人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 4.1-4.2指数与指数函数（教师版）

第第页4.1指数课程标准学习目标①理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化。②掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。③掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。通过本节课的学习，能将初中的根式与本节课根式进行顺利对接与延伸，条件的扩充使指数的运算性质内容更充实，条件更充分，运算更彻底，因此本节课的内容具有承上启下的作用，通过本节课的学习要求掌握根式和分数指数幂的具体运算，并能进行两者的互化，运用实数指数幂的运算性质进行化简.知识点01：整数指数幂1、正整数指数幂的定义：SKIPIF1<0，其中，SKIPIF1<02、正整数指数幂的运算法则：①SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）②SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）③SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）④SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）⑤SKIPIF1<0（SKIPIF1<0SKIPIF1<0）知识点02：根式1、SKIPIF1<0次根式定义：一般地，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.特别的：①当SKIPIF1<0是奇数时，正数的SKIPIF1<0次方根是一个正数，负数的SKIPIF1<0次方根是一个负数.这时，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根用符号表示SKIPIF1<0.②当SKIPIF1<0是偶数时，正数的SKIPIF1<0次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数SKIPIF1<0的正的SKIPIF1<0次方根用符号SKIPIF1<0表示，叫做SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次算术根；负的SKIPIF1<0次方根用符号SKIPIF1<0表示.正的SKIPIF1<0次方根与负的SKIPIF1<0次方根可以合并写成SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).③负数没有偶次方根；④SKIPIF1<0的任何次方根都是SKIPIF1<0，记作SKIPIF1<02、根式：式子SKIPIF1<0叫做根式，这里SKIPIF1<0叫做根指数，SKIPIF1<0叫做被开方数．在根式符号SKIPIF1<0中，注意：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0都有意义③当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0只有当SKIPIF1<0时才有意义.3、SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的区别：①当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）②当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）③当SKIPIF1<0为奇数时，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0④SKIPIF1<0为偶数时，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【即学即练1】（2023·全国·高一假期作业）SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0【答案】D【详解】当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0.故选：D知识点03：分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）于是，在条件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.3、SKIPIF1<0的正分数指数幂等于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的负分数指数幂没有意义.【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）化简：SKIPIF1<0=．（用分数指数幂表示）.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.知识点04：有理数指数幂①SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）②SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）③SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0）知识点05：无理数指数幂①SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）②SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）③SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0）【即学即练3】（2023·高一课时练习）计算SKIPIF1<0.【答案】0【详解】原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0题型01根式的概念【典例1】（2023·全国·高一假期作业）二次根式SKIPIF1<0成立的条件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0是任意实数【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2023·高一课时练习）81的4次方根是．【答案】SKIPIF1<0【详解】81的4次方根是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023·高一课时练习）625的四次方根为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以625的四次方根为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式2】（2023·江苏·高一假期作业）SKIPIF1<0的平方根为，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根为；已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平方根为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.题型02根式的化简(求值)【典例1】（2023·江苏·高一假期作业）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值为1.故选：A【典例2】（2023·江苏·高一假期作业）当SKIPIF1<0有意义时，化简SKIPIF1<0的结果是（

）A．2x－5B．－2x－1C．－1D．5－2x【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0有意义，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：C.【变式1】（2023·江苏·高一假期作业）若SKIPIF1<0，化简SKIPIF1<0的结果是（

）A．5－2a B．2a－5C．1 D．－1【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.【变式2】（2023·江苏·高一假期作业）有下列说法：①SKIPIF1<0；②16的4次方根是SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．其中，正确的有(填序号)．【答案】②④【详解】n为奇数时，负数的n次方根是一个负数，SKIPIF1<0，故①错误；16的4次方根有两个，为SKIPIF1<0，故②正确；因为SKIPIF1<0，故③错误；因为SKIPIF1<0是正数，故SKIPIF1<0，故④正确．故答案为：②④题型03分数指数幂的简单计算【典例1】（多选）（2023·江苏·高一假期作业）（多选题）下列各式中一定成立的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正确，故选：SKIPIF1<0【典例2】（2023·高一课时练习）根式SKIPIF1<0的分数指数幂的形式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选D.【典例3】（2023秋·山西·高一校联考期中）（1）化简：SKIPIF1<0.（结果用分数指数幂表示）（2）化简：SKIPIF1<0.（结果用分数指数幂表示）（3）求值：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【详解】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【变式1】（2023·高一单元测试）下列式子的互化正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】根据分数指数幂的运算可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：C【变式2】（2023·全国·高一假期作业）化简求值:(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【变式3】（2023·高一课时练习）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【答案】（1）1；（2）SKIPIF1<0；（3）1.【详解】（1）原式SKIPIF1<0；（2）原式SKIPIF1<0；（3）原式SKIPIF1<0.题型04条件求值【典例1】（2023秋·河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末）已知SKIPIF1<0，下列各式中正确的个数是（

