【易错专训】18 反比例函数的几何综合（解析版）

【突破易错·冲刺满分】2021-2022学年九年级数学上册期末突破易错挑战满分（北师大版）易错18反比例函数的几何综合【易错1例题】反比例函数与一次函数的综合1．（2021·浙江新昌·八年级期末）如图，在直角坐标系中，点和点是一次函数和反比例函数图象的交点．（1）求反比例函数的表达式和点的坐标．（2）利用图象，直接写出当时的取值范围．（3）连结并延长交双曲线于点，连结，求的面积．【答案】（1），点的坐标为；（2）或；（3）8【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式求出a的值，即可得到A的坐标，再代入反比例函数解析式求解即可；（2）不等式的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方时，x的取值范围，由此求解即可；（3）方法一：如图所示构造矩形进行求解；方法二：利用反比例函数的对称性求出C点的坐标，从而求出D点的坐标，再由求解即可；方法三：先分别求出AB，AC，BC的长，然后判断出三角形ABC是直角三角形即可求解【详解】解：（1）将点代入一次函数，得，∴点A的坐标为将点代入反比例函数，得，∴反比例函数的表达式为．解得，．∴点的坐标为．（2）不等式的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方时，x的取值范围，由图象可得或．（3）法一：如图1，构造矩形．．法二：如图2，过点作轴，与直线相交于点．由反比例函数的对称性点的坐标为．当时，，∴点D的坐标为，∴．∴．法三：由题意可知，，，所以是直角三角形，且，∴．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，两点距离公式，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求．【易错2例题】反比例函数与几何图形的综合11．（2021·武冈市第二中学九年级月考）如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝8，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．（1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小时，求出此时P的坐标．【答案】（1）y1＝（x＞0），y2＝﹣2x+12；（2）点P的坐标为（0，）．【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（2，8），利用待定系数法求函数的解析式；（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为，于是得到结论．【详解】解：（1）∵点D是边AB的中点，AB＝4，∴AD＝2，∵四边形OABC是矩形，BC＝8，∴D（2，8），∵反比例函数的图象经过点D，∴k＝2×8＝16，∴反比例函数的解析式为y1＝（x＞0），当x＝4时，y＝4，∴E（4，4），把D（2，8）和E（4，4）代入y2＝mx+n（m≠0）得，，∴，∴直线DE的解析式为y2＝﹣2x+12；（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，∵点D的坐标为（2，8），∴点D′的坐标为（﹣2，8），设直线D′E的解析式为y＝ax+b，∴，解得：，∴直线D′E的解析式为，令x＝0，得，∴点P的坐标为（0，）．【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．【专题训练】解答题1．（2021·江苏射阳·九年级月考）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象相交于点A（，6），B（n，1）．（1）求这两个函数的表达式；（2）若一次函数的图象与x轴交于点C，点M在反比例函数y＝的图象上．当S△OCM：S△ACO＝1：3时，请求出点M的坐标．【答案】（1）；（2），或，【分析】（1）把点，代入得到反比例函数的解析式为；进而求得的坐标，然后根据待定系数法即可得到一次函数的解析式；（2）先求出点C的坐标，由此可求ACO的面积，设，根据三角形的面积公式即可求得答案．【详解】解：（1）把点，代入得：，，反比例函数的解析式为；把代入得，，，把点，，代入，得：，解得：，一次函数的解析式为；（2）当时，，解得：，，，，，，，设，，解得：，，或，．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．2．（2020·全国八年级期末）如图，直线与双曲线交于、两点，直线与x轴、y轴分别交于点C、D，连结、．（1）求两个函数的解析式；（2）求的面积；（3）在坐标系中是否存在一点P，使以点A、B、O、P为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）6；（3）（2，2）【分析】（1）分别将点代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）把△AOB的面积分为两部分，即S△AOB=S△AOC+S△BOC；（3）利用菱形的性质，根据线段的中点横坐标是两个端点横坐标的和的一半，纵坐标也是两个端点纵坐标和的一半，即可求解．【详解】解：（1）∵双曲线经过，∴m=-2×4=-8，∵直线经过、，∴，解得：，∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为；（2）△AOB可以看成由底均为OC的△OCA、△OCB组成，把代入则∴△AOB的面积=•OC•（yA-yB）==6；（3）存在．