人教版数学九年级上册22.3.2　二次函数与商品利润问题 教案

人教版数学九年级上册22.3.2二次函数与商品利润问题教案学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容人教版数学九年级上册第22.3.2节“二次函数与商品利润问题”教案，主要内容包括以下几个方面：

1.理解二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）。

2.掌握二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。

3.学会利用二次函数解决实际问题，尤其是商品利润问题。

4.能够运用二次函数的性质分析商品利润的最大化或最小化问题。

5.熟练运用二次函数解决实际生活中的利润问题，提高解决实际问题的能力。核心素养目标1.逻辑推理：通过学习二次函数的一般形式和性质，培养学生从具体实例中抽象出二次函数模型的能力，提高学生的逻辑推理素养。

2.数学建模：培养学生运用二次函数解决实际问题的能力，学会建立二次函数模型，提高学生的数学建模素养。

3.数据分析：通过分析二次函数图象和实际问题中的数据，培养学生从数据中提取有价值信息的能力，提高学生的数据分析素养。

4.数学运算：培养学生运用二次函数公式和性质进行计算和解决问题的能力，提高学生的数学运算素养。教学难点与重点1.教学重点

-二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）

-二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等

-利用二次函数解决商品利润问题

-运用二次函数的性质分析商品利润的最大化或最小化问题

-熟练运用二次函数解决实际生活中的利润问题

2.教学难点

-理解二次函数的图象与性质之间的关系：开口方向由a的符号决定，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)

-掌握利润问题的数学模型构建：利润=销售额-成本，成本包括固定成本和变动成本

-运用二次函数解决实际问题时，如何正确转化问题为二次函数模型并应用相关性质求解

-在实际问题中，如何判断二次函数的最大化或最小化问题，并运用数学方法求解最优解

举例说明：

-教学重点举例：通过实际案例，让学生绘制二次函数图象，并分析开口方向、对称轴和顶点坐标，加深对二次函数性质的理解。

-教学难点举例：给出一个商品销售问题，要求学生构建二次函数模型，并求解最大利润点。例如，某商品售价为每件P元，固定成本为F元，销售x件，总销售额为R=Px，总成本为C=F+Gx（G为每件商品的变动成本），利润为L=R-C。将此问题转化为二次函数模型，并利用二次函数的性质求解最大利润点。教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、白板、教学黑板、粉笔、教案及教学课件、数学教科书、练习册。

2.课程平台：无需特定课程平台，适用于传统教室教学环境。

3.信息化资源：互联网访问权限（用于查找相关教学案例和实际问题）、数学软件或图形计算器（用于绘制二次函数图象和分析）。

4.教学手段：小组讨论、合作学习、问题解决、案例分析、数学建模、课堂讲解、互动提问、练习与反馈。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：提供本节课的教学课件和预习问题，要求学生预习二次函数的一般形式和性质。

-设计预习问题：提出问题如“二次函数的图象如何判断开口方向？”，“顶点坐标与对称轴有何关系？”等。

-监控预习进度：通过在线平台收集学生的预习笔记和问题，了解学生的预习情况。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生独立阅读教科书和提供的课件，理解二次函数的基本概念。

-思考预习问题：学生针对问题进行思考，尝试自己解答，并记录下疑问。

-提交预习成果：学生在平台上提交预习笔记和问题，与同学分享学习成果。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：学生独立完成预习任务，培养自主学习能力。

-信息技术手段：在线平台和课件资源，促进学生之间的交流和信息共享。

作用与目的：

-帮助学生提前熟悉本节课的核心概念，为课堂学习打下基础。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力，激发学习兴趣。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过一个实际商品利润问题引入二次函数与利润问题的关系。

-讲解知识点：详细讲解二次函数的一般形式、性质和如何解决利润问题。

-组织课堂活动：分组讨论如何将实际问题转化为二次函数模型，并求解最优解。

-解答疑问：针对学生在学习过程中提出的问题，进行解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：学生专注听讲，积极思考并记录关键信息。

