第06讲实际问题与一元二次方程(6种题型)(原卷版+解析)

第06讲实际问题与一元二次方程（6种题型）【知识梳理】列一元二次方程解应用题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

2.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）

答(写出答案，切忌答非所问).

要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.【考点剖析】题型1：增长率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

(1)增长率问题：

平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)

(2)降低率问题：

平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)例1．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（）A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2 C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9例2．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为．例3.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．例4．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）今年五一“网红长沙”再次火出“圈”，27个旅游景区五天累计接待游客万人，成为全国十大必到城市之一．长沙美食也吸引了无数游客纷纷打卡，某网红火锅店五一期间生意火爆，第2天营业额达到10万元，第4天营业额为万元，据估计第3天、第4天营业额的增长率相同．(1)求该网红店第3，4天营业额的平均增长率；(2)若第1天的营业额为万元，第五天由于游客人数下降，营业额是前四天总营业额的，求该网红店第5天营业额．题型2：面积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.例5.如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？例6.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？例7.（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．例8.（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？题型3：数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.

(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.

几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.

如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.例9.已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．例10.一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个两位数.题型4：利润（利息）问题利息问题

(1)概念：

本金：顾客存入银行的钱叫本金.

利息：银行付给顾客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期数：存入银行的时间叫期数.

利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期数

利息税=利息×税率

本金×(1+利率×期数)=本息和

本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)

利润(销售)问题

利润(销售)问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价(成本)

总利润=每件的利润×总件数

例11.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？例12.商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：①当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？②在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？例13.（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？题型5：比赛统计问题比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环

．例14．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8 B．10 C．7 D．9例15.首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？题型6：传播问题传播问题：，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．例16．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（

）A． B．C． D．例17．（2023·全国·九年级专题练习）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．【过关检测】一、单选题1．（2023·湖南湘西·统考三模）在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为，设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（

）A． B．C． D．2．（2023·新疆喀什·统考三模）为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（

）A． B． C． D．3．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）NK中学秋季运动会上安排了8行12列的鲜花仪仗队，后来又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，设增加了x行，则可列方程为（

）A． B．C． D．4．（2022秋·天津武清·九年级校考阶段练习）一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．645．（2023·山东淄博·统考二模）如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（

）

A． B．C． D．6．（2023·宁夏银川·校考一模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人，可到方程为（

）A． B． C． D．7．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（）A．80个 B．120个 C．15个 D．16个8．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（

）A． B． C． D．二、填空题9．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考期中）若某两位数的十位数字是方程的根，则它的十位数字是_____．10．（2023秋·广东肇庆·九年级统考期末）在元旦庆祝活动中，每个参加活动的同学都给其余参加活动的同学各送1张贺卡，共送贺卡42张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程是______11．（2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价________元．三、解答题12．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模）某城市2020年底已有绿化面积500公顷，经过努力，绿化面积以相同的增长率逐年增加，到2022年底增加到605公顷，求该城市绿化面积的增长率．13．（2023·山东德州·校考一模）某服装销售商用元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的倍，每件的进价多了元．(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件元销售，每天平均能卖出件，销售价每降低元，则多卖出件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为元，销售价应为多少？14．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为30m，20m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽．

15．（2023·广东广州·统考二模）我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加到12.1万人．(1)求这两个月游客人数的月平均增长率；(2)若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？16．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）为了响应“践行核心价值观，青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，假定从一开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者．”(1)求出m的值；(2)经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．①分别求出他们三人号召的成功率；②求出n的值．17．（2022秋·广东阳江·九年级统考期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）影片《万里归途》的部分统计数据发布日期10月8日10月11日10月12日发布次数第1次第2次第3次票房10亿元12.1亿元(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票18．（2022秋·四川成都·九年级统考期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．(1)求、两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？19．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动．问：(1)P、Q两点从出发开始几秒时，四边形的面积为？(2)几秒时点P点Q间的距离是10厘米？(3)P，Q两点间距离何时最小？20．（2023春·山西长治·九年级校联考阶段练习）小米又称栗米，古称栗，是中国古代的“五谷”之一，“人说山西好风光，地肥水美五谷香”、我省晋中、晋东南、阳泉盛产小米、某超市计划用元的价格购进一批优质小米，根据销售经验，当该小米的售价为元时，月销售量为，每千克小米售价每增长元，月销售量就相应减少．(1)若使这种小米的月销售量不低于，每千克小米售价应不高于多少元？(2)在实际销售过程中，每千克小米的进价为元，而每千克小米的售价比（1）中最高售价减少了，月销售量比（1）中最低月销售量增加了，结果该店销售该小米的利润达到了元，求在实际销售过程中每千克小米的价格．21．（2023秋·山西太原·九年级期末）某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台．(1)求该商店11，12两个月的月均增长率；(2)调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价．22．（2020秋·广东揭阳·九年级统考期末）校运动会前夕，某班家委会准备为班级学生团体操表演方阵购买件表演服装，商家给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，则购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．若商家每件运动服的进价为40元，家委会一次性购买这种服装付了1200元．(1)当时，购买单价为___________元；当时，购买单价为___________元；(2)求家委会共购买了多少件服装？(3)若不考虑其它因素，本次销售商家的利润率是多少？23．（2023·湖北孝感·统考三模）随着疫情防控全面放开，“复工复产”成为主旋律．中航无人机公司统计发现：公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．(1)求该公司生产型无人机每月产量的平均增长率；(2)该公司还生产型无人机，已知生产1架A型无人机的成本200元，生产1架型无人机的成本是300元．若生产两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，问最多能生产型无人机多少架？第06讲实际问题与一元二次方程（6种题型）【知识梳理】列一元二次方程解应用题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

