专题06解答基础题：几何作图(原卷版+解析)

专题06几何作图题一、解答题（22题）1．（2023·重庆·统考中考真题）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）

已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．求证：．证明：∵四边形是平行四边形，∴．∴①．∵垂直平分，∴②．又___________③．∴．∴．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线．2．（2022·重庆·统考中考真题）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为．想法是：以为边作矩形，点A在边上，再过点A作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点D．（只保留作图痕迹）在和中，∵，∴．∵，∴______①____．∵，∴______②_____．又∵____③______．∴（）．同理可得：_____④______．．3．（2022·重庆·统考中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）．在和中，∵，∴．又，∴__________________①∵，∴__________________②又__________________③∴．同理可得__________________④∴．4．（2021·重庆·统考中考真题）如图，在中，AB>AD．（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论．5．（2021·重庆·统考中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且．请用尺规完成基本作图：作出的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）6．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考一模）如图所示，在正方形中，点M是对角线上的一个点．连接，过点M作交于点N，过点M作于点G，试说明，的数量关系．解答思路是：过点M作垂线交于点F，构造与全等使得问题得到解决，请根据解答思路完成下面的作图与填空：(1)尺规作图：过点M作垂线交于点F（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法，结论）(2)解：猜想：∵四边形是正方形∴，∵，∴______①______，∵∴______②______∴∴四边形是正方形∴______③______∴∵∴∴______④______在与中，∴∴______⑥______7．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，四边形是菱形，连接，，点在线段上，连接，的延长线交于点．(1)用尺规完成以下基本作图：在内部作，使得，交边于点，交于点，交的延长线于点．保留作图痕迹(2)在(1)所作的图中，求证：．完成下列填空．证明：四边形是菱形；∴，，；；与均为等边三角形；，；；在与中，；．8．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考一模）在平行四边形中，为边上的一点，连接，．(1)用尺规完成以下基本作图：过点作垂直于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的图形中，连接，若，证明：四边形为菱形．证明：∵四边形是平行四边形，∴①∵∴即②∵即且∴四边形为③又∵④∴四边形AFCE为菱形．9．（2023·重庆南岸·统考一模）在学习三角形的过程中，小明遇到这样一个问题：如图，在中，，把分成两个等腰三角形，并说明理由．聪明的小明经过思考后很快就有了思路：作线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，得到两条相等线段，从而构造出等腰三角形，使问题得到了解决．请根据小明的思路完成下面的作图并填空：解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点，，连接．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）∵垂直平分线段，∴①．即是等腰三角形，∴．∵，∴②．∵，∴，∴③．即是等腰三角形．故和是等腰三角形．10．（2023·重庆沙坪坝·统考一模）小明在学习的过程中，遇到了一个问题：在四边形中，，点是上一点，且平分，平分．求证：．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）．，．又，_____①_____．平分，_____②_____．又_____③_____．_____④_____．．同理可得_____⑤_____．．11．（2023·重庆开州·校联考一模）如图，直线，线段分别与直线、交于点C、点B，满足．(1)使用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，交线段于点O，连接、、、．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）(2)求证：四边形为菱形．（请补全下面的证明过程）证明：∵，∴________①________，∵垂直平分，∴，，∴________②________，∴________③________，∵，∴，∴，∴四边形是_________④_________，∵，∴四边形是菱形．12．（2023·重庆合川·校考一模）如图，在中，点为边上的中点，连接．(1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）所作的图中，连接，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）证明：∵点为边上的中点，∴，在和中，∴______，∴______，∵，∴______．∴四边形是平行四边形．又∵______，∴平行四边形是菱形．13．（2023·重庆九龙坡·统考一模）如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点E．(1)请用尺规作的角平分线，交于点F（只保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据图形证明四边形为平行四边形，请完成下面的填空．证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴①（两直线平行，内错角相等），又∵平分，平分，∴②，③，∴④，∴∥⑤，又∵四边形是平行四边形，∴，∴四边形为平行四边形（⑥）（填推理的依据）．14．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）在学习角平分线的过程中，小琦遇到了这样一个问题：在梯形中，，若平分，且点E是边的中点，则.他的思路是：过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，进行转边，从而解决问题.请根据小琦的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作于点F（保留作图痕迹）平分，∴____①____又∴____②____(，∵点E是的中点，，在与中，___③_____

15．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，已知E是平行四边形对角线上的点，连接，过点B在平行四边形内部作射线交于点F，且使，连接、，证明四边形是平行四边形．解答思路：利用平行四边形的性质得到线段和角相等，再通过与全等得边角关系，然后利用一组对边平行且相等使问题得到解决，请根据解答思路完成下面的作图与填空：

