重难点专项突破01二次函数综合之“线段周长”问题(原卷版+解析)

重难点专项突破01二次函数综合之“线段周长”问题【知识梳理】(1)线段的数量关系此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值；(2)线段最值问题

此类问题通常有两类：

①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；

②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值；(3)周长最值问题

此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2).【考点剖析】题型一：线段的数量关系1．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）抛物线经过点，与轴交于点，对称轴为，点是轴上一点，过点作垂直于轴的直线分别交抛物线和直线于点和点．(1)求二次函数的表达式；(2)若、、三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点的坐标；(3)分别过点、向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点、，矩形与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作，的最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为，当时，求点的坐标．题型二：线段最值问题2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴．(1)求抛物线的表达式；(2)求线段长度的最大值．3．（2023·内蒙古·内蒙古师范大学附属学校校考三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，B点坐标为．与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点．当是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．4．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点．①当取得最大值时，求的值和的最大值；②当是等腰三角形时，求点的坐标．题型三：周长最值问题6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求周长的最小值；(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．【过关检测】一、单选题1．（2020春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）P是抛物线y＝x2－4x＋5上一点，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别是M，N，则PM＋PN的最小值是(

)A．3 B． C． D．52．（2023·山东临沂·统考二模）如图，二次函数图象经过，且有最小值，若A点关于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在的斜边上有一动点D，过D作于E，于F，则EF的最小值为（）A． B． C． D．3．（2023·山东济宁·统考一模）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法：①：②抛物线的对称轴为；③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，；④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，的面积最大．其中，所有正确的说法是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③4．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则的最小值是（

）A．6 B． C． D．6．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（

）A．6 B． C． D．二、填空题7．（2023·江苏连云港·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为___________．

8．（2023秋·河北秦皇岛·九年级秦皇岛市第七中学校考期末）如图，已知二次函数图像的顶点坐标为，与轴交于点，直线与该二次函数的图像交于，两点，是线段上的一个动点，过作轴的垂线交二次函数的图像于点则线段的最大值为____________．9．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，抛物线交x轴于A、B两点．点P为x轴下方抛物线上任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线分别交抛物线的对称轴于点M、N．的值等于______________．10．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点、在线段上，且、两点关于轴对称，过点作轴的垂线交抛物线于点．连接，若，则线段的长为______．11．（2023秋·广西南宁·九年级南宁十四中校考开学考试）如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点，，分别是，，的中点，连接，，则的最小值为______．12．（2023春·福建泉州·九年级福建省永春第一中学校考期中）如图：二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D．（1）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最大时，则点P的坐标为___；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小时，则点P的坐标为____．13．（2023·四川·校联考模拟预测）已知二次函数交x轴于（点A在B的左侧）两点，平面上有任意点P，使得，则面积的最大值为_________．（用含有a的代数式表示）14．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：

①当时，；②当的面积为时，；③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）15．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：

①当时，；②当的面积为时，；③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）三、解答题16．（2023·浙江温州·温州市第二十三中学校考三模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B，与y轴交于点．轴交抛物线于点D．

(1)求b，c的值．(2)已知点E在抛物线上且位于x轴上方，过E作y轴的平行线分别交于点F，G，且，求点E的坐标．17．（2023·浙江·九年级假期作业）直线经过点，抛物线经过点，其中和为实数．设抛物线的顶点为，过作轴的平行线交直线于点．(1)求和的值；(2)当抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求线段的值；(3)求线段的最小值．18．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中点A的坐标为．

(1)写出C点的坐标______，B点的坐标______；(2)若二次函数经过A，B，C三点，求该二次函数的解析式；(3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．19．（2023·江苏镇江·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点．

(1)二次函数图像的对称轴为直线．①求二次函数的表达式；②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是________；③在②的条件下，连接，在上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图像交于点Q，求线段的最大值；(2)过点M作的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值．20．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；(2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；(3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．

重难点专项突破01二次函数综合之“线段周长”问题【知识梳理】(1)线段的数量关系此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值；(2)线段最值问题

此类问题通常有两类：

①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；

②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值；(3)周长最值问题

此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2).【考点剖析】题型一：线段的数量关系1．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）抛物线经过点，与轴交于点，对称轴为，点是轴上一点，过点作垂直于轴的直线分别交抛物线和直线于点和点．(1)求二次函数的表达式；(2)若、、三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点的坐标；(3)分别过点、向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点、，矩形与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作，的最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为，当时，求点的坐标．【答案】(1)(2)，，(3)【分析】（1）由抛物线的对称轴方程先求解b，再把代入即可得到c，从而可得答案；（2）先求解抛物线与轴另一交点；直线，设，则，，再分四种情况讨论：①当时，，②当时，，③当时，，④当时，，再建立方程求解即可．（3）由题意得：，如图，①当时，矩形与抛物线只有一个公共点，不合题意，舍；②当时，最高点为，最低点为，③当时，矩形边界最高点为，最低点为，再建立方程求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为，∴，，代入点，得：，，；（2）如图，

