专题03全等三角形的证明与计算(原卷版+解析)

全等三角形的证明与计算逻辑推理是数学核心素养之一。各地期末考试必考几何推理计算。华师版数学八年级上册期末考试，通常用“全等三角形的证明与计算”，作为解答题的第二题。该题由于是第二个解答题，难度不大。关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质。1．如图，相交于点，，．求证：．2．如图，点E在上，于点A，于点B，，．(1)说明的理由；(2)求的度数．3．如图，△ABC中，，两条高和交于．求证：．4．如图，E为上一点，，，．求证：．5．如图，点，，，在直线上（点，之间不能直接测量），点，在的异侧，，，测得．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若，，求的长．6．如图、已知在同一条直线上，，，，相交于点．求证：(1)；(2)若，，求的度数．7．如图所示，，，．求证：．8．如图，，，，求证：．9．如图，已知点，，，在一条直线上，，，且．(1)求证：△ABC≌；(2)若，，求的长10．如图，为了测量凹槽的宽度，把一块等腰直角三角板放置在凹槽内，三个顶点分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长．11．如图，P为等边的边延长线上一点，，．(1)说明的理由；(2)判别是什么特殊三角形？并说明理由．12．如图，，相交于点O，且，．(1)求证：；(2)若在直线上截取，求证：．13．如图，为上任意一点，且，．(1)求证：△BPC≌；(2)求证：．14．已知：如图，△ABC中，平分交于点，且平分，联结并延长交边于点，说明的理由．15．将两个大小不一的等腰直角三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B、C、E三点在同一直线上，连接DC．(1)请找出图②中的全等三角形，并说明理由．(2)试问：DC与BE的位置关系如何？并说明理由．16．如图，在等边三角形中，点为边上任意一点，延长至点，使，连接交于点，于点，交于点．(1)求证：△AMD是等边三角形；(2)求证：；(3)若AB=a，求线段的长（结果用含a的代数式表示）．17．如图，在等腰直角三角形中，，是斜边上任一点，于，交的延长线于，于，交于．求证：(1)；(2)．18．如图，在△ABC中，已知，，是的平分线，，垂足是E，和的延长线交于点F．(1)在图中找出与全等的三角形，并证明你的结论；(2)证明：．19．如图，在△ABC中，是的中点，于，于点，且，求证：平分．20．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点M，与相交于点N．求证：是等边三角形．21．如图，在△ABC中，是中线，于点E，于点E，于点F，交AD的延长线于点F，求证：．22．如图，，，，，与交于点F．(1)求证：△ACE≌△BCD．(2)求的度数．23．如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为(1)求证：;(2)写出线段的长（用含t的式子表示），(3)连接，当线段经过点C时，求t的值24．如图，在△ABC中，，，直线l经过点A，交BC于点D，于点E，于点F．(1)求证；(2)求的度数．25．如图所示，在△ABC中，于D，于E，与交于点F，且，(1)求证；(2)若，，求的长．26．在等腰△ABC中，，为中线，，．(1)求证：；(2)直接写出4对相等的线段．（不包括）27．如图，点C为线段上一点，和是等边三角形．(1)求证：．(2)求证：为等边三角形．(3)求的度数．28．如图，，，，，垂足分别为点D，E．求证：(1)△ACD≌△CBE；(2)．29．如图所示，，，，，求证：(1)；(2)．30．如图，点A、B、C、D在同一直线上，，作于点C，于点B，且，连接，．(1)求证：且；(2)若将沿方向平移得到图2，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？说明理由．全等三角形的证明与计算逻辑推理是数学核心素养之一。各地期末考试必考几何推理计算。华师版数学八年级上册期末考试，通常用“全等三角形的证明与计算”，作为解答题的第二题。该题由于是第二个解答题，难度不大。关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质。1．如图，相交于点，，．求证：．【答案】见解析【详解】证明：在与△BOC中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在与△BAC中，，∴．2．如图，点E在上，于点A，于点B，，．(1)说明的理由；(2)求的度数．【答案】(1)见详解；(2)【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴DE=CE；（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵DE=CE，∴△DEC是等腰直角三角形，∴．3．如图，△ABC中，，两条高和交于．求证：．【答案】见解析；【详解】证明：由题意可得：∴∴又∵∴在和中∴∴4．如图，E为上一点，，，．求证：．【答案】见解析【详解】证明：∵，∴，∵，，，∴，在△ABC与，，∴(AAS)，∴．5．如图，点，，，在直线上（点，之间不能直接测量），点，在的异侧，，，测得．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【详解】（1）证明：，，在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF(ASA)；（2）解：∵△ABC≌△DEF，，，，．6．如图、已知在同一条直线上，，，，相交于点．求证：(1)；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析；(2)【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，即，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF(SAS)；（2）∵，∴，，∴．7．如图所示，，，．求证：．【答案】见解析【详解】解：，，即，在和中，，，．（全等三角形的对应角相等）8．如图，，，，求证：．【答案】见解析【详解】解：∵,∴即又∵∴，在和中，∴,∴．9．如图，已知点，，，在一条直线上，，，且．(1)求证：△ABC≌；(2)若，，求的长【答案】(1)证明见解析；(2)9【详解】（1）证明：∵∴∵∴在和中∴（2）由题意可得：10．如图，为了测量凹槽的宽度，把一块等腰直角三角板放置在凹槽内，三个顶点分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长．【答案】该凹槽的宽度的长为【详解】解：是等腰直角三角形，，，，，，，在和中，，，，，．故该凹槽的宽度的长为．11．如图，P为等边的边延长线上一点，，．(1)说明的理由；(2)判别是什么特殊三角形？并说明理由．【答案】(1)见详解；(2)是等边三角形，理由见详解【详解】（1）∵是等边三角形，∴，，∵，∴，∵，，∴；（2）是等边三角形，理由如下：∵，∴，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴是等边三角形．12．如图，，相交于点O，且，．(1)求证：；(2)若在直线上截取，求证：．【答案】(1)见解析；(2)见解析【详解】（1）∵，∴．∵，，∴．∴；（2）∵，，∴，即．∵，且在（1）中，有，∴，∴．∴．13．如图，为上任意一点，且，．(1)求证：△BPC≌；(2)求证：．【答案】(1)见解析；(2)见解析【详解】（1）证明：在和中，∴()（2）∵∴