(1)尺规作图：过点B在平行四边形内部作射线交于点F，且使，连接、（保留作图痕迹，不写作法与证明）(2)证明：∵在四边形是平行四边形，∴①，；∴②在与中，∴，∴③，，∴______④___________∴四边形是平行四边形．16．（2023·重庆·重庆实验外国语学校校考二模）如图，是矩形的对角线，平分，交于点E，．

(1)尺规作图：作的角平分线，交于点F（只保留作国痕迹，不写作法）；(2)根据图形证明四边形为平行四边形，请完成下面的填空．证明：∵四边形是矩形∴∴又∵平分，平分∴，∴∴又∵四边形是矩形∴∴四边形为平行四边形17．（2023·重庆江津·重庆市江津中学校校考二模）如图，已知点在的边上，且．

(1)用直尺和圆规作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，判断与的位置关系，并把证明过程补充完整．判断：①，理由如下：∵（已知）∴②（

③

）又∵平分（已知）∴（

④

）又∵∴（等量代换）∴⑤（

⑥

）18．（2023·重庆渝中·统考二模）如图，已知点D．为的边上一点，请在边上确定一点E，（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）；

下面是小东设计的尺规作图过程．作法：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点G、F；②以点D为圆心，长为半径画弧，交于点M；③以点M为圆心，长为半径画弧，交弧于点P；④作射线交于点E，则；⑤连接，则·根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：分别过点D和点E作，垂足分别为K、H，∵，∴；∵，∴°；∴，∴四边形是矩形，∴；∵，；∴·19．（2023·重庆九龙坡·校考二模）如图，是矩形的对角线，平分，交于点E，．

(1)尺规作图：作的角平分线，交于点F（只保留作国痕迹，不写作法）；(2)根据图形证明四边形为平行四边形，请完成下面的填空．证明：∵四边形是矩形∴∴______①_____又∵平分，平分∴，_____②______∴_____③______∴又∵四边形是矩形∴______④_____∴四边形为平行四边形20．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）如图，在菱形中，对角线、相交于点O．

(1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：四边形为矩形．证明：∵∴①∵四边形是菱形∴，，∴∵∴②又∵∴四边形为平行四边形∴③∴∴④∴∴四边形为矩形．21．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，珈跏的思路是：过点A作的垂线，垂足为G，交线段于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接（只保留作图痕迹）

∵四边形是平行四边形，∴①______∴，∵平分，∴，∴②______∴，∵，∴，又∵，∴，∴③______，∵，，∴垂直平分，∴④______，，∴四边形是菱形．22．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考三模）在学习正方形的过程中，小明遇到了一个问题：在正方形中，E是边上的一点，过点D作的垂线，分别交，于点G和点F．求证：．他的思路是：首先利用正方形的性质得到正方形各边相等，再利用垂直，得到角相等，将其转化为证明三角形全等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，分别与、交于点G、F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）

证明：∵四边形是正方形，∴，．∵，∴．∵，∴①∴②．又∵，∴③在和中，∴．∴．

专题06几何作图题一、解答题（22题）1．（2023·重庆·统考中考真题）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）

已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．求证：．证明：∵四边形是平行四边形，∴．∴①．∵垂直平分，∴②．又___________③．∴．∴．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线．【答案】作图：见解析；；；；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求；