）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】①SKIPIF1<0,正确；②SKIPIF1<0，正确；③因为SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故错误；④SKIPIF1<0，正确.故选：C【典例2】（2022秋·江苏南通·高一江苏省南通中学校考期中）（1）求SKIPIF1<0的值；（2）已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【典例3】（2022秋·江西萍乡·高一江西省莲花中学校考期中）计算下列各式(1)SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，求下列各式的值：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．【答案】(1)89；(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.【详解】（1）原式SKIPIF1<0；（2）①∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；②（法一）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（法二）SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）（1）计算SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）-5；（2）14.【详解】（1）SKIPIF1<00.3﹣1﹣36+33+1SKIPIF1<036+27+1SKIPIF1<05．（2）若SKIPIF1<0，∴xSKIPIF1<02＝6，xSKIPIF1<04，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】3【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：3．【变式3】（2022秋·广西玉林·高一校考期中）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0A夯实基础一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）化简SKIPIF1<0的结果为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0故选：C.2．（2023·江苏·高一假期作业）化简SKIPIF1<0的结果为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D3．（2023·高一课时练习）计算SKIPIF1<0，结果是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0.故选：B4．（2023·全国·高一假期作业）有下列四个命题：①正数的偶次方根是一个正数；②正数的奇次方根是一个正数；③负数的偶次方根是一个负数；④负数的奇次方根是一个负数．其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【详解】正数的偶次方根有两个且一正一负，负数的偶次方根不存在；正数的奇次方根为一个正数，负数的奇次方根为一个负数；①③错误，②④正确．故选：C5．（2023·全国·高一专题练习）化简SKIPIF1<0（a，b为正数）的结果是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0.故选：C.6．（2023·全国·高三专题练习）2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周期之比约为SKIPIF1<0，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设地球的公转周期为SKIPIF1<0，则火星的公转周期为SKIPIF1<0.设地球､火星运行轨道的半长轴分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0.故选:A.7．（2023·全国·高一假期作业）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．15 B．12 C．16 D．25【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由立方差公式，SKIPIF1<0，故选：A．8．（2023·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0.故选：B二、多选题9．（2023·江苏·高一假期作业）下列说法正确的是（）A．16的4次方根是2B．SKIPIF1<0的运算结果是±2C．当n为大于1的奇数时，SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0都有意义D．当n为大于1的偶数时，SKIPIF1<0只有当SKIPIF1<0时才有意义【答案】CD【详解】对于A，由于SKIPIF1<0，所以16的4次方根是SKIPIF1<0，故A不正确．对于B，SKIPIF1<0，故B不正确．对于C，由根式的意义知，当SKIPIF1<0为大于1的奇数时，SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0都有意义，故C正确．对于D，由根式的意义知，当SKIPIF1<0为大于1的偶数时，SKIPIF1<0只有当SKIPIF1<0时才有意义，故D正确．故选：CD．10．（2023·全国·高一假期作业）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】AB【详解】令SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：AB三、填空题11．（2023·高一课时练习）求值：SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案为:SKIPIF1<0.12．（2023·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【详解】原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题13．（2023·江苏·高一假期作业）计算：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.14．（2023·江苏·高一假期作业）求值：(1)SKIPIF1<0；(2)π0－SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0×SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）原式SKIPIF1<0；（2）原式SKIPIF1<0.B能力提升1．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）阅读下段文字：“已知SKIPIF1<0为无理数，若SKIPIF1<0为有理数，则存在无理数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为有理数；若SKIPIF1<0为无理数，则取无理数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（

）A．SKIPIF1<0是有理数 B．SKIPIF1<0是无理数C．存在无理数a，b，使得SKIPIF1<0为有理数 D．对任意无理数a，b，都有SKIPIF1<0为无理数【答案】C【详解】这段文字中，没有证明SKIPIF1<0是有理数条件，也没有证明SKIPIF1<0是无理数的条件，AB错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得SKIPIF1<0为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误.故选：C2．（2023·江苏·高一假期作业）求使等式SKIPIF1<0成立的实数a的取值范围.【答案】[-3，3]【详解】SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0|成立，需SKIPIF1<0解得a∈[-3，3]．3．（2023·全国·高一假期作业）（1）已知SKIPIF1<0，化简SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）8【详解】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.4．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算：SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两根，求SKIPIF1<0的值.【答案】（1）16；（2）SKIPIF1<0．【详解】（1）原式＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，