令，则或；抛物线与轴另一交点；，，直线，设，则，，①当时，，，或4（舍）②当时，，∴，解得：或4，都不符合题意，舍去，③当时，，，解得：或4（舍）④当时，，，或4（舍）综上，点的坐标为：，，；（3）由题意得：，如图，①当时，矩形与抛物线只有一个公共点，不合题意，舍；②当时，最高点为，最低点为，，（舍），或（舍），③当时，矩形边界最高点为，最低点为，，，（舍），或，．

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．题型二：线段最值问题2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴．(1)求抛物线的表达式；(2)求线段长度的最大值．【答案】(1)(2)8【分析】（1）先求出抛物线：的顶点坐标为，然后求出点关于对称后的点坐标为，再抛物线的解析式为：；（2）先求出A、B两点横坐标分别为和，设，其中，则，求出最大值即可．【详解】（1）解：抛物线：的顶点坐标为，点关于对称后的点坐标为，∵抛物线与抛物线关于成中心对称，∴抛物线的解析式为：．（2）解：∵抛物线：与：交于A、B，∴令，解得：或，则A、B两点横坐标分别为和，设，，其中，则，∴当时，最大为8．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最大值．3．（2023·内蒙古·内蒙古师范大学附属学校校考三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，B点坐标为．与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点．当是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为(2)当时，的最大值为(3)点D的坐标为或【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）得的解析式为，先证明为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，如图1，则为等腰直角三角形，，设，则，接着利用表示、，所以，然后利用二次函数的性质解决问题；（3）如图2，抛物线的对称轴为直线，设，利用两点间的距离公式得到，，，讨论：当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，；当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，，分别解方程求出即可得到对应的点坐标；【详解】（1）把，代入得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）由题意可得的解析式为，直线与直线平行，直线与直线垂直，，为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，如图1，为等腰直角三角形，，设，则，，，，，当时，的最大值为；（3）如图2，抛物线的对称轴为直线，设，则，，，当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，，即，解得，此时点坐标为；当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，，即，解得，此时点坐标为；综上所述，点坐标为或．

【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题．4．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？【答案】(1)，(2)满足条件的E、F两点存在，，，(3)当时，的最大值为【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、，证明，得出，，则同理可得，；②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，在中，，解得或4，进而即可求解；（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：把，，代入得

解得

∴

把代入得∴（2）满足条件的、两点存在，，，

解：①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、.

过点作轴于.∵，又，∴，∴，∴同理可得，②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，过点作轴于点，过点作于点

∵，又∴∴，∵∴∴在中，∴解得或4当时，，此时点在点右侧故舍去；当时，.综上所述：，，（3）∵向右平移8个单位长度得到抛物线当，即解得：∴，∵过，，三点∴

在直线下方的抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点

∵，∴∴是等腰直角三角形∵，∴又∴是等腰直角三角形∴∵点在抛物线上，且横坐标为∴∴

∵∴∴∴

∴∴当时，的最大值为．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点．①当取得最大值时，求的值和的最大值；②当是等腰三角形时，求点的坐标．【答案】(1)(2)①当时，有最大值，最大值为；②或或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时，如图3-2所示，当时，如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，∴抛物线对称轴为直线，在中，当时，，∴抛物线顶点P的坐标为，设抛物线解析式为，∴，∴，∴抛物线解析式为（2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，∵直线与抛物线交于点，与直线交于点∴，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值为；②设直线与x轴交于H，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；如图3-1所示，当时，过点C作于G，则∴点G为的中点，由（2）得，∴，∴，解得或（舍去），∴；如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，∴，即，∴点E的纵坐标为5，∴，解得或（舍去），∴如图3-3所示，当时，过点C作于G，同理可证是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，，∴，∴综上所述，点E的坐标为或或【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．题型三：周长最值问题6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求周长的最小值；(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；（2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可；（3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，将代入上式得：，所以抛物线的表达式为；（2）作点O关于直线的对称点E，连接，∵，，，∴，∵O、E关于直线对称，∴四边形为正方形，∴，连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长，∵的周长为，，的最小值为10，∴的周长的最小值为；