-参与课堂活动：学生分组讨论，共同解决实际问题，并分享解题过程。

-提问与讨论：学生针对不理解的地方提出问题，并与同学进行讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：教师通过讲解，帮助学生掌握二次函数的核心概念。

-合作学习法：小组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

-实践活动法：通过解决实际问题，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解二次函数的知识点，掌握解决实际问题的方法。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置相关的练习题，要求学生运用二次函数解决商品利润问题。

-提供拓展资源：推荐学生阅读相关的数学文章，了解二次函数在实际生活中的应用。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：学生独立完成作业，运用所学知识解决实际问题。

-拓展学习：学生利用推荐的资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：学生对自己的学习过程和作业进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：学生独立完成作业和拓展学习，培养自主学习能力。

-反思总结法：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结，促进自我提升。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的二次函数知识和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。知识点梳理本节课主要涉及以下知识点：

1.二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）

-理解二次函数的各个参数的含义：a代表开口方向和宽度，b代表对称轴的位置，c代表顶点的y坐标。

-掌握如何通过a的符号判断开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

-了解对称轴的公式：x=-b/2a，并理解其含义。

-掌握顶点坐标的计算公式：(-b/2a,c-b^2/4a)，并能够根据给定的二次函数求出顶点坐标。

2.二次函数的性质：

-掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等基本性质。

-了解二次函数图象与x轴的交点：通过解方程y=0得到。

-掌握二次函数的最值问题：对于开口向上的二次函数，最小值在顶点处；对于开口向下的二次函数，最大值在顶点处。

3.二次函数与商品利润问题：

-理解商品利润的数学模型：利润=销售额-成本，其中销售额为售价乘以销售量，成本包括固定成本和变动成本。

-学会将实际问题转化为二次函数模型：根据利润公式，确定自变量和因变量，构建二次函数。

-掌握如何利用二次函数的性质解决实际问题：通过分析开口方向、对称轴、顶点坐标等，判断利润的最大化或最小化。

4.解决实际问题的方法：

-理解实际问题中的变量关系，将其转化为二次函数模型。

-利用二次函数的性质分析问题，找到最优解。

-学会将数学模型应用于实际问题，解决生活中的问题。课堂1.课堂评价

-提问：通过提问，了解学生对二次函数知识的掌握情况，及时发现学生的疑惑点。例如，针对二次函数的性质，可以提问学生：“开口方向是如何确定的？”“顶点坐标有什么意义？”等。

-观察：在课堂上观察学生的参与程度、合作交流情况，了解学生的学习状态。例如，是否积极参与小组讨论，能否与他人有效沟通等。

-测试：通过课堂小测或小组竞赛等形式，检测学生对二次函数知识的掌握程度，发现学生的知识盲点。例如，设计一些有关二次函数性质的题目，让学生在限定时间内完成。

-反馈与调整：根据评价结果，针对学生的疑惑点和薄弱环节进行针对性的讲解和辅导，及时调整教学方法和节奏。

2.作业评价

-认真批改：对学生的作业进行细致批改，关注学生的解题思路、方法及答案。例如，检查学生是否正确理解二次函数的性质，能否熟练运用解决实际问题。

-点评与鼓励：在作业批改过程中，给予学生积极的评价和鼓励，提高学生的自信心。例如，对于学生的正确解答，可以给予“很好！”、“解答准确！”等肯定性评价；对于学生的错误解答，可以引导学生思考错误原因，并鼓励其继续努力。

-及时反馈：及时将作业评价结果反馈给学生，让学生了解自己的学习效果，促进学生的自我调整和提高。例如，可以通过课堂讲解、个别辅导等方式，让学生了解自己的作业情况，并提供改进建议。

3.学生互评

-小组内互评：鼓励学生在小组内进行互评，互相指出对方的优点和不足，促进学生的团队合作和相互学习。例如，在小组讨论中，让学生互相评价对方的解题方法、合作态度等。

-全班范围内互评：组织全班范围内的学生互评，让学生在评价他人时，也能反思自己的学习过程。例如，可以让学生在课堂上分享自己的解题思路，其他学生进行评价和讨论。

4.教学反思

-教师自我评价：教师在课后进行自我反思，总结课堂教学的优点和不足，不断提高教学水平。例如，思考自己的讲解是否清晰易懂，教学方法是否适合学生等。

-学生反馈：收集学生的反馈意见，了解学生对课堂教学的评价和建议，以便于教师调整教学策略。例如，可以设计一份简单的问卷调查，让学生评价课堂的趣味性、互动性等方面。内容逻辑关系-重点知识点：二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），开口方向、对称轴、顶点坐标等性质。

