.故选：ABD.三、填空题44．（2324高一上·贵州毕节·期末）“”是“”的.（填“充分不必要条件”、“充要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”）【答案】充分不必要条件【分析】比较与的大小关系，结合充分条件必要条件的定义判断结论.【详解】，所以时一定有，而时不一定有，“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件45．（2324高一上·浙江丽水·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【分析】由复合函数的单调性计算即可得.【详解】令，对称轴为，∵函数在区间上单调递增，在上单调递增，∴在上单调递增，且，∴且，即且，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.46．（2324高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是．【答案】/【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据二次函数的性质即可得解.【详解】由，解得，，当时，取得最大值.故答案为：.47．（2324高一上·福建厦门·期末）已知函数，若，则的最小值为.【答案】4【分析】根据题意结合图象可得，且，结合基本不等式运算求解.【详解】作出函数的图象，如图所示，因为，且，则，可得，即，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4.故答案为：4.四、解答题48．（2324高一上·安徽宣城·期末）已知函数．(1)判断函数的奇偶性，并证明；(2)解关于x的不等式．【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)【分析】（1）由奇函数的定义即可证明；（2）利用对数有意义的条件和对数函数的单调性即可求解.【详解】（1）证明：由题意，解得，所以函数的定义域为．因为对任意都有，，所以是奇函数.（2）原不等式可化为，又函数在内单调递增，所以，解得或，所以原不等式的解集为．49．（2324高一上·浙江杭州·期末）已知函数．(1)若过定点，求的单调递减区间；(2)若值域为，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，求得，得到，令，求得函数的定义域为，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的