江苏省南京市建邺高级中学2024-2025学年高一数学下学期期中联考试题含解析

PAGE17-江苏省南京市建邺高级中学2024-2025学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）一､单选题1.过两点和直线的斜率为1，则实数的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】试题分析：.考点：两点斜率公式.2.的值为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】3.在中，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：干脆利用余弦定理即可计算.详解：，，.由余弦定理可得：，解得.故选：B.点睛：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.4.已知，则（）A.-2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正切公式，求得所求表达式的值.【详解】依题意.故选：D【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，属于基础题.5.已知直线过点且与直线垂直，则的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直线与直线垂直可得斜率之积为-1，从而得出直线方程.【详解】解：因为直线与直线垂直，所以，所以直线方程为，即，故选B.【点睛】本题考查了两条直线的垂直关系，解题的关键是熟记当两直线的斜率存在时，两条直线垂直等价于两直线斜率之积为-1.6.已知直线与圆交于两点，则弦的长度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求，只要先求圆心到直线的距离，即可求解.【详解】圆心到直线的距离，由直线与圆相交的性质可知，，即.，故选：A．【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，解题的关键是公式的应用．7.若函数，则的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】化简表达式，然后依据三角函数最值的求法，求得的最大值.【详解】依题意，.由于，所以，所以当，即时，取得最大值为.故选：B【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查协助角公式，考查三角函数最值的求法，属于中档题.8.过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当改变时，的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化已知直线为，即有且，解方程可得定点Q，可得M在以PQ为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值．【详解】解：直线，即，由，求得，直线经过定点．由为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，可得圆心为PQ的中点，半径为，则与M的最大值为，则与M的最小值为，故MN的范围为：，故选B．【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算实力，属于中档题．二､多选题9.下列说法中正确的是（）A.若是直线的倾斜角，则B.若是直线的斜率，则C.随意一条直线都有斜率，但不肯定有倾斜角D.随意一条直线都有倾斜角，但不肯定有斜率【答案】BD【解析】【分析】通过直线的倾斜角的范围推断A的正误；直线的斜率的定义，推断B的正误；直线的斜率与倾斜角的关系推断C、D的正误；【详解】对A，若是直线的倾斜角，则，故A错误；对B，依据，即正切函数的值域为实数，故B正确；对C，因为倾斜角为时没有斜率，故C错误；对D，由倾斜角的定义可得随意一条直线都有倾斜角，由直线的斜率定义可得，倾斜角为的直线，没有斜率，故D正确；故选：BD.【点睛】本题考查倾斜角与斜率的关系，考查对概念的理解，属于基础题.10.下列化简正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用两角差的余弦公式推断选项A；利用二倍角公式推断选项B；利用两角和的正切公式推断选项C；先利用诱导公式转化，再利用二倍角公式推断选项D.【详解】，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D不正确.故选：ABC.【点睛】本题主要考查倍角公式和两角和与差公式.属于较易题.11.以下四个命题表述正确的是（）A.直线恒过定点B.圆：的圆心到直线的距离为2C.圆：与圆：恰有三条公切线D.两圆与的公共弦所在的直线方程为：【答案】AC【解析】【分析】依据直线过的定点推断A选项的正确性，依据圆心到直线的距离推断B选项的正确性，依据两个圆的位置关系推断C选项的正确性，依据相交弦所在直线方程推断D选项的正确性.【详解】对于A选项，当时，所以直线过定点，故A选项正确.对于B选项，圆的圆心为，到直线的距离为，所以B选项错误.对于C选项，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.圆心距为，所以两圆外切，故恰有三条公切线，故C正确.对于D选项，由两式相减并化简得，所以D选项错误.综上所述，正确的选项为AC.故选：AC【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，考查直线过定点问题，属于中档题.12.在中，内角所对的边分别为，下列命题正确的有（）A.若，则肯定为直角三角形B.若，则肯定是钝角三角形C.若，则为锐角三角形D.若，则是等腰三角形【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项，利用正弦定理、余弦定理化简进行推断；对于B选项，利用同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式化简进行推断；对于C选项，利用特别值进行推断；对于D选项，利用余弦定理化简进行推断.