2.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）

答(写出答案，切忌答非所问).

要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.【考点剖析】题型1：增长率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

(1)增长率问题：

平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)

(2)降低率问题：

平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)例1．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（）A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2 C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9【分析】利用该地92号汽油五月底的价格＝该地92号汽油三月底的价格×（1+该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的感觉．例2．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为．【分析】设平均每月的增长率为x，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答．【解答】解：设平均每月的增长率为x，由题意得25（1+x）2＝36，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）所以平均每月的增长率为20%．故答案为：20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．例3.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．【思路点拨】设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200（1﹣x）2，据此列出方程求解即可．【答案与解析】解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得：200（1﹣x）2=98解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．例4．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）今年五一“网红长沙”再次火出“圈”，27个旅游景区五天累计接待游客万人，成为全国十大必到城市之一．长沙美食也吸引了无数游客纷纷打卡，某网红火锅店五一期间生意火爆，第2天营业额达到10万元，第4天营业额为万元，据估计第3天、第4天营业额的增长率相同．(1)求该网红店第3，4天营业额的平均增长率；(2)若第1天的营业额为万元，第五天由于游客人数下降，营业额是前四天总营业额的，求该网红店第5天营业额．【答案】(1)该网红店第3，4天营业额的平均增长率为；(2)该网红店第5天营业额为万元．【分析】（1）设该网红店第3，4天营业额的平均增长率为，连续增长两次，根据第2天的营业额为10万元可列出方程求解；（2）求得前四天营业总额，根据“第五天的营业额是前四天总营业额的”列式计算即可求解．【详解】（1）解：设该网红店第3，4天营业额的平均增长率为，则解得，（舍）答：该网红店第3，4天营业额的平均增长率为；（2）解：前四天营业额为：万元．第五天营业额：万元，答：该网红店第5天营业额为万元．【点睛】本题考查了一元二次方程中求增长率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均增长率为x，则经过两次变化后的数量关系为．题型2：面积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.例5.如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？解答方法：通过列出篱笆的长和宽来求解面积解：设鸡场的宽为。（舍，不符合题意）或答：鸡场的长为15米，宽为10米。答案：10米。例6.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【答案与解析】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2，8，当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．【总结升华】1．结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键；2．注意检验一元二次方程的两个解是否符合题意．例7.（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．【分析】（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据扩充后的矩形绿地面积为800m，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入（35+x）及（15+x）中，即可得出结论；（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．【解答】解：（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，整理得：x2+50x﹣275＝0解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，即3（35+y）＝5（15+y），解得：y＝15，∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．答：新的矩形绿地面积为1500m2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．例8.（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积＝草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．【解答】解：设路宽应为x米根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，解得：x＝4或40，40不合题意，舍去，所以x＝4，答：道路的宽应为4米．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．题型3：数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.

(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.

几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.

如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.例9.已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．【答案与解析】设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，整理得x2-12x+32＝0解得x1＝4，x2＝8，当x＝4时12-x＝8；当x＝8时12-x＝4．所以这两个数是4和8．【总结升华】数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x，那么另一个数便可以用x表示出来，然后根据题目条件建立方程求解．例10.一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个两位数.解答方法：通过数位的分析，列出方程进行求解。本题难点是设。设这个一位数为。或答案：4或7题型4：利润（利息）问题利息问题

(1)概念：

本金：顾客存入银行的钱叫本金.