-关键词：一般形式、开口方向、对称轴、顶点坐标。

-板书设计：

-二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c

-开口方向：a>0向上，a<0向下

-对称轴：x=-b/2a

-顶点坐标：(-b/2a,c-b^2/4a)

2.二次函数与商品利润问题

-重点知识点：商品利润的数学模型，将实际问题转化为二次函数模型，利用二次函数性质解决实际问题。

-关键词：利润模型、实际问题、二次函数性质。

-板书设计：

-利润模型：利润=销售额-成本

-实际问题转化为二次函数模型：确定自变量和因变量，构建二次函数。

-利用二次函数性质解决实际问题：分析开口方向、对称轴、顶点坐标，找到利润的最大化或最小化。

3.解决实际问题的方法

-重点知识点：理解实际问题中的变量关系，将其转化为二次函数模型，利用二次函数性质分析问题，找到最优解。

-关键词：变量关系、二次函数模型、性质分析。

-板书设计：

-理解实际问题中的变量关系。

-将实际问题转化为二次函数模型。

-利用二次函数性质分析问题，找到最优解。重点题型整理1.二次函数的一般形式和性质

-题目：给定一个二次函数y=ax^2+bx+c，判断其开口方向，并求出顶点坐标。

-答案：开口方向取决于a的符号，如果a>0，开口向上；如果a<0，开口向下。顶点坐标可以通过公式(-b/2a,c-b^2/4a)计算得出。

2.二次函数与商品利润问题

-题目：某商品的售价为每件100元，固定成本为10000元，每件商品的变动成本为50元，求该商品的利润函数，并计算出利润最大时的销售量。

-答案：利润函数为L(x)=(100-50)x-10000，其中x为销售量。利润最大时的销售量为x=1000件。

3.利用二次函数性质解决问题

-题目：给定一个二次函数y=x^2-4x+3，求该函数的最小值。

-答案：该函数的开口方向向上，对称轴为x=2，因此最小值出现在顶点处，最小值为y=-3。

4.解决实际问题的方法

-题目：某公司的生产成本函数为C(x)=2x^2+3x+1，求该公司的最大利润点。

-答案：首先，我们需要将利润函数转化为y=-C(x)的形式，得到利润函数y=-2x^2-3x-1。然后，利用二次函数的性质，找到对称轴x=-b/2a，即x=1.5，因此最大利润点为销售量为1.5件。

5.二次函数在实际生活中的应用

-题目：某城市的空气质量指数（AQI）与时间（t）的关系可以表示为AQI=0.1t^2-0.5t+30，求该城市在一天中的空气质量最佳时段。

-答案：该函数的开口方向向上，对称轴为t=-(-0.5)/(2*0.1)，即t=2.5小时。因此，空气质量最佳时段为早上8点至上午10点。教学反思与总结在教学二次函数与商品利润问题的过程中，我采用了讲授法、合作学习法和实践活动法等多种教学方法。通过提问、观察、测试等方式，我及时了解了学生的学习情况，并根据学生的反馈调整了教学方法和节奏。

然而，在教学过程中，我也发现了一些问题。例如，在讲解二次函数的性质时，我发现部分学生对开口方向、对称轴和顶点坐标的理解不够深刻。针对这一问题，我采用了更直观的图象展示和实例分析，帮助学生更好地理解这些概念。

此外，在解决实际问题的过程中，我发现一些学生对于如何将实际问题转化为二次函数模型的思路不够清晰。为了解决这一问题，我在课堂上提供了更多的实际问题案例，并鼓励学生进行小组讨论，共同解决问题。

2.教学总结

本节课的教学效果总体上是积极的。学生对于二次函数的一