《高等数学C》教学大纲

《高等数学C》教学大纲适用范围：202X版本科人才培养方案课程代码：13110081/13110091课程性质：通识教育必修课学分：10学分学时：160学时（理论160学时）先修课程：无后续课程：线性代数、概率论与数理统计、复变函数与积分变换等适用专业：机械设计制造及其自动化开课单位：理学部一、课程说明《高等数学C》是机械设计制造及其自动化的一门通识教育必修课。本课程主要讲授一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、向量代数与空间解析几何、无穷级数与常微分方程等方面的基本知识（基本概念、基本理论、基本方法）和基本运算技能，为学习后续课程以及进一步获得数学知识奠定必要的连续量的数学基础；并通过课程教学培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、辩证思维能力和创新思维能力，能够将高等数学知识应用到机械设计制造及其自动化领域中。二、课程目标通过本课程的学习，使学生达到如下目标：课程目标1：掌握一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、向量代数与空间解析几何、无穷级数与常微分方程等方面的基本知识（基本概念、基本理论、基本方法）和基本运算技能。课程目标2：培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、辩证思维能力和创新思维能力，并具备一定的自主学习能力。课程目标3：培养学生借助数学建模思维，具有将数学建模原理应用到机械设计制造及其自动化领域的能力。课程目标4：使学生具有良好的数学素养和团队合作精神，帮助学生树立辩证唯物主义世界观和方法论。三、课程目标与毕业要求《高等数学C》课程教学目标对机械设计制造及其自动化专业毕业要求的支撑见表1。表1课程教学目标与毕业要求关系毕业要求指标点课程目标支撑强度1.工程知识1.1掌握数学、物理的基础知识，领会数学、自然科学的重要思想和思维方法，理解工程问题的数理本质及其表述方法。课程目标1：掌握一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、向量代数与空间解析几何、无穷级数与常微分方程等方面的基本知识（基本概念、基本理论、基本方法）和基本运算技能。课程目标2：培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、辩证思维能力和创新思维能力，并具备一定的自主学习能力。课程目标3：培养学生借助数学建模思维，具有将数学建模原理应用到机械设计制造及其自动化领域的能力。课程目标4：使学生具有良好的数学素养和团队合作精神，帮助学生树立辩证唯物主义世界观和方法论。H注：表中“H（高）、M（中）”表示课程与相关毕业要求的关联度。四、教学内容、基本要求与学时分配理论部分理论部分的教学内容、基本要求与学时分配见表2。表2教学内容、基本要求与学时分配教学内容教学要求，教学重点难点理论学时对应的课程目标1.函数与极限1.1映射与函数1.2数列的极限和函数的极限1.3无穷小与无穷大，无穷小的比较1.4极限的运算法则，极限存在准则，两个重要极限1.5函数的连续性与间断点，连续函数的运算与初等函数的连续性1.6闭区间上连续函数的性质教学要求：（1）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解，掌握函数的表示法，了解函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）；（2）理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念；（3）掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念；（4）会建立简单应用问题的函数关系；（5）理解极限、左极限、右极限的概念，了解极限的、定义；（6）掌握极限的四则运算法则，会用变量代换求某些简单的复合函数的极限；（7）了解极限的性质和两个存在准则，掌握利用两个重要极限公式求极限的方法；（8）了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小替换求极限；（9）理解函数连续性的概念；（10）了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型；（11）了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理。重点：函数、复合函数的概念；极限的概念；函数连续的概念；极限运算法则和两个重要极限。难点：复合函数与分段函数的概念；函数的极限；函数极限存在与左、右极限之间关系；无穷小的比较；判断间断点的类型；求极限。161、2、42.导数与微分2.1导数的概念，函数的求导法则2.2高阶导数2.3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数，相关变化率2.4函数的微分教学要求：（1）理解导数的概念及其几何意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系；（2）了解导数作为函数变化率的实际意义，会求平面曲线的切线和法线方程，会用导数表达科学技术中一些量的变化率；（3）掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则，了解反函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶导数以及二阶导数，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题；（4）了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；（5）理解微分的概念，理解微分与导数的关系，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。重点：导数的概念及其几何意义；基本初等函数的求导公式；微分的概念；导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。难点：导数、微分的概念；复合函数的求导；隐函数和参数方程所确定的函数的导数的求法；实际问题中的变化率的描述。101、2、3、43.