人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 3.3幂函数（原卷版）

第第页3.3幂函数课程标准学习目标①了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式；②掌握常见幂函数的图像；③利用幂函数的单调性比较指数式大小。④利用幂函数的性质解不等式及待定参数的求解通过本节课的学习，要求掌握幂函数的概念，能根据幂函数的要求求出幂函数的解析式，并能根据幂函数的性质求待定参数.知识点01一：幂函数的概念1、定义：一般地，函数SKIPIF1<0叫做幂函数，其中SKIPIF1<0是自变量，SKIPIF1<0是常数.2、幂函数的特征①SKIPIF1<0中SKIPIF1<0前的系数为“1”②SKIPIF1<0中SKIPIF1<0的底数是单个的自变量“SKIPIF1<0”③SKIPIF1<0中SKIPIF1<0是常数【即学即练1】现有下列函数：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0；⑦SKIPIF1<0，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4知识点02：幂函数的图象与性质1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）当SKIPIF1<0时，我们得到五个幂函数：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<02、五个幂函数的性质SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0定义域SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在SKIPIF1<0上单调递增在SKIPIF1<0上单调递减在SKIPIF1<0单调递增在SKIPIF1<0上单调递增在SKIPIF1<0单调递增在SKIPIF1<0上单调递减在SKIPIF1<0上单调递减定点SKIPIF1<03、拓展：①SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增；②SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减.【即学即练2】幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，则SKIPIF1<0的值为______.题型01判断函数是否为幂函数【典例1】在函数①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，⑥SKIPIF1<0中，是幂函数的是（

）A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【典例2】下列函数既是幂函数又是奇函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】给出下列函数：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0，其中是幂函数的有（

）A．1个B．2个C．3个D．4个题型02求幂函数的值【典例1】已知幂函数SKIPIF1<0的图像过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【典例2】已知幂函数SKIPIF1<0的图像过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为___________．【变式1】若SKIPIF1<0是幂函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________题型03求幂函数的解析式【典例1】已知SKIPIF1<0是幂函数，且满足：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数SKIPIF1<0___________.【典例2】幂函数SKIPIF1<0是偶函数，且在SKIPIF1<0上为增函数，则函数解析式为_________．【变式1】已知幂函数SKIPIF1<0在第一象限单调递减，则SKIPIF1<0______.题型04根据函数是幂函数求参数【典例1】若幂函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0或3 D．1或SKIPIF1<0【典例2】已知函数SKIPIF1<0是幂函数，且为偶函数，则实数SKIPIF1<0______．【变式1】已知幂函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【变式2】已知幂函数SKIPIF1<0的图像不经过原点，则实数SKIPIF1<0__________.题型05求幂函数的定义域【典例1】已知幂函数SKIPIF1<0，则此函数的定义域为________．【典例2】函数SKIPIF1<0的定义域为_______．【变式1】若幂函数SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的定义域.题型06求幂函数的值域【典例1】函数SKIPIF1<0的值域为________.【典例2】若幂函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值域为____________．【典例3】已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为__________．【变式1】已知幂函数SKIPIF1<0的图像过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值域是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0题型07幂函数的图象的判断及应用【典例1】已知幂函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互质）的图像如图所示，则（

）

A．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均为奇数且SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0为奇数，SKIPIF1<0为偶数且SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0为奇数，SKIPIF1<0为偶数且SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0为偶数，SKIPIF1<0为奇数且SKIPIF1<0【典例2】给定一组函数解析式：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0；⑦SKIPIF1<0．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【变式1】已知函数则函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的图象大致是（

）A．B．C．D．【变式2】函数SKIPIF1<0的图像大致为（

）A．B．C．D．题型08幂函数过定点问题【典例1】函数SKIPIF1<0恒过定点______．【典例2】幂函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的图象经过定点__________．【变式1】幂函数SKIPIF1<0的图像一定经过第______象限题型09幂函数的单调性【典例1】（多选）下列函数既是幂函数，又在SKIPIF1<0上单调递减的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知函数：①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0，既是偶函数，又在SKIPIF1<0上为增函数的是_________．【变式1】幂函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0是减函数C．SKIPIF1<0是奇函数 D．SKIPIF1<0是偶函数【变式2】已知SKIPIF1<0，若幂函数SKIPIF1<0奇函数，且在SKIPIF1<0上为严格减函数，则SKIPIF1<0__________.题型10幂函数的奇偶性【典例1】已知幂函数SKIPIF1<0的图像关于SKIPIF1<0轴对称，则SKIPIF1<0等于（

）A．1 B．2 C．1或2 D．3【典例2】已知幂函数SKIPIF1<0的图像关于SKIPIF1<0轴对称.(1)求SKIPIF1<0的值;(2)若函数SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调递增区间.【变式1】设SKIPIF1<0，若幂函数SKIPIF1<0定义域为R，且其图像关于SKIPIF1<0轴成轴对称，则SKIPIF1<0的值可以为（

）A．1 B．4 C．7 D．10【变式2】）请写出一个满足条件①和②的幂函数SKIPIF1<0，条件：①SKIPIF1<0是偶函数；②SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的减函数．则SKIPIF1<0________．题型11根据幂函数的单调性求参数【典例1】已知幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．3 D．1或SKIPIF1<0【典例2】已知幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．(1)求SKIPIF1<0的值及函数SKIPIF1<0的解析式；(2)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为3，求实数SKIPIF1<0的值．【变式1】已知函数SKIPIF1<0是幂函数，且在SKIPIF1<0上是增函数，则实数SKIPIF1<0的值为______．【变式2】幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0的值为______．题型12根据幂函数的单调性解不等式【典例1】已知幂函数SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的实数SKIPIF1<0的取值范围是______．【典例2】求不等式SKIPIF1<0的解.【变式1】已知幂函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则a的取值范围是__________.【变式2】）若幂函数SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则满足不等式SKIPIF1<0的实数SKIPIF1<0的取值范围是__________．题型13根据幂函数的单调性比较大小【典例1】已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列各式中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】比较下列各组数的大小：(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【变式1】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0A夯实基础一、单选题1．已知SKIPIF1<0为幂函数，则（

）．A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减2．已知幂函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知点SKIPIF1<0在幂函数SKIPIF1<0的图象上，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．函数SKIPIF1<0的图象大致为（

）A．B．C．D．5．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（

）A．①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0 B．①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0C．①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0 D．①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<06．若幂函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．1 C．SKIPIF1<0或3 D．1或SKIPIF1<07．如图所示，图中的曲线是幂函数SKIPIF1<0在第一象限的图象，已知SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四个值，则相应于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0依次为（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<08．如图所示是函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0均为正整数且SKIPIF1<0互质）的图象，则（

）A．SKIPIF1<0是奇数且SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0是偶数，SKIPIF1<0是奇数，且SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0是偶数，SKIPIF1<0是奇数，且SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0是奇数，且SKIPIF1<0二、多选题9．幂函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．函数SKIPIF1<0是偶函数C．SKIPIF1<0 D．函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<010．已知幂函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0是偶函数 B．SKIPIF1<0是奇函数C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数三、填空题11．已知幂函数SKIPIF1<0的