4.2指数函数（4.2.1指数函数的概念+4.2.2指数函数的图象和性质）课程标准学习目标①了解指数函数，掌握指数函数的形式及条件，会根据底数区分两类函数。②掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域。③能解决与指数函数有关的综合性问题。通过本节课的学习，要求认识、了解指数函数的形式及要求，掌握指数函数的图象与性质，并能利用指数函数的性质进行大小的比较、解指数方程与不等式、会求复合函数的定义域、值域、单调区间，能解决与指数函数有关的实际问题及综合问题.知识点01：指数函数的概念1、一般地，函数SKIPIF1<0叫做指数函数，其中指数SKIPIF1<0是自变量，底数SKIPIF1<0是一个大于0且不等于1的常量，定义域是SKIPIF1<0.2、学习指数函数的定义，注意一下几点（1）定义域为：SKIPIF1<0（2）规定SKIPIF1<0是因为：①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（恒等于1）没有研究价值；②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（恒等于0），而当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0无意义；③若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中SKIPIF1<0为偶数，SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0无意义.④只有当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可以是任意实数.（3）函数解析式形式要求：指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①SKIPIF1<0的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.【即学即练1】（多选）（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是指数函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【详解】由指数函数形式为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，显然A、D不符合，C符合；对于B，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故符合.故选：BC知识点02：指数函数的图象与性质1、函数SKIPIF1<0的图象和性质如下表：底数SKIPIF1<0SKIPIF1<0图象性质定义域SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0定点图象过定点SKIPIF1<0单调性增函数减函数函数值的变化情况当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0对称性函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0轴对称2、指数函数SKIPIF1<0的底数SKIPIF1<0对图象的影响函数SKIPIF1<0的图象如图所示：观察图象，我们有如下结论：2.1.底数SKIPIF1<0与1的大小关系决定了指数函数SKIPIF1<0图象的“升”与“降”.（1）当SKIPIF1<0时，指数函数的图象是“上升”的，且当SKIPIF1<0时，底数SKIPIF1<0的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.（2）当SKIPIF1<0时，指数函数的图象是“下降”的，且当SKIPIF1<0时，底数SKIPIF1<0的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.2.2.底数SKIPIF1<0的大小决定了图象相对位置的高低：不论是SKIPIF1<0还是SKIPIF1<0，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.在同一平面直角坐标系中，底数SKIPIF1<0的大小决定了图象相对位置的高低；在SKIPIF1<0轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在SKIPIF1<0轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；知识点03：指数函数的定义域与值域1、定义域：（1）指数函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0的定义域与函数SKIPIF1<0的定义域相同（3）SKIPIF1<0的定义域与函数SKIPIF1<0的定义域不一定相同.2、值域（1）指数函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0（2）求形如SKIPIF1<0的函数的值域，先求SKIPIF1<0的值域，然后结合SKIPIF1<0得性质确定SKIPIF1<0的值域（3）求形如SKIPIF1<0的值域，转化为先求SKIPIF1<0的值域，再将SKIPIF1<0的取值范围代入函数SKIPIF1<0中.知识点04：指数函数的图象变换已知函数SKIPIF1<01、平移变换①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<02、对称变换①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<03、翻折变换①SKIPIF1<0（去掉SKIPIF1<0轴左侧图象，保留SKIPIF1<0轴右侧图象；将SKIPIF1<0轴右侧图象翻折到SKIPIF1<0轴左侧）②SKIPIF1<0（保留SKIPIF1<0轴上方的图象，将SKIPIF1<0轴下方的图象翻折到SKIPIF1<0轴上方）题型01指数函数的判定与求值【典例1】（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A【典例2】（2023·高一课时练习）函数①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0；⑦SKIPIF1<0；⑧SKIPIF1<0中，是指数函数的是．【答案】①⑤【详解】因为指数函数为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故①⑤正确；由幂函数定义知，SKIPIF1<0是幂函数，故②不正确；由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是指数函数；对于⑧，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不是指数函数.故答案为：①⑤.【变式1】（2023·高一课时练习）设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝．【答案】0【详解】由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式2】（2023·高一课时练习）下列函数中是指数函数的是(填序号)．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0．【答案】③【详解】①SKIPIF1<0的系数不是SKIPIF1<0，不是指数函数；②SKIPIF1<0的指数不是自变量SKIPIF1<0，不是指数函数；③SKIPIF1<0是指数函数；④SKIPIF1<0的底数是SKIPIF1<0不是常数，不是指数函数；⑤SKIPIF1<0的指数不是自变量SKIPIF1<0，不是指数函数；⑥SKIPIF1<0是幂函数．故答案为：③题型02根据函数是指数函数求参数【典例1】（2023·全国·高一假期作业）如果函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是指数函数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．9 D．8【答案】D【详解】根据题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：D【典例2】（2023·高一课时练习）函数SKIPIF1<0是指数函数，则SKIPIF1<0的值为．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为函数SKIPIF1<0为指数函数，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·高一课时练习）函数是指数函数SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2023·高一课时练习）函数SKIPIF1<0是指数函数，则a的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0是指数函数,所以SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即a的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0题型03指数型函数图象过定点问题【典例1】（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的图像过定点SKIPIF1<0，则（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0为R上的增函数 D．SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0【答案】BCD【详解】由题意可得SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0，A错误，因为根据题意，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0为R上的增函数，C正确；SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，D正确．故选：BCD【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，此时有SKIPIF1<0.由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【变式1】（2023·高一课时练习）函数SKIPIF1<0恒过的定点坐标为．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0恒过的定点坐标为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2023秋·吉林辽源·高一校联考期末）函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的图象恒过定点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0坐标为．【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以定点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0题型04指数函数图象的识别【典例1】（2023春·湖南常德·高一统考期末）指数函数SKIPIF1<0的图象如图所示，则二次函数SKIPIF1<0的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【详解】由指数函数SKIPIF1<0的图象可知：SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，对应只有B选项符合题意.故选：B【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故A、B均不符合；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故C符合，D不符合．故选：C．【变式1】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）函数SKIPIF1<0的部分图象大致是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】SKIPIF1<0定义域为R，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为偶函数，关于y轴对称，AC错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确，D错误.故选：B.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0(a>0且a≠1)的图象可能为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，显然当SKIPIF1<0时，函数单调递增，当SKIPIF1<0时，函数单调递减，函数图象的渐近线为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故AB不符合；对于CD，因为渐近线为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故选项C符合，D不符合；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数单调递增，当SKIPIF1<0时，函数单调递减，函数图象的渐近线为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故ABD不符合；故选：C题型05画指数函数的图象【典例1】（2023·全国·高三对口高考）利用函数SKIPIF1<0的图象，作出下列各函数的图象．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0；(5)SKIPIF1<0；(6)SKIPIF1<0．【详解】（1）把SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0轴对称得到SKIPIF1<0的图象，如图，