微分中值定理与导数的应用3.1微分中值定理，洛必达法则3.2泰勒公式3.3函数的单调性与曲线的凹凸性3.4函数的极值与最大值最小值3.5函数图形的描绘和曲率教学要求：（1）理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理；（2）掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；（3）了解泰勒中值定理以及用多项式逼近函数的思想；（4）理解函数极值的概念，掌握利用导数判断函数的单调性和求极值的方法，会求较简单的最大值和最小值的应用问题；（5）会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘一些简单函数的图形；（6）了解曲率和曲率半径的概念，会求曲率和曲率半径。重点：罗尔定理；拉格朗日中值定理；函数极值；利用导数判断函数的单调性和求极值；会利用二阶导数判断函数的凹凸性；会求拐点。难点：中值定理；求未定式的极限；描绘函数的图形；求最大值、最小值的应用问题。121、2、3、44.不定积分4.1不定积分的概念与性质4.2换元积分法4.3分部积分法4.4有理函数的积分及积分表的使用教学要求：（1）理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质，掌握不定积分基本公式；（2）掌握不定积分的换元积分法和分部积分法；（3）会求有理函数、三角有理式及可化为有理函数的积分。重点：原函数与不定积分的概念；不定积分的基本公式；换元积分法和分部积分法。难点：换元积分法和分部积分法；有理函数的积分；三角有理式的积分。121、2、45.定积分5.1定积分的概念与性质5.2微积分基本公式5.3定积分的换元积分法与分部积分法5.4反常积分教学要求：（1）理解定积分的概念和性质；（2）理解积分上限函数及其求导定理，掌握牛顿─莱布尼兹公式；（3）掌握定积分的换元积分法和分部积分法；（4）了解两类反常积分的概念，会计算简单反常积分。重点：定积分的概念和几何意义；积分上限的函数及其求导定理；牛顿─莱布尼兹公式；定积分的换元积分法和分部积分法。难点：定积分的概念；变上限积分函数的求导；反常积分的概念；定积分的换元积分法和分部积分法。121、2、46.定积分的应用6.1定积分的元素法6.2定积分在几何学上的应用6.3定积分在物理学上的应用教学要求：理解科学技术问题中建立定积分表达式的元素法的思想，会用定积分表示和计算一些几何量和物理量。重点：定积分的元素法。难点：定积分的元素法；求平面图形的面积，曲线的弧长，旋转体的体积；物理上的应用问题。61、2、3、47.微分方程7.1微分方程的基本概念7.2可分离变量的微分方程7.3齐次方程和一阶线性微分方程7.4可降阶的高阶微分方程和高阶线性微分方程7.5常系数齐次和非齐次线性微分方程教学要求：（1）了解微分方程及其解、通解、初值条件和特解等概念；（2）掌握可分离变量方程及一阶线性方程的解法；（3）会解齐次方程，并从中领会用变量代换求解微分方程的思想；（4）会用降阶法解高阶方程；（5）理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理；（6）掌握二阶常系数齐次线性方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法；（7）会求自由项形如、的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，其中为实系数次多项式，为实数；（8）会通过建立微分方程模型，解决一些简单的实际问题。重点：可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法；二阶线性微分方程解的结构；二阶常系数齐次线性方程的解法。难点：可降阶的二阶方程的求解；二阶常系数非齐次线性方程的解；用微分方程建立和求解一些简单相关实际问题的数学模型。121、2、3、48.向量代数与空间解析几何8.1向量及其线性运算，数量积，向量积，混合积8.2平面及其方程，空间直线及其方程8.3曲面及其方程，空间曲线及其方程教学要求：（1）理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；（2）掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；（3）掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；（4）了解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；（5）了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程；（6）掌握平面方程和直线方程及其求法，会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题，会求点到直线、点到平面的距离。重点：空间直角坐标系的概念；向量的概念；数量积、向量积的坐标表示；平面方程与直线方程。难点：平面方程、直线方程的求法；常见二次曲面的方程及图形；空间曲线的参数方程。141、2、49.多元函数微分法及其应用9.1多元函数的基本概念9.2偏导数和全微分9.3多元复合函数的求导法则，隐函数的求导公式9.4多元函数微分学的几何应用，方向导数与梯度9.5多元函数的极值及其求法教学要求：（1）理解二元函数的概念及其几何意义，了解多元函数的概念；（2）了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质；（3）理解偏导数与全微分的概念，会求偏导数，了解全微分存在的必要条件和充分条件；（4）了解全微分形式的不变性，了解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法；（5）掌握复合函数一阶偏导数的求法，掌握全微分的求法，会求复合函数的二阶偏导数，会求隐函数的一阶偏导数；（6）了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，并会求它们的方程；（7）理解二元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值的求法，掌握求条件极值的拉格朗日数乘法，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。重点：二元函数的概念；二元函数偏导数与全微分的概念；复合函数一阶偏导数的求法；二元函数极值与条件极值。难点：全微分、方向导数、梯度的概念；复合函数的偏导数的求法。181、2、3、410.重积分10.1二重积分的概念与性质，二重积分的计算法10.2三重积分10.3重积分的应用教学要求：（1）理解二重积分概念，了解三重积分的概念，了解重积分的性质；（2）掌握二重积分的计算方法，会计算简单的三重积分；（3）会用重积分计算平面图形的面积、立体的体积以及曲面的面积等一些几何量与物理量。