证明：∵四边形是平行四边形，∴．∴．∵垂直平分，∴．又．∴．∴．故答案为：；；；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．2．（2022·重庆·统考中考真题）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为．想法是：以为边作矩形，点A在边上，再过点A作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点D．（只保留作图痕迹）在和中，∵，∴．∵，∴______①____．∵，∴______②_____．又∵____③______．∴（）．同理可得：_____④______．．【答案】图见解析，∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE【分析】根据垂线的作图方法作图即可，利用垂直的定义得到∠ADC=∠F，根据平行线的性质得到∠1=∠2，即可证明△ADC≌△CAF，同理可得△ABD≌△BAE，由此得到结论．【详解】解：如图，AD即为所求，在和中，∵，∴．∵，∴∠ADC=∠F．∵，∴∠1=∠2．又∵AC=AC．∴（）．同理可得：△ABD≌△BAE．．故答案为：∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，垂线的作图方法，矩形的性质，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键．3．（2022·重庆·统考中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）．在和中，∵，∴．又，∴__________________①∵，∴__________________②又__________________③∴．同理可得__________________④∴．【答案】、、、【分析】过点作的垂线，垂足为，分别利用AAS证得，，利用全等三角形的面积相等即可求解．【详解】证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）．如图所示，在和中，∵，∴．又，∴①∵，∴②又③∴．同理可得④∴．故答案为：、、、【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的面积相等是解题的关键．4．（2021·重庆·统考中考真题）如图，在中，AB>AD．（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的答案；（2）先证明∠ADE=∠CDE，再利用平行线的性质“同旁内角互补”，得出∠CPD=90即可得出答案．【详解】解：（1）解：如图所示：E，F即为所求；（2）△CDP是直角三角形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴∠CDE=∠AED，∠ADC+∠BCD=180°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED．∴∠CED=∠ADE=∠ADC．∵CP平分∠BCD，∴∠DCP=∠BCD，∴∠CDE+∠DCP=90°．∴∠CPD=90°．∴△CDP是直角三角形．【点睛】本题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．（2021·重庆·统考中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且．请用尺规完成基本作图：作出的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）【答案】作图见解析，猜想：DF=3BF，证明见解析．【分析】根据角平分线的作法作出的角平分线即可；由平行四边形的性质可得出.,由AC=2AB得出AO=AB，由等腰三角形的性质得出，从而可得出结论．【详解】解：如图，AE即为的角平分线，猜想：DF=3BF证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO，BO=DO∴∵AC=2AB∴AO=AB∵AE是的角平分线∴∴∴．【点睛】此题主要考查了基本作图，等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键．6．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考一模）如图所示，在正方形中，点M是对角线上的一个点．连接，过点M作交于点N，过点M作于点G，试说明，的数量关系．解答思路是：过点M作垂线交于点F，构造与全等使得问题得到解决，请根据解答思路完成下面的作图与填空：(1)尺规作图：过点M作垂线交于点F（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法，结论）(2)解：猜想：∵四边形是正方形∴，∵，∴______①______，∵∴______②______∴∴四边形是正方形∴______③______∴∵∴∴______④______在与中，∴∴______⑥______【答案】(1)见解析(2)①；②；③；④；⑤；⑥【详解】（1）解：如下图所示，（2）∵四边形是正方形∴，∵，∴，∵∴∴∴四边形是正方形∴∴∵∴∴在与中，∴∴．【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的相关知识．7．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，四边形是菱形，连接，，点在线段上，连接，的延长线交于点．(1)用尺规完成以下基本作图：在内部作，使得，交边于点，交于点，交的延长线于点．保留作图痕迹(2)在(1)所作的图中，求证：．完成下列填空．证明：四边形是菱形；∴，，；；与均为等边三角形；，；；在与中，；．【答案】(1)见解析(2)；；；【分析】（1）根据题意作，交边于点，交于点，交的延长线于点；（2）根据菱形的性质，结合条件得出与均为等边三角形；进而证明；根据全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：如图所示，（2）证明：四边形是菱形；∴，，；；与均为等边三角形；，；；在与中，；．故答案为：；；；．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．8．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考一模）在平行四边形中，为边上的一点，连接，．(1)用尺规完成以下基本作图：过点作垂直于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的图形中，连接，若，证明：四边形为菱形．证明：∵四边形是平行四边形，∴①∵∴即②∵即且∴四边形为③又∵④∴四边形AFCE为菱形．【答案】(1)见解析(2)①；②；③；平行四边形；④【分析】（1）根据作线段垂直平分线的作法即可；（2）先证明四边形为平行四边形，根据（1）可得对角线互相垂直，进而即可得出结论．【详解】（1）解：如图所示，过点作垂直于点，交于点；（2）证明：∵四边形是平行四边形∴∵∴即∵即且∴四边形为平行四边形又∵∴四边形为菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，作线段垂直平分线，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．9．（2023·重庆南岸·统考一模）在学习三角形的过程中，小明遇到这样一个问题：如图，在中，，把分成两个等腰三角形，并说明理由．聪明的小明经过思考后很快就有了思路：作线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，得到两条相等线段，从而构造出等腰三角形，使问题得到了解决．请根据小明的思路完成下面的作图并填空：解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点，，连接．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）∵垂直平分线段，∴①．即是等腰三角形，∴．∵，∴②．∵，∴，∴③．即是等腰三角形．故和是等腰三角形．【答案】作图见解析，，，．【分析】用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点，，连接即可，根据线段垂直平分线的性质以、三角形的外角性质以及等角对等边即可判定和是等腰三角形．【详解】解：作图如下，和是所求作的三角形，∵垂直平分线段，∴．即是等腰三角形，∴．∵，∴．∵，∴，∴．即是等腰三角形．故和是等腰三角形．故答案为：，，．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．10．（2023·重庆沙坪坝·统考一模）小明在学习的过程中，遇到了一个问题：在四边形中，，点是上一点，且平分，平分．求证：．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）．，．又，_____①_____．平分，_____②_____．又_____③_____．_____④_____．．同理可得_____⑤_____．．【答案】①；②；③；④；⑤【分析】以点E为圆心，大于点E到的距离为半径画弧，于相交于两点，再分别以两个交点为圆心，大于两个交点距离为半径画弧，两弧相交于一点，连接点E和两弧的交点，交于点F，则；根据得出，再根据平分，得出，即可证明，最后根据全等三角形对应边相等，即可求证．【详解】解：作图如答图；