理由如下：由题意可得：若四边形OAPB是菱形，则AB，OP互相垂直平分，即点M既是AB的中点，又是OP的中点．∵点A是（-2，4），点B是（4，-2）∴点M的坐标是（1，1）∴点P的坐标是（2，2）．【点睛】此题主要考查一次函数，反比例函数的性质和三角形以及菱形相结合的综合性知识．知道线段的中点坐标与两个端点之间的关系是解题的关键．3．（2021·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学九年级月考）如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．【答案】（1）y=，y=-x-2；（2）8；（3）x＞3或-5＜x＜0．【分析】（1）用点B的坐标先确定反比例函数的解析式，再确定点A的坐标，用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）设AB与y轴交点为D，确定DO的长，利用计算即可；（3）确定直线AB与双曲线的交点坐标，结合图像写出解集即可．【详解】（1）∵A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，∴即m=-15,∴反比例函数的解析式为y=，∴n==3即点A的坐标为（-5，3），∴，解得，∴直线AB的解析式为y=-x-2；（2）设AB与y轴交点为D，∵直线AB的解析式为y=-x-2，∴点D的坐标为（0，-2），∴DO=2，∴==，∵A（﹣5，3），B（3，﹣5），∴==8；（3）∵A（﹣5，3），B（3，﹣5），∴不等式kx+b﹣＜0的解集为x＞3或-5＜x＜0．【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式的确定，图形面积的计算，数形结合确定解析式构成不等式的解集，熟练掌握待定系数法，灵活运用图形分割法，数形结合思想解题是解题的关键．4．（2021·合肥市庐阳中学九年级月考）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式．（2）求的面积．（3）直接写出时自变量的取值范围．【答案】（1），；（2）；（3）或【分析】（1）将代入和中，分别计算出值和值，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）设直线与x轴的交点为C，由即可求得面积；（3）根据已知函数的图象结合函数图象的性质，进行分析即可知道答案．【详解】解：（1）∵点在反比例函数图像上∴将代入中，得∴反比例函数的解析式为：又∵反比例函数图象与一次函数图象交于点∴将，代入一次函数中，得∴一次函数解析式为：故反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为（2）∵点在反比例函数图像∴将点代入中，得∴设直线与x轴的交点为C，如下图：在中，当时，∴直线与x轴的交点为∴∴（3）从图像上看，当或时，【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的解析式求法，直角坐标系中三角形面积的求法，根据函数性质求参数范围等相关知识点，学会数形结合是解题的关键．5．（2021·珠海市紫荆中学九年级三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，点在轴负半轴上，点，连接、、、，四边形为菱形．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）设点是直线上一动点，且，求点的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）或【分析】（1）由菱形的性质可知、关于轴对称，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；（2）根据（1）可求得菱形面积，设点坐标为，根据条件可得到关于的方程，可求得点坐标．【详解】解：（1）如图，连接，交轴于点，四边形是菱形，∴AD⊥OC，，，，四边形是菱形，，，，将代入直线，得：，解得：，将代入反比例函数，得：，解得：，一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2），，，，，设点坐标为，与轴相交于点，则，，，当在的左侧时，，，，，，当在的右侧时，，，，，，综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题为反比例函数的综合应用，主要考查了待定系数法求函数解析式、菱形的性质、三角形的面积及数形结合思想、分类讨论思想等，题目难度不大，但是属于中考常考题，熟练掌握反比例函数图象和性质及待定系数法等相关知识，并能够灵活运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．6．（2021·济南市槐荫区西城实验初级中学九年级月考）已知反比例函数(m为常数)的图象在第一、三象限．（1）求m的取值范围；（2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(-2，0)．①求出函数的表达式；②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，则点P的坐标为；