（3）由已知点，，，设直线的表达式为，将，代入中，，解得，∴直线的表达式为，同理可得：直线的表达式为，∵，∴设直线表达式为，由（1）设，代入直线的表达式得：，∴直线的表达式为：，由，得，∴，∵P，D都在第一象限，∴，∴当时，此时P点为.．

【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．【过关检测】一、单选题1．（2020春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）P是抛物线y＝x2－4x＋5上一点，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别是M，N，则PM＋PN的最小值是(

)A．3 B． C． D．5【答案】B【分析】设点P的坐标为(m，m2-4m+5)，构造出PM+PN的值与m的函数关系，利用二次函数的性质解决问题即可.【详解】抛物线y=x2-4x+5，△=16-20=-4<0，可知抛物线的值恒为正，设P(m，m2-4m+5)，则PM=|m2-4m+5|，PN=|m|当m<0时，PM+PN=|m2-4m+5|+|m|=m2-4m+5-m=m2-5m+5=，此时m=不符合m<0；当m=0时，y=5，PM+PM的值是5;当m>0时，PM+PN=|m2-4m+5|+|m|=m2-4m+5+m=m2-3m+5=，所以当m=时，PM+PM的最小值为，综上，PM+PM的最小值是故答案为：B【点睛】本题是二次函数的综合题，设出点P的坐标为(m，m2-4m+5)，构造出PM+PN的值与m的函数关系是解题的关键.2．（2023·山东临沂·统考二模）如图，二次函数图象经过，且有最小值，若A点关于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在的斜边上有一动点D，过D作于E，于F，则EF的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图所示，连接，先求出二次函数顶点坐标为，进而利用待定系数法求出二次函数解析式为，求出点B的坐标，进而求出点C的坐标，利用勾股定理求出的长，证明四边形是矩形，得到，则当时，有最小值，即有最小值，据此利用三角形面积法求出的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，∵二次函数图象经过，且有最小值，∴二次函数对称轴为直线，∴二次函数顶点坐标为，设二次函数解析式为，∴，∴，∴二次函数解析式为，∵A点关于y轴的对称点为B点，，∴，∴，当时，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∵，∴四边形是矩形，∴，∴当最小时，也最小，∴当时，有最小值，即有最小值，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，矩形的性质与判定，勾股定理，三角形面积等等，证明四边形是矩形，得到是解题的关键．3．（2023·山东济宁·统考一模）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法：①：②抛物线的对称轴为；③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，；④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，的面积最大．其中，所有正确的说法是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③【答案】B【分析】利用待定系数法即可求得，即可判断①；求得A、B的坐标，利用抛物线的对称性求得对称轴，即可判断②；利用抛物线的对称性、两点之间线段最短，点P为直线与抛物线对称轴的交点时，点P，B，C构成的三角形的周长取最小值，求得直线的解析式，进一步求得n的值，即可判断③；作轴，交与点Q，表示出Q点的坐标，然后根据得出，根据二次函数的性质即可判断④．【详解】解：∵抛物线经过点，∴，解得，故①说法正确；令，则，解得或1，∴抛物线抛物线与x轴的交点为，，∴抛物线的对称轴为，故②说法正确；连接，交对称轴为P，此时，，∵是定值，∴此时点P，B，C构成的三角形的周长最小，∵，，∴直线为，当时，，∴，∴n=2，故③说法错误；作轴，交与点Q，∵点在抛物线上，∴，把代入直线的解析式得，∴，∴，∴时，的面积最大，故④说法正确．综上，正确的有①②④．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，三角形的面积，根据题意求得A、B的坐标和对称轴是解题的关键．4．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．【答案】A【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设，则,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】连接，过点P作PD⊥BC于D，过点Q作QH⊥BC于H．根据，可得的最小值为的长，即可解决问题．【详解】如图，连接，过点P作PD⊥BC于D，过点Q作QH⊥BC于H．由，令，则，解得，，令，解得，，，，，，，当为与轴交点时最小，最小值为的长，Q（0，2）,，，设，则,∵，∴，∴，∴，则的最小值是．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．6．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】利用抛物线的解析式求得点C、D和E的坐标，利用轴对称的性质和将军饮马模型作出点D关于y轴的对称点，点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点G，交y轴于点F，此时EDFG周长取最小值，利用点的坐标的性质和勾股定理即可求得结论．【详解】解：令，则，∴，∵，∴，抛物线的对称轴为直线，∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，∴，∴，作点D关于y轴的对称点，点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点G，交y轴于点F，如图，则，，，，此时，∴此时四边形EDFG周长最小，延长，它们交于点H，如图，则，∴，∴四边形EDFG周长的最小值为，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，轴对称的性质、勾股定理和抛物线上点的坐标的特征，利用轴对称的性质找出点F和G的位置是解决本题的关键．二、填空题7．（2023·江苏连云港·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为___________．

