2024高考数学二轮专题复习测试专题强化练十二含解析

PAGE专题强化练(十二)1．已知双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线2x－y＋1＝0垂直，则双曲线C的离心率为()A.2 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.eq\r(5)解析：依题意，2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)))＝－1，所以b＝2a.则e2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)＝5，所以e＝eq\r(5).答案：D2．(2024·吉林省试验中学第一次质检)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2，且短轴长为6，则C的方程为()A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,35)＝1 D.eq\f(x2,37)＋eq\f(y2,36)＝1＋c2＝10，所以C的方程为eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,9)＝1.故选B.答案：B3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l：y＝x－1经过点F，且分别交C于A、B两点，则|AB|＝()A．4eq\r(2) B．8C．8eq\r(2) D．12解析：因为直线l：y＝x－1经过点F，所以F(1，0)，故eq\f(p,2)＝1即p＝2，所以C：y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－1，))可得x2－6x＋1＝0，故x1＋x2＝6，故|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.答案：B4.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m，镜深0.25m，为达到最佳汲取太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点()A．0.5米 B．1米C．1.5米 D．2米解析：若使汲取太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程x2＝2py，集光板端点A(1，0.25)，代入抛物线方程可得2p＝4，所以抛物线方程x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1)．所以容器灶圈应距离集光板顶点1m.答案：B5．(2024·北京市东城区模拟)双曲线C：x2－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线与直线x＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，那么双曲线C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2 D.eq\r(5)解析：由双曲线的方程可得a＝1，且渐近线的方程为：y＝±bx，与x＝1联立可得y＝±b，所以|AB|＝|2b|，由题意可得4＝2|b|，解得|b|＝2，c2＝a2＋b2，所以双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(\f(1＋4,1))＝eq\r(5)，故选D.答案：D6．(2024·全国名校模拟)若双曲线C：eq\f(y2,m)－eq\f(x2,9)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(2,3)x，则C的两个焦点坐标为()A．(0，±eq\r(5)) B．(±eq\r(5)，0)C．(0，±eq\r(13)) D．(±eq\r(13)，0)解析：因为双曲线C：eq\f(y2,m)－eq\f(x2,9)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(2,3)x，所以eq\f(\r(m),3)＝eq\f(2,3)，解得m＝4，所以双曲线方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1，所以双曲线C的两个焦点坐标为(0，±eq\r(13))，故选C.答案：C7．(2024·开封模拟)已知F1，F2是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦点，点M在E上，MF2与x轴垂直，sin∠MF1F2＝eq\f(1,3)，则E的离心率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)＝2a－eq\f(b2,a)，由sin∠MF1F2＝eq\f(1,3)，可得3×eq\f(b2,a)＝2a－eq\f(b2,a)，解得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，所以e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(2),2).答案：C8．(2024·石家庄调研)已知F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，＝30°，且虚轴长为2eq\r(2)，则双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1 D．x2－eq\f(y2,2)＝1解析：如图，不妨设点P(x0，y0)在第一象限，则PF2⊥x轴，在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，则|PF2|＝eq\f(2\r(3)c,3)，|PF1|＝eq\f(4\r(3)c,3)，又因为|PF1|－|PF2|＝eq\f(2\r(3)c,3)＝2a，即c＝eq\r(3)a.又2b＝2eq\r(2)，知b＝eq\r(2)，且c2－a2＝2，从而得a2＝1，c2＝3.故双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,2)＝1.答案：D9．(2024·泉州模拟)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线2x＋y－4＝0与y轴交于点A，线段AF2与E交于点B.