重点：二重积分的概念；二重积分在直角坐标系、极坐标系下的计算方法；三重积分的计算。难点：二重积分在直角坐标系、极坐标系下的计算方法；二重积分在几何、物理上的应用；三重积分的计算。161、2、3、411.曲线积分与曲面积分11.1对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分11.2格林公式及其应用11.3对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分11.4高斯公式，斯托克斯公式教学要求：（1）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，会计算两类曲线积分；（2）掌握格林公式并会用平面曲线积分与路径无关的条件，了解第二类平面曲线积分与路径无关的物理意义，会求全微分的原函数；（3）了解两类曲面积分的概念，理解两类曲面积分的性质及二者的关系，会计算两类曲面积分；（4）了解高斯公式，会利用高斯公式计算积分，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。重点：两类曲线积分、曲面积分的概念及计算；格林公式。难点：曲线积分、曲面积分的概念；两类曲线积分、曲面积分的关系；高斯公式；斯托克斯公式。161、2、3、412.无穷级数12.1常数项级数的概念和性质12.2常数项级数的审敛法12.3幂级数12.4函数展开成幂级数，函数的幂级数展开式的应用和傅里叶级数教学要求：（1）理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件；（2）掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法，掌握几何级数、级数的收敛与发散的条件；（3）了解交错级数的莱布尼兹定理，了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及二者的关系；（4）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念，掌握简单幂级数的收敛半径、收敛区间的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会利用幂级数的性质求和；（5）会利用、、、、的麦克劳林展开式将一些简单的函数展开成幂级数；（6）了解傅里叶级数的概念，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数。重点：正项级数的比较判别法、比值判别法；幂级数的收敛半径及收敛区间的求法；间接展开法把简单的函数展开成泰勒级数。难点：级数敛散性的概念及判定；任意项级数的绝对收敛与条件收敛的判定；把函数展开成幂级数。161、2、4合计160五、教学方法及手段本课程教学以课堂讲授为主，利用超星学习通平台，结合网络优质视频资源，配合多媒体课件等采用启发式、讨论式教学等共同完成课堂授课内容，促进学生积极思考，开发学生的潜能，培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力；课下采取自学、分组任务、课后作业等形式，对课堂授课内容进行巩固和提高；采用钉钉、微信等交流工具，加强教师和学生之间的沟通交流。六、课程资源1.推荐教材：同济大学数学系.高等数学(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2014.2.参考书：（1）同济大学数学系.高等数学习题全解指南:同济第七版[M].北京:高等教育出版社,2014.（2）华东师范大学数学科学学院.数学分析(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2019.（3）方桂英,崔克俭.高等数学(第四版)[M].北京:科学出版社,2018.3.期刊：（1）董浩宇,高德智.第二型曲线积分的分部积分方法[J].大学数学,2018,34(5):114-117.（2）林群,童增祥,张景中.先于极限的微积分中引入连续性[J].高等数学研究,2020,23(04):1-10.（3）戴敏.多元函数微分学中的反例构造技巧[J].高等数学研究,2021,24(3):36-40.（4）MondherBenjemaa.Taylor'sformulainvolvinggeneralizedfractionalderivatives[J].AppliedMathematicsandComputation,2018,335:182-195.（5）DiegoDominici.PowerseriesexpansionofaHankeldeterminant[J].LinearAlgebraanditsApplications,2020,601:17-54.（6）XiaojieHuang,ZhixiuLiu,ChunWu.Derivativeandhigher-orderCauchyintegralformulaofmatrixfunctions[J].OpenMathematics,2021,19(1):1771-1778.4.网络资源：（1）李雨生,郭镜明,潘生亮等.高等数学[Z/OL].北京:爱课程ICourse.2019[2021]./sCourse/course_2181.html.（2）李继成,赵小艳,吴慧卓等.高等数学[Z/OL].北京:中国大学MOOC.2016[2021]./course/XJTU-1001744016?tid=1465249460.（3）朱建民,李建平,黄建华等.高等数学[Z/OL].北京:中国大学MOOC.2014[2021]./course/NUDT-9004?tid=1465472487.七、课程考核对课程目标的支撑课程成绩由过程性考核成绩和期末考核成绩两部分构成，具体考核/评价细则及对课程目标的支撑关系见表3。表3课程考核对课程目标的支撑考核环节占比考核/评价细则课程目标1234过程性考核课堂表现10（1）根据课堂出勤情况、课堂回答问题和分组任务完成情况进行考核，满分100分。（2）以平时考核成绩乘以其在总评成绩中所占的比例计入课程总评成绩。√√√532作业10（1）主要考核学生对各章节知识点的复习、理解和掌握程度，满分100分。（2）每次作业单独评分，取各次成绩的平均值作为此环节的最终成绩。（3）以作业成绩乘以其在总评成绩中所占的比例计入课程总评成绩。√√√442阶段测验20（1）根据每次阶段测验情况单独评分，满分100分。（2）每次阶段测验单独评分，取各次测验成绩的平均值作为此