【答案】/【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果．【详解】解：如图，

作射线，作于E，作于F，交y轴于，抛物线的对称轴为直线，∴，当时，，∴，当时，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，当点P在时，最小，最大值等于，在中，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造．8．（2023秋·河北秦皇岛·九年级秦皇岛市第七中学校考期末）如图，已知二次函数图像的顶点坐标为，与轴交于点，直线与该二次函数的图像交于，两点，是线段上的一个动点，过作轴的垂线交二次函数的图像于点则线段的最大值为____________．【答案】【分析】根据题意，待定系数法求得二次函数的解析式为，将点,代入直线，得，设，则，进而得出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：∵二次函数图像的顶点坐标为，与轴交于点，∴设二次函数解析式为：，将点代入得，，解得：,∴二次函数的解析式，将点,代入直线，得，∴直线解析式为，∵是线段上的一个动点，设，∵轴，∴∴，∵，，当时，线段的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数综合，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．9．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，抛物线交x轴于A、B两点．点P为x轴下方抛物线上任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线分别交抛物线的对称轴于点M、N．的值等于______________．【答案】【分析】求出的坐标，设出点坐标，表示出的解析式，进而求出的坐标，再进行计算即可．【详解】解：，当时，，解得：，∴，对称轴为直线，∴，设，∵点P为x轴下方抛物线上任意一点，∴，设直线解析式为，，解得：，∴直线解析式为；∴当时，，∴；同理可得：直线的解析式为：，∴当时，，∴；∴∴；故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出二次函数的对称轴，以及抛物线与轴的交点坐标，是解题的关键．10．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点、在线段上，且、两点关于轴对称，过点作轴的垂线交抛物线于点．连接，若，则线段的长为______．【答案】/【分析】根据题意，先得出抛物线解析式为，设，则，根据题意得出，代入抛物线解析式，即可求解．【详解】解：∵点在抛物线上，∴解得：∴抛物线解析式为，依题意，的纵坐标为，设，则，∴，∵∴，∴，∵在上，∴解得：或（舍去）∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，求得二次函数解析式是解题的关键．11．（2023秋·广西南宁·九年级南宁十四中校考开学考试）如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点，，分别是，，的中点，连接，，则的最小值为______．【答案】【分析】根据中位线定理得到，进而得到，当最小时，最小，点关于对称轴对称的点为点，连接，则：，即三点共线时，的值最小，进行求解即可．【详解】解：∵，当时，，解得：；当时，；∴，，∵点，，分别是，，的中点，∴，∴，∴当最小时，最小，∵点关于对称轴对称的点为点，连接，则：，即三点共线时，的值最小，∵，，∴，∴，即：的最小值为，∴的最小值为：；故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握三角形的中位线定理，利用轴对称的性质，数形结合的思想进行求解，是解题的关键．12．（2023春·福建泉州·九年级福建省永春第一中学校考期中）如图：二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D．（1）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最大时，则点P的坐标为___；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小时，则点P的坐标为____．【答案】【分析】（1）设点关于直线的对称点为，直线与对称轴的交点即为点，此时最大，先根据二次函数求出点，坐标，进而求出直线的解析式，最后令代入直线的解析式求解即可；（2）连接，，过点作于点，对称轴交轴于点，连接，过点作于点，设交于点，由题意可得，从而得出，再通过勾股定理和三角函数得，从而得到，当点与点重合时，的值最小，求出此时点坐标即可．【详解】解：（1）∵，∴抛物线的对称轴为直线，顶点，令，，解得或，∴，，令，得到，∴，设点关于直线的对称点为，则，直线与对称轴的交点即为点，此时最大设直线的解析式为，则，∴，∴直线的解析式为，当时，，∴，故答案为：；（2）如图，连接，，过点作于点，对称轴交轴于点，连接，过点作于点，交于点，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴,∴，∴，∴，∴当点与点重合时，的值最小，此时，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的综合，动点线段问题，利用数形结合，正确建立辅助线是解题的关键13．（2023·四川·校联考模拟预测）已知二次函数交x轴于（点A在B的左侧）两点，平面上有任意点P，使得，则面积的最大值为_________．（用含有a的代数式表示）【答案】【分析】设点P的坐标为，先求出点A、B的坐标，进而得到，，再由已知条件得到方程，整理得，根据关于m的方程有实数根，求出，再由得到当最大时，最大，由此即可得到答案．【详解】解：设点P的坐标为，在中，令得：，解得，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵关于m的方程有实数根，∴，∴，∴，∴，∵，∴当最大时，最大，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，一元二次方程根的判别式，正确求出是解题的关键．14．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：