若|AB|＝|BF1|，则E的方程为()A.eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1 D.eq\f(x2,5)＋y2＝1解析：由题可得A(0，4)，F2(2，0)所以c＝2，又|AB|＝|BF1|，所以2a＝|BF1|＋|BF2|＝|AF2|＝2eq\r(5)，得a＝eq\r(5)，所以b＝1，所以椭圆的方程为eq\f(x2,5)＋y2＝1.答案：D10．已知斜率为k1(k1≠0)的直线l与椭圆x2＋eq\f(y2,4)＝1交于A，B两点，线段AB的中点为C，直线OC(O为坐标原点)的斜率为k2，则k1·k2＝()A．－eq\f(1,4) B．－4C．－eq\f(1,2) D．－2＝2x0，y1＋y2＝2y0.因为A，B两点在椭圆上，所以xeq\o\al(2,1)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),4)＝1，xeq\o\al(2,2)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),4)＝1.两式相减得：xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,4)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，(x1＋x2)(x1－x2)＋eq\f(1,4)(y1＋y2)(y1－y2)＝0，2x0(x1－x2)＋eq\f(1,2)y0(y1－y2)＝0，2＋eq\f(1,2)·eq\f(y0（y1－y2）,x0（x1－x2）)＝0，即2＋eq\f(1,2)k1·k2＝0，解得k1·k2＝－4.答案：B＝8x上运动，点Q在曲线(x－2)2＋y2＝1上运动，则eq\f(|PB|2,|PQ|)的最小值为()A．eq\r(3) B．4C．eq\r(5) D．6解析：设圆心为F，则F也为抛物线y2＝8x的焦点，该抛物线的准线方程为x＝－2，设P(x，y)，由抛物线的定义：|PF|＝x＋2，要使eq\f(|PB|2,|PQ|)最小，则|PQ|需最大，如图，＋1＝x＋3，且|PB|＝eq\r(（x－4）2＋y2)＝eq\r(x2＋16).所以eq\f(|PB|2,|PQ|)＝eq\f(x2＋16,x＋3)，令x＋3＝t(t≥3)，则x＝t－3，所以eq\f(|PB|2,|PQ|)＝t＋eq\f(25,t)－6≥4，当t＝5时取“＝”，此时x＝2.所以eq\f(|PB|2,|PQ|)的最小值为4.答案：B12．(多选题)设M、N是抛物线x2＝4y上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为－eq\f(1,4)，则下列结论正确的是()A．|OM|＋|ON|≥5B．以MN为直径的圆面积的最小值为4πC．直线MN过抛物线x2＝4y的焦点D．点O到直线MN的距离不大于1解析：对于A选项，若MN与y轴垂直，设直线MN为y＝a(a>0)，则M(2eq\r(a)，a)，N(－2eq\r(a)，a)，所以kOM＝eq\f(\r(a),2)，kON＝－eq\f(\r(a),2)，所以kOM·kON＝－eq\f(a,4)＝－eq\f(1,4)，所以a＝1，即M(2，1)，N(－2，1)，此时|OM|＋|ON|＝2eq\r(5)<5，A选项错误；对于B、C选项，由题意可知直线MN斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx＋m，＋m>0，设点M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，因为kOMkON＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,2),16x1x2)＝eq\f(x1x2,16)＝－eq\f(m,4)＝－eq\f(1,4)，所以m＝1，此时直线MN的方程为y＝kx＋1，恒过定点(0，1)，C选项正确；因为|MN|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝4(1＋k2)≥4，所以，以MN为直径的圆面积的最小值为4π，B选项正确；对于D选项，点O到直线MN的距离为d＝eq\f(1,\r(k2＋1))≤1，D选项正确．答案：BCD13．已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2eq\r(a)，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4eq\r(a)＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．答案：(1，0)14．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为eq\f(\r(3),2)c，则其离心率的值是________．解析：不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，所以eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b＝eq\f(\r(3),2)c，所以b2＝c2－a2＝eq\f(3,4)c2，得c＝2a，所以双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝2.答案：215．(2024·四川省南充市其次次模拟)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过F作直线与C相交于P，Q两点，且Q在第一象限，若2eq\o(PF,\s\up14(→))＝eq\o(FQ,\s\up14(→))，则直线PQ的斜率是__________．解析：设l是准线，过P作PM⊥l于M，过Q作QN⊥l于N，＝eq\o(FQ,\s\up14(→))，所以|QF|＝2|PF|，所以|QN|＝2|PM|，所以|QH|＝|NH|＝|PM|＝|PF|，|PH|＝eq\r(（3|PF|）2－|PF|2)＝2eq\r(2)|PF|，所以tan∠HQF＝eq\f(|PH|,|QH|)＝2eq\r(2)，所以直线PQ斜率为2eq\r(2).答案：2eq\r(2)16．(2024·博雅闻道联合质检)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率的取值范围为__________．解析：依据题意作图如下：由图可得：当点P在椭圆的上(下)顶点处时，∠PF1F2最大，要满意椭圆C上存在点P(x0，y0)(x≥0)使得∠PF1F