（2）保留SKIPIF1<0图象在SKIPIF1<0轴右边部分，去掉SKIPIF1<0轴左侧的，并把SKIPIF1<0轴右侧部分关于SKIPIF1<0轴对称得到SKIPIF1<0的图象，如图，

（3）把SKIPIF1<0图象向下平移一个单位得到SKIPIF1<0的图象，如图，

（4）结合（3），保留SKIPIF1<0上方部分，然后把SKIPIF1<0下方部分关于SKIPIF1<0轴翻折得到SKIPIF1<0的图象，如图，

（5）把SKIPIF1<0图象关于SKIPIF1<0轴对称得到SKIPIF1<0的图象，如图，

（6）把SKIPIF1<0的图象向右平移一个单位得到SKIPIF1<0的图象，如图，

【典例2】（2023秋·湖南长沙·高一校考期末）已知函数SKIPIF1<0.(1)在平面直角坐标系中，画出函数SKIPIF1<0的简图，并写出SKIPIF1<0的单调区间和值域；(2)若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)图象见解析，SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0，值域为SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0【详解】（1）函数SKIPIF1<0的简图如下：由图可知，函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0；值域为SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，及函数SKIPIF1<0的单调性可知，若SKIPIF1<0则实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.【变式1】（2022秋·江西赣州·高一统考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，常常借助图象来研究函数的性质．已知函数SKIPIF1<0.

(1)在平面直角坐标系中作函数SKIPIF1<0的简图，并根据图象写出该函数的单调减区间；(2)解不等式SKIPIF1<0.【答案】(1)作图见解析，单调减区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）简图如图所示：由图可得该函数的单调减区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（2）①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；综上：不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.【变式2】（2022秋·北京顺义·高一校考期中）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)画出函数SKIPIF1<0的图象，根据图象写出函数SKIPIF1<0的单调区间；(3)若SKIPIF1<0，求x的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)图象详见解析，减区间SKIPIF1<0，增区间SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图象如下图所示，由图可知，SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0，由图象可知，满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.题型06利用指数函数的单调性比较大小【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为函数SKIPIF1<0在R上单调递减，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在R为增函数，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0.故选：A.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0