宁夏石嘴山市高三4月适应性测试（一模）数学（理）试题

宁夏石嘴山市2018届高三4月适应性测试（一模）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为实数集，，则为（）A．B．C．D．2.设复数，则（）A．4B．2C．D．13.已知向量，且，则（）A．B．C．D．4.在2018年石嘴山市高中生研究性学习课题展示活动中，甲、乙、丙代表队中只有一个队获得一等奖，经询问，丙队代表说：“甲代表队没得—等奖”；乙队代表说：“我们队得了一等奖”；甲队代表说：“丙队代表说的是真话”。事实证明，在这三个代表的说法中，只有一个说的是假话，那么获得一等奖的代表队是（）A.甲代表队 B.乙代表队 C.丙代表队 D.无法判断5.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：“三人同行七十稀，五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知”.已知正整数被3除余2，被5除余3，被7除余4，求的最小值.按此歌诀得算法图，则输出的结果为（）A．53B．54C．158D．2636.若，则（）A．B．1C．D．7.函数的减区间是（）A．B．C．D．8.如图，已知三棱柱的正视图是边长为1的正方形，俯视图是边长为1的正三角形，点是上一动点(异于），则该三棱柱的侧视图是（）A．B．C．D．9.函数的图象向右平移个单位后，得到的图象，则函数的单调增区间为（）A．B．C．D．10.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．相离11.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．12.设函数是偶函数的导函数，在区间上的唯一零点为2，并且当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若变量满足约束条件且的最大值和最小值分别为和，则．14.在中，内角的对边是，若，则等于．15.下列4个命题①已知随机变量服从正态分布，若，则等于0.3；②设，则；③二项式的展开式中的常数项是45；④已知，则满足的概率为0.5.其中真命题的序号是． 16.利用一个球体毛坯切削后得到一个四面体，其中底面中，，且，平面，则球体毛胚表面积的最小值应为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列的前项和为，，数列中，.（1）求数列的通项公式，并证明数列是等比数列；（2）若，求数列的前项和.18.某中学每年暑假举行“学科思维讲座”活动，每场讲座结束时，所有听讲者都要填写一份问卷调查.2017年暑假某一天五场讲座收到的问卷分数情况如下表：用分层抽样的方法从这一天的所有问卷中抽取300份进行统计，结果如下表:（1）估计这次讲座活动的总体满意率；（2）求听数学讲座的甲某的调查问卷被选中的概率；（3）若想从调查问卷被选中且填写不满意的人中再随机选出5人进行家访，求这5人中选择的是理综讲座的人数的分布列及数学期望.19.如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点，侧棱，点在上，点在上，且.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.20.设椭圆的一个定点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程；（3）若是椭圆经过原点的弦，，求证：为定值.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(其中为参数）.现以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点坐标为，直线交曲线于两点，求的值.23.选修45：不等式选讲已知函数的最大值为.（1）的值；（2）若，，求的最大值.试卷答案一、选择题15:DCACA610:BBCAB11、12：DA二、填空题13.61414.15.②③④16.三、解答题17.（1）∵为等差数列，由∴，∴由（常数）∴为等比数列（2）由（1）的∴∴（1）∴（2）由可得：∴.18.解：（1）用样本满意率估计总体满意率（2）甲的调査问卷被选中的概率为（或)（3）不满意的问卷分别是语文1份、数学3份、英语1份、理综3份、文综2份，共10份，被选出进行家访的5人选择的是理综讲座的人数的取值为0，1，2，3；；；所以的分布列为19.解：（1）∵是等边三用形，为的中点，∴，∴平面，得.①在侧面中，，，∴，∴，∴.②结合①②，又∵，∴平面.（2）解法一：如图建立空间直角坐标系，则得设平面的法向量，则即得取.同理可得，平面的法向量∴则二面角的余弦值为.解法二：由（1）知平面，∴.∴即二面角的平面角在平面中，易知，∴，设，∵∴，即得.即，∴.则二面角的余弦值为.20.（1）椭圆的顶点为，即，∴，∴椭圆的标准方程为.（2）由题可知，直线与椭圆必相交.①当直线斜率不存在时，经检验不合题意②当斜率存在时，设直线的方程为，且由得.，，解得，故直线的方程为或（3）证明：设，，由（2）可得，由消去并整理得，，∴，为定值.21.（1）依题意知函数的定义域为，且.①当时，，所以在上单调递增.②当时，由得：，则当时，当时所以在单调递增，在上单调递减.（2）不是导函数的零点.证明如下：由（1）知函数，∵是函数的两个零点，不妨设，∴，两式相减得:即：又则.