利息：银行付给顾客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期数：存入银行的时间叫期数.

利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期数

利息税=利息×税率

本金×(1+利率×期数)=本息和

本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)

利润(销售)问题

利润(销售)问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价(成本)

总利润=每件的利润×总件数

例11.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？【答案与解析】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顾客得实惠，故取x=4，级定价为56元，答：应将销售单价定位56元．【总结升华】列一元二次方程解应用题往往求出两解，有的解不合实际意义或不合题意．应舍去，必须进行检验．例12.商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：①当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？②在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？解答方法：（1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利；（2）设商场的日盈利达到1600元时，每件商品的售价为元，根据日盈利可求出方程求解。答案：（1）当每件商品售价为170元时，比每件商品售价130元高出40元，即（元），则每天可销售商品30件，商场的日盈利为（元）；（2）设商场的日盈利达到1600元时，每件商品的售价为元，答：当销售价定为160元时，商场的日盈利可达到1600元。例13.（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？【分析】（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入（2x﹣100）中即可求出4月份再生纸的产量；（2）利用月利润＝每吨的利润×月产量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，根据6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%，即可得出关于y的一元二次方程，化简后即可得出6月份每吨再生纸的利润．【解答】解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，依题意得：x+2x﹣100＝800，解得：x＝300，∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500．答：4月份再生纸的产量为500吨．（2）依题意得：1000（1+%）×500（1+m%）＝660000，整理得：m2+300m﹣6400＝0，解得：m1＝20，m2＝﹣320（不合题意，舍去）．答：m的值为20．（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，依题意得：1200（1+y）2•a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y）•a，∴1200（1+y）2＝1500．答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程（或一元二次方程）是解题的关键．题型5：比赛统计问题比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环

．例14．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8 B．10 C．7 D．9【分析】设共有x支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，求解即可．【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支队伍参加比赛．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．例15.首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？解答方法：设人数为人，理解握手的单向性，列出方程求解答案：设人数为人或（舍，不符合题意）答：棋手共有15人。题型6：传播问题传播问题：，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．例16．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为，由此可解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人，则第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为，因此．故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键．例17．（2023·全国·九年级专题练习）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．【答案】15人【分析】有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，设每轮传染中平均每人传染了x人，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意，得，即，解方程，得，（舍去）．答：每轮传染中平均每人传染了15人，【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·湖南湘西·统考三模）在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为，设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用2023年上学期平均每天作业时长年上学期每天作业平均时长该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得：，故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2023·新疆喀什·统考三模）为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设绿地长为x米，则宽为米，根据矩形绿地的面积为1000平方米列出方程即可．【详解】解：设绿地长为x米，则宽为米，根据题意得：，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握矩形的面积公式．3．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）NK中学秋季运动会上安排了8行12列的鲜花仪仗队，后来又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，设增加了x行，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据游行队伍的总人数=行数×列数，即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：依题意，得．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2022秋·天津武清·九年级校考阶段练习）一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．64【答案】C【分析】设十位数字为，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可．【详解】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为．依题意得：，解得:.∴这个两位数为25或36．故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．5．（2023·山东淄博·统考二模）如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，求出矩形的长和宽，根据面积为即可列出方程．【详解】解：由题意知，6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，长为，宽为，6个矩形小块的面积和为，．故选A．【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是用含x的代数式表示出6个矩形小块合成的大矩形的长和宽．6．（2023·宁夏银川·校考一模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人，可到方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，整理得，．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．7．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（）A．80个 B．120个 C．15个 D．16个【答案】D【分析】根据参赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛240场，可列出方程．【详解】解：设参加比赛的队共有x，根据题意可得：，解得：，（舍去），故选：D．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．8．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为161，列出方程即可．【详解】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为，则最大数为，根据题意得出：，故选：B．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．二、填空题9．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考期中）若某两位数的十位数字是方程的根，则它的十位数字是_____．【答案】7【分析】解方程，求出方程的解，根据两位数的十位不为0从而求出答案．【详解】依题意解方程：，又因为是两位数，所以十位数字是7，故答案为：7．【点睛】此题考查了用因式分解解一元二次方程，关键是正确求解方程，并结合题意两位数的十位确定出取值．10．（2023秋·广东肇庆·九年级统考期末）在元旦庆祝活动中，每个参加活动的同学都给其余参加活动的同学各送1张贺卡，共送贺卡42张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程是______【答案】【分析】设参加活动的同学有人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为张，再根据“共送贺卡张”建立方程，然后解方程即可得．【详解】设参加活动的同学有人，由题意得：．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．11．（2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价________元．【答案】10【分析】设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解．【详解】解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，根据题意得：，解得：，．要尽快减少库存，．故每件应降价10元．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．三、解答题12．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模）某城市2020年底已有绿化面积500公顷，经过努力，绿化面积以相同的增长率逐年增加，到2022年底增加到605公顷，求该城市绿化面积的增长率．【答案】该城市绿化面积的增长率．【分析】先根据题意列出一元二次方程，即可求出增长率．【详解】解：设绿化面积的年平均增长率是x，由题意得：，解得：（不合题意，舍去），答：该城市绿化面积的增长率．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找出相等关系是解题的关键．13．（2023·山东德州·校考一模）某服装销售商用元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的倍，每件的进价多了元．(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件元销售，每天平均能卖出件，销售价每降低元，则多卖出件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为元，销售价应为多少？【答案】(1)第一次购进了这种服装件，每件进价元(2)销售价定为元/件【分析】（1）设每件进价元，根据题意，列出方程，解出方程，即可；（2）设销售价为元/件，根据题意，列出方程，解出方程，即可．【详解】（1）设每件进价元∴，解得：，经检验，是方程的解，∵，∴第一次购金了这种服装件，答：第一次购进了这种服装件，每件进价元．（2）设销售价为元/件，∴每天销售量为，∴，整理得：，解得：，（舍），∴．∴销售价定为元/件．【点睛】本题考查一元二次方程和分式方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程和分式方程的应用．14．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为30m，20m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽．