①当时，；②当的面积为时，；③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②③【分析】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为，即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，得到，判断③．【详解】解：∵抛物线经过点，顶点为，∴对称轴，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，由图象可得：当时，；∴①正确，符合题意；∵抛物线与x轴的另一交点坐标为，∴设抛物线为，当时，，当时，，∴，，如图所示，过点M作平行于y轴的直线l，过点A作，过点B作，

∴，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，当是，，∴，∴，∴，解得：，故②正确；∵点B是抛物线与y轴的交点，∴当时，，∴，∵为直角三角形，当时，∴，∵，，，∴，整理得：，解得：或（舍）∴，当时，∴，∴，整理得：解得：或（舍）∴，当时，∴，∴，无解；以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，如图所示，

则，为等边三角形，∴，，∴，∵为等边三角形，∴，，∴，当时，∵，当时，，∴的值最小，最小值的平方为，故③正确；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，综合性较强，难度较大，扎实的知识基础是关键．15．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：

①当时，；②当的面积为时，；③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）【答案】②【分析】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为，即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，得到，判断③．【详解】∵抛物线经过点，顶点为，∴对称轴，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，由图象可得：当时，；∴①错，不符合题意；∵抛物线与x轴的另一交点坐标为，∴设抛物线为，当时，，当时，，∴，，如图所示，过点M作平行于y轴的直线l交于，过点A作，过点B作，

∴，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，当是，，∴，∴，∴，解得：，故②正确；∵点B是抛物线与y轴的交点，∴当时，，∴，∵为直角三角形，当时，∴，∵，，，∴，整理得：，解得：或（舍）∴，当时，∴，∴，整理得：解得：或（舍）∴，当时，∴，∴，无解；以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，如图所示，

则，为等边三角形，∴，，∴，∵为等边三角形，∴，，∴，当时，∵，当时，，∵∴的值最小，最小值的平方为，故③错误；故答案为：②．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，综合性较强，难度较大，扎实的知识基础是关键．三、解答题16．（2023·浙江温州·温州市第二十三中学校考三模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B，与y轴交于点．轴交抛物线于点D．

(1)求b，c的值．(2)已知点E在抛物线上且位于x轴上方，过E作y轴的平行线分别交于点F，G，且，求点E的坐标．【答案】(1)，(2)【分析】（1）将、，代入得，，计算求解即可；（2）由（1）可得，，对称轴为直线，则，设，则，，，，由，可得，计算求出满足要求的解即可．【详解】（1）解：将、，代入得，，解得，∴，；（2）解：由（1）可得，，∴对称轴为直线，∴，设，则，，∴，，∵，∴，解得，（舍去），∴．【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与线段综合，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．17．（2023·浙江·九年级假期作业）直线经过点，抛物线经过点，其中和为实数．设抛物线的顶点为，过作轴的平行线交直线于点．(1)求和的值；(2)当抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求线段的值；(3)求线段的最小值．【答案】(1)，；(2)3；(3)．【分析】（1）将、的坐标分别代入直线和抛物线即可求解；（2）利用二次函数的性质求得，即可求解；（3）由抛物线的顶点，过作轴的平行线交直线于点，求得，从而求得，于是即可求解．【详解】（1）解：∵直线经过点，∴，解得，∵抛物线经过点，∴；（2）解：∵，∴顶点，∵顶点的纵坐标取得最大值，，∴当时，顶点的纵坐标取得最大值，此时，，∴，∵，∴直线，当时，，∴，∴；（3）解：∵抛物线的顶点，过作轴的平行线交直线于点，∴当时，，∴，∴，∴线段的最小值为．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．18．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中点A的坐标为．

(1)写出C点的坐标______，B点的坐标______；(2)若二次函数经过A，B，C三点，求该二次函数的解析式；(3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根据旋转的性质结合点A的坐标、的长度，即可找出的值，进而即可得出点B、C的坐标；（2）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（3）根据抛物线的对称性可得知：连接交对称轴于点P，点P是所求的点．利用二次函数的性质可找出抛物线对称轴为直线，根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．【详解】（1）解