，．又，．平分，．又．．．同理可得．．故答案为：；；；；．【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等．11．（2023·重庆开州·校联考一模）如图，直线，线段分别与直线、交于点C、点B，满足．(1)使用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，交线段于点O，连接、、、．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）(2)求证：四边形为菱形．（请补全下面的证明过程）证明：∵，∴________①________，∵垂直平分，∴，，∴________②________，∴________③________，∵，∴，∴，∴四边形是_________④_________，∵，∴四边形是菱形．【答案】(1)见解析(2)；；；平行四边形【分析】（1）利用基本作图作，以，分别为圆心，适当长为半径画弧，相交于两点，连接两点所在直线，交于点E，交于点F，交线段于点O，连接、、、；（2）根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．【详解】（1）解：以，分别为圆心，适当长为半径画弧，相交于两点，连接两点所在直线，交于点E，交于点F，交线段于点O，连接、、、．如图所示，即为所求：（2）证明：∵，∴，∵垂直平分，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵∴四边形是菱形．故答案为：；；；平行四边形．【点睛】本题考查作图-基本作图，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2023·重庆合川·校考一模）如图，在中，点为边上的中点，连接．(1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）所作的图中，连接，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）证明：∵点为边上的中点，∴，在和中，∴______，∴______，∵，∴______．∴四边形是平行四边形．又∵______，∴平行四边形是菱形．【答案】(1)见解析(2)，，，【分析】（1）根据题意即可完成作图；（2）结合（1）根据菱形的判定即可完成证明．【详解】（1）解：如图，射线即为所求；（2）证明：∵点为边上的中点，∴，在和中，∴，∴∵，∴∴四边形是平行四边形．又∵，∴平行四边形是菱形．故答案为：，，，．【点睛】本题考查了作图—复杂作图．全等三角形的判定与性质．平行四边形的判定与性质．菱形的判定．解题关键是掌握基本作图方法．13．（2023·重庆九龙坡·统考一模）如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点E．(1)请用尺规作的角平分线，交于点F（只保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据图形证明四边形为平行四边形，请完成下面的填空．证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴①（两直线平行，内错角相等），又∵平分，平分，∴②，③，∴④，∴∥⑤，又∵四边形是平行四边形，∴，∴四边形为平行四边形（⑥）（填推理的依据）．【答案】(1)见解析(2)①②③④⑤⑥两组对边分别平行的四边形是平行四边形【分析】（1）利用基本作图，作的平分线即可；（2）先根据平行四边形的性质得到，，则根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，，所以，于是可判断，然后利用可判断四边形为平行四边形．【详解】（1）解：如图：为所作，（2）解：证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴（两直线平行，内错角相等），又∵平分，平分，∴，，∴，∴，又∵四边形是平行四边形，∴，∴四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故答案为：①②③④⑤⑥两组对边分别平行的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了平行四边形的判定与性质．14．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）在学习角平分线的过程中，小琦遇到了这样一个问题：在梯形中，，若平分，且点E是边的中点，则.他的思路是：过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，进行转边，从而解决问题.请根据小琦的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作于点F（保留作图痕迹）平分，∴____①____又∴____②____(，∵点E是的中点，，在与中，___③_____

【答案】作图见解析，①②③【分析】根据要求作出图形，证明．推出，再证明，可得结论．【详解】图形如图所示：

平分，∴，，，，，又，∴(，，，∵点E是的中点，，，在与中，，，，，．故答案为：①②③【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，所以是中考常考题型．15．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，已知E是平行四边形对角线上的点，连接，过点B在平行四边形内部作射线交于点F，且使，连接、，证明四边形是平行四边形．解答思路：利用平行四边形的性质得到线段和角相等，再通过与全等得边角关系，然后利用一组对边平行且相等使问题得到解决，请根据解答思路完成下面的作图与填空：