【详解】对于A选项，由正弦定理得，由余弦定理得，即，即，，，，，则，所以三角形是直角三角形.故A正确.对于B选项，由于，所以，所以为锐角，，所以，，所以，即，所以，而，所以为钝角，所以三角形是钝角三角形.所以B选项正确.对于C选项，取，则，但，所以三角形是直角三角形，所以C选项错误.对于D选项，由余弦定理得，即，所以即，所以三角形是等腰三角形，所以D选项正确.综上所述，正确选项为ABD故答案为：ABD【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理推断三角形的形态，属于中档题.三､填空题13.在中，，，，则______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理列方程，解方程求得.【详解】由正弦定理得，即.故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.14.已知两条直线，，若直线与直线平行，则实数______.【答案】【解析】【分析】依据两条直线平行的条件列方程，解方程求得的值.【详解】由于直线与直线平行，所以.且此时两直线不重合，故答案为：点睛】本小题主要考查依据直线平行求参数，属于基础题.15.已知圆圆心为，为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为_____.【答案】【解析】【分析】将圆的方程配成标准方程，求出圆心的坐标，由此可求出以为直径的圆的标准方程.【详解】圆的标准方程为，则点，线段的中点为，且，因此，以为直径的圆的标准方程为.故答案为：.【点睛】本题考查圆的标准方程，关键是求出点的坐标，属于基础题．16.已知，，则______.【答案】【解析】【分析】先求得的值，然后利用同角三角函数的基本关系式求得的值.【详解】依题意，，则，解得，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正切公式，考查二倍角公式，属于中档题.四､解答题17.已知直线l经过点，其倾斜角为.（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由斜率,再利用点斜式即可求得直线的方程；(2)由直线的方程，分别令为，得到纵截距与横截距，即可得到直线与两坐标轴所围成的三角形的面积.【详解】(1)直线的方程为：，即.(2)由(1)令，则；令，则.所以直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为：.【点睛】本题考查直线的点斜式方程，直线截距的意义，三角形的面积，属于基础题.18.已知,.(1)求值;(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）由，算得，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式绽开，再代入的值，即可得到本题答案.【详解】(1)因为,,所以.所以；(2).【点睛】本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题.19.在锐角中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若的面积，，求和的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.（2）利用三角形的面积公式列方程，解方程求得，利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.【详解】（1）依题意，即，所以，由于，所以.（2）依题意，由余弦定理得，由正弦定理得.【点睛】本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.20.已知圆过点，且与圆关于直线对称.（1）求圆的方程；（2）若直线过点,且与圆C相交于、两点，当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设圆心的坐标,由圆心与圆心关于直线对称,列出方程组求出圆心,再求半径,即可写出圆的方程;（2）设过的直线方程为,由圆心到切线的距离,与半径和代入勾股定理,即可求出斜率,再写出切线方程.【详解】解：（1）设圆心,则解得则圆C的方程为,将点代入得,故圆C的方程为;（2）设过的直线方程为,即：由圆心到直线的距离,半径和代入,解得或;所以直线的方程为或.【点睛】本题考查了直线和圆的方程的应用问题,也考查了点到直线的距离公式以及关于直线对称的圆的方程问题,是综合性题目.21.在中，角，，的对边分别为，，，且满意，.（1）求角的大小；（2）若，试推断的形态；（3）若为钝角三角形，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）直角三角形；（3）或【解析】【分析】（1）首先依据正弦定理边角互化为，然后再化简求角的大小；（2）依据正弦定理边角互化为，然后再依据余弦定理求角的大小，最终推断三角形的形态；（3）由（2）可知，分角和角为钝角，求的取值范围.【详解】（1）依据正弦定理，化简为，解得：,，;（2）当时，，依据正弦定理可知：，，,，又，，是直角三角形.（3）由正弦定理可知，，若角是钝角三角形，并且，则，，解得：；若角是钝角，并且，则，，解得：综上可知的取值范围是.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，推断三角形的形态，以及求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想，和计算实力，属于基础题型，本题的第三问的关键是分类，并且能正确求出角的范围.22.在路边安装路灯，灯柱与地面垂直(满意)，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采纳锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.（1）当时，求四边形的面积；（2）求灯柱的高(用表示)；（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）