【答案】（1）；（2）①；②，，【分析】（1）根据反比函数的性质，可得，即可求解；（2）①根据平行四边形的性质，可得点D的坐标为，然后代入反比例函数解析式，即可求解；②根据反比函数图象关于原点中心对称，直线对称，直线对称，即可求解．【详解】解：（1）∵反比例函数(m为常数)的图象在第一、三象限，∴，解得：；（1）①∵点A，B的坐标分别为(0，3)，(-2，0)，∴，，∵四边形ABOD是平行四边形，∴AD=OB=2，，∵且点A、B位于y轴、x轴上，∴，∴点D的坐标为，将点D代入反比例函数，得：，解得：，∴反比例函数的表达式为；②∵反比例函数的图象关于原点中心对称，∴当点P于点D关于原点对称时，OD=OP，∴此时点P的坐标为，∵反比例函数的图象关于直线对称，∴点P与点D关于直线对称时，OD=OP，∴此时点P的坐标为，∵反比例函数的图象关于直线对称，∴点P与点D关于直线对称时，OD=OP，∴此时点P的坐标为，综上所述，点P的坐标为，，．【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比函数，当时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，反比函数图象关于原点中心对称，直线对称，直线对称是解题的关键．7．（2021·辽宁省实验学校九年级月考）如图，矩形OABC的两边OA，OC分别在坐标轴上，OA＝3，AB＝4，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象与矩形的两边AB，BC分别交于点D，E，且BD＝2AD．（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；（2）若连接OD，OE，DE，则△DOE的面积为．（3）若点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y＝，E（4，1）；（2）；（3）（1，0）或（3，0）．【分析】（1）由矩形OABC中，AB＝4，BD＝2AD，可得3AD＝4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；（2）利用△DOE的面积=矩形面积--，即可求解；（3）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP＝m，CP＝4−m，由∠APE＝90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．【详解】解：（1）∵AB＝4，BD＝2AD，∴AB＝AD＋BD＝AD＋2AD＝3AD＝4，∴AD＝，又∵OA＝3，∴D（，3），∵点D在双曲线y＝上，∴k＝×3＝4，即y＝；∵四边形OABC为矩形，∴AB＝OC＝4，∴点E的横坐标为4．把x＝4代入y＝中，得y＝1，∴E（4，1）；（2）∵，，∴△DOE的面积=3×4-2-2-=，故答案是：；（3）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP＝m，CP＝4−m．∵∠APE＝90°，∴∠APO＋∠EPC＝90°，又∵∠APO＋∠OAP＝90°，∴∠EPC＝∠OAP，又∵∠AOP＝∠PCE＝90°，∴△AOP∽△PCE，∴，∴，解得：m＝1或m＝3，∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意求得点D的坐标与证得△AOP∽△PCE是解此题的关键．8．（2021·江苏新吴·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图像上，反比例函数的图像经过点，且与边相交于点．（1）若，求点的坐标；（2）连接，．①若的面积为24，求的值；②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点的坐标为；（2）①；（3）②不存在．理由见解析．【分析】（1）先求出A点的坐标，然后代入反比例函数中求出k，再求出，代入反比例函数解析式即可；（2）①设，则可推出，然后由得到，即可求出，从而求解；②当，可证，得到，则由①可知，，则点则，，得，由此求解即可．【详解】（1）∵在正方形中，，∴A点的纵坐标为4，∵A在直线上，∴，∴，∴，∴OB=2，∵在的图像上，∴，∴，∴反比例函数解析式为，∵，∴，∴将代入中，得：，∴点的坐标为；（2）①设，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴解得，∴；②不存在，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵，∴，∵，∴∴，∴，由①可知，，则点∴，∴得∴，∵，∴不符合题意，不存在．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，一次函数，反比例函数，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9．（2021·吉林南关·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上，函数的图象经过点，点、、的坐标分别为、、．（1）求的值．（2）将沿轴向上平移，当点落在函数的图象上时，求边与该函数图象的交点坐标．【答案】（1）24；（2）(，7)【分析】（1）根据平行四边形的性质得出C的坐标，进而即可求得k的值；（2）由平移得，点B的横坐标为8，代入反比例函数解析式求得纵坐标，从而求得平移后的D的纵坐标，代入解析式即可求得CD与该函数图象的交点坐标．【详解】（1）在□ABCD中，A（2，0）、B（8，0）、D（0，4），∴AB=CD，AD∥CB．∴CD=8－2=6．∴点C的坐标为（6，4）．∵函数的图象经过点，∴；（2）由平移得，点B的横坐标为8．当x=8时，∴点B的坐标为（8，3）．∴□ABCD向上平移3个单位．∴平移后点D的坐标为（0，7）．当y=7时，∴CD与该函数图象的交点坐标