【答案】长为，宽为【分析】设绿地的长、宽增加的长度为，然后根据扩充后的矩形绿地面积为，列出方程求解即可．【详解】解：设绿地的长、宽增加的长度为由题意得，解得，（不符合题意，舍去）∴，故新的矩形绿地的长为，宽为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．15．（2023·广东广州·统考二模）我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加到12.1万人．(1)求这两个月游客人数的月平均增长率；(2)若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？【答案】(1)这两个月游客人数的月平均增长率为10%(2)按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人【分析】根据增长率的定义处理（1）设平均增长率为x，依题意，得，解方程；（2）基期数据为12.1，增长期间为1个月，依公式计算求解．【详解】（1）解：设这两个月游客人数的月平均增长率为x，依题意，得：，解得（舍去），．答：这两个月游客人数的月平均增长率为10%．（2）（万人）．答：按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人【点睛】本题考查一元二次方程的应用；熟练增长率的定义及计算公式是解题的关键．16．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）为了响应“践行核心价值观，青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，假定从一开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者．”(1)求出m的值；(2)经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．①分别求出他们三人号召的成功率；②求出n的值．【答案】(1)10(2)①小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为；②4【分析】（1）根据“每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”列出方程，即可求解；（2）①根据题意得：小颖号召了n人，小丽号召了人，小红号召了人，从而得到小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，再根据“小红的成功率比小颖的两倍少”列出方程，即可求解；②由①，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：，即，解得：（舍去）答：m的值为10；（2）解：①根据题意，得：小颖号召了n人，小丽号召了人，小红号召了人，∴小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，∵小红的成功率比小颖的两倍少，∴，解得：，∴所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，答：小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为；②由①得：n的值为4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．17．（2022秋·广东阳江·九年级统考期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）影片《万里归途》的部分统计数据发布日期10月8日10月11日10月12日发布次数第1次第2次第3次票房10亿元12.1亿元(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票【答案】(1)10%(2)2500000张【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用数量=总结单价，即可求出结论；【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是，依题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．（2）解：（张）．答：10月11日卖出2500000张电影票．（或（张）．）【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．（2022秋·四川成都·九年级统考期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．(1)求、两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人(2)从B检测队中抽调了2人到A检测队【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人，依题意得：，分解得：答：A检测队有6人，B检测队有7人；（2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人，依题意得：，解得：，解得：，，由于从B对抽调部分人到A检测队，则故，答：从B检测队中抽调了2人到A检测队．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．19．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动．问：(1)P、Q两点从出发开始几秒时，四边形的面积为？(2)几秒时点P点Q间的距离是10厘米？(3)P，Q两点间距离何时最小？【答案】(1)5秒(2)秒或秒(3)秒【分析】（1）表示出和，利用梯形的面积公式结合四边形的面积为，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）过作于，如果设出发秒后，厘米．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出、的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值．（3）在直角三角形中，为0时，就最小，那么可根据这个条件和（1）中用勾股定理得出的的式子，令，得出此时时间的值．【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，，，依题意，得：，解得：．答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为．（2）设出发秒后、两