(1)尺规作图：过点B在平行四边形内部作射线交于点F，且使，连接、（保留作图痕迹，不写作法与证明）(2)证明：∵在四边形是平行四边形，∴①，；∴②在与中，∴，∴③，，∴______④___________∴四边形是平行四边形．【答案】(1)见详解(2)①；②；③；④【分析】（1）作，其中交于F即可；（2）由于，根据全等三角形的性质得到，,根据等角的补角相等可得，则，根据平行四边形的判定即可得到结论．【详解】（1）解：如图作,其中交于F

（2）证明：∵在四边形是平行四边形，∴，；∴在与中，∴，∴，，∴∴四边形是平行四边形故答案为：①；②；③；④【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．16．（2023·重庆·重庆实验外国语学校校考二模）如图，是矩形的对角线，平分，交于点E，．

(1)尺规作图：作的角平分线，交于点F（只保留作国痕迹，不写作法）；(2)根据图形证明四边形为平行四边形，请完成下面的填空．证明：∵四边形是矩形∴∴又∵平分，平分∴，∴∴又∵四边形是矩形∴∴四边形为平行四边形【答案】(1)见解析(2)①，②，③，④【分析】（1）以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，连接并延长，交于点F，即为所求；（2）根据矩形的性质得出，根据角平平分线的定义得出，则，再根据，即可求证．【详解】（1）解：如图所示：即为所求；

（2）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，又∵平分，平分，∴，，∴，∴又∵四边形是矩形∴，∴四边形为平行四边形．故答案为：，，，．【点睛】本题主要考查了尺规作图——角平分线，矩形的性质，平行四边形的判定，解题的关键是掌握矩形对边互相平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．17．（2023·重庆江津·重庆市江津中学校校考二模）如图，已知点在的边上，且．

(1)用直尺和圆规作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，判断与的位置关系，并把证明过程补充完整．判断：①，理由如下：∵（已知）∴②（

③

）又∵平分（已知）∴（

④

）又∵∴（等量代换）∴⑤（

⑥

）【答案】(1)见解析(2)；；等边对等角；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行【分析】（1）先以点D为圆心，任意长为半径画弧，与、交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接D与该点，交与点E，即可得出的平分线；（2）根据等腰三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，证明，根据平行线的判定得出．【详解】（1）解：即为所求作的的平分线，如图所示：

（2）解：，理由如下：∵（已知），∴（等边对等角），又∵平分（已知），∴（角平分线的定义），又∵，∴（等量代换），∴（内错角相等，两直线平行）．故答案为：；；等边对等角；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了作一个角的平分线，平行线的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行．18．（2023·重庆渝中·统考二模）如图，已知点D．为的边上一点，请在边上确定一点E，（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）；

下面是小东设计的尺规作图过程．作法：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点G、F；②以点D为圆心，长为半径画弧，交于点M；③以点M为圆心，长为半径画弧，交弧于点P；④作射线交于点E，则；⑤连接，则·根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：分别过点D和点E作，垂足分别为K、H，∵，∴；∵，∴°；∴，∴四边形是矩形，∴；∵，；∴·【答案】(1)见解析(2)；；；；【分析】（1）根据题中步骤作图；（2）根据同底等高证明即可.【详解】（1）解：如图，

（2）证明：分别过点D和点E作，垂足分别为K、H，∵，∴；∵，∴；∴，∴四边形是矩形，∴；∵，；∴·故答案为：；；；；．【点睛】本题考查了复杂作图，掌握三角形的面积公式是解题的关键.19．（2023·重庆九龙坡·校考二模）如图，是矩形的对角线，平分，交于点E，．

(1)尺规作图：作的角平分线，交于点F（只保留作国痕迹，不写作法）；(2)根据图形证明四边形为平行四边形，请完成下面的填空．证明：∵四边形是矩形∴∴______①_____又∵平分，平分∴，_____②______∴_____③______∴又∵四边形是矩形∴______④_____∴四边形为平行四边形【答案】(1)见解析(2)①，②，③，④【分析】（1）以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，连接并延长，交于点F，即为所求；（2）根据矩形的性质得出，根据角平平分线的定义得出，则，再根据，即可求证．【详解】（1）解：如图所示：即为所求；

（2）证明：∵