在和中，∴()

14．已知：如图，△ABC中，平分交于点，且平分，联结并延长交边于点，说明的理由．【答案】见解析【详解】解：∵，∴，

∵平分，∴，∴，∴，∵平分，∴，在和中，∴∴，∵，∴15．将两个大小不一的等腰直角三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B、C、E三点在同一直线上，连接DC．(1)请找出图②中的全等三角形，并说明理由．(2)试问：DC与BE的位置关系如何？并说明理由．【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析【详解】（1）解：图2中．理由如下：∵与均为等腰直角三角形，∴，，，∴，即，∴在和中，，；（2）．理由如下：由（1）知，∴，又∵，∴，∴．16．如图，在等边三角形中，点为边上任意一点，延长至点，使，连接交于点，于点，交于点．(1)求证：△AMD是等边三角形；(2)求证：；(3)若AB=a，求线段的长（结果用含a的代数式表示）．【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)【详解】（1）在等边△ABC中，，∵，∴，∴是等边三角形，（2）∴是等边三角形，∴，∵，∴，∵∴在和中，，∴，∴；（3）∵是等边三角形，且，∴，∵，∴，∴，∵，∴．17．如图，在等腰直角三角形中，，是斜边上任一点，于，交的延长线于，于，交于．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析;(2)见解析【详解】（1）∵等腰直角三角形∴，∵，∴∵，∴，在和中，∴；（2）是等腰直角三角形，，，．，，．，，．在和中，，．．18．如图，在△ABC中，已知，，是的平分线，，垂足是E，和的延长线交于点F．(1)在图中找出与全等的三角形，并证明你的结论；(2)证明：．【答案】(1)，见解析;(2)见解析【详解】（1）解：，证明如下：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴．（2）∵是的平分线，∴，∵，∴，∴，∴为等腰三角形，∴，∵，∴，∴．19．如图，在△ABC中，是的中点，于，于点，且，求证：平分．【答案】见解析【详解】证明：，，，是的中点，，在和中，，，，于，于点，平分．20．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点M，与相交于点N．求证：是等边三角形．【答案】见解析【详解】证明：∵和都是等边三角形，∴，，，∴，∴，在和中，∴；∴，∵，，在和中，，∴，∴，∵，∴是等边三角形．21．如图，在△ABC中，是中线，于点E，于点E，于点F，交AD的延长线于点F，求证：．【答案】见解析【详解】解：，，，是中线，，在和中，，，．22．如图，，，，，与交于点F．(1)求证：△ACE≌△BCD．(2)求的度数．【答案】(1)见解析;(2)【详解】（1）∵，，∴，∴，即，在和中，\∴；（2）∵，∴，设与交于点O，∴，∵∴∴．23．如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为(1)求证：;(2)写出线段的长（用含t的式子表示），(3)连接，当线段经过点C时，求t的值【答案】(1)见解析;(2);(3)【详解】（1）证明：在和中，，∴，∴，∴．（2）∵点P从点A出发，沿方向以的速度运动，∴．（3）当线段经过点C时，如图：在和中，，∴，∴，∵点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，∴，∴，∴，解得：．24．如图，在△ABC中，，，直线l经过点A，交BC于点D，于点E，于点F．(1)求证；(2)求的度数．【答案】(1)见解析;(2)45°【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴（AAS），∴，，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴．25．如图所示，在△ABC中，于D，于E，与交于点F，且，(1)求证；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析;(2)11【详解】（1）解：，，，，，在和中，，；（2）解：，，，，，，．26．在等腰△ABC中，，为中线，，．(1)求证：；(2)直接写出4对相等的线段．（不包括）【答案】(1)见解析；(2)，，，．【详解】（1）证明：∵，为中线，∴平分，∵，，∴；（2）解：由（1）可得，∵是中线，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴．∴4对相等的线段分别为：，，，．27．如图，点C为线段上一点，和是等边三角形．(1)求证：．(2)求证：为等边三角形．(3)求的度数．【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）证明：，∴，∵，∴，∴，∵，∴为等边三角形；（3）解：∵，∴，∵，∴．28．如图，，，，，垂足分别为点D，E．求证：(1)△ACD≌△CBE；(2)．【答案】(1)见解析;(2)见解析【详解】（1）解：∵，，，，∴，∵，，在△ACD和△CBE中，∴△ACD≌△CBE；（2