第2章《对称图形-圆》知识讲练(学生版+解析)

2023-2024学年苏科版数学九年级上册章节知识讲练知识点01：圆的定义、性质及与圆有关的角

1．圆的定义

(1)旋转一周，另一个端点A所形成的，叫做圆.

(2)圆是.

细节剖析：①圆心确定，半径确定；确定一个圆应先确定，再确定，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质

(1)旋转不变性：圆是，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是图形，对称中心是在中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是，经过圆心的任一直线都是它的.

(3)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径这条弦，并且平分②平分弦(不是直径)的直径于弦，并且平分弦所对的.

③弦的过圆心，且平分弦对的

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夹的弧.

细节剖析：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的、平分弦所对的在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．两圆的性质

(1)两个圆是一个，对称轴是.

(2)相交两圆的连心线，相切两圆的连心线经过4．与圆有关的角

(1)圆心角：叫圆心角.

圆心角的性质：.

(2)圆周角：顶点在，叫做圆周角.

圆周角的性质：

①圆周角等于

②所对的圆周角相等；在中，相等的圆周角所对的弧相等.

③所对的弦为直径；所对的圆周角为直角.

④如果，那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的.

细节剖析：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在；②角的两边都和圆

(2)圆周角定理成立的前提条件是在中.

知识点02：与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上

设⊙O的半径为，OP=，则有

点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内.

细节剖析：和是相对应的，即知道就可以确定；知道也可以确定.2．判定几个点在同一个圆上的方法

当时，在⊙O上.

3．直线和圆的位置关系

设⊙O半径为R，点O到直线的距离为.

(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.

(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.

4．切线的判定、性质

(1)切线的判定：

①是圆的切线.

②是圆的切线.

(2)切线的性质：

①圆的切线过切点的半径.

②经过圆心作圆的切线的垂线经过③经过切点作切线的垂线经过

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这叫做切线长.

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条，它们的切线长，这两条切线的夹角.

5．圆和圆的位置关系

设的半径为，圆心距.

(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离

.

(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含

(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.

(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.

(5)和有两个公共点相交.

知识点03：三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形

1．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是.细节剖析：(1)任何一个三角形都一个内切圆，但任意一个圆都有个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形

(1)叫圆的内接四边形，圆内接四边形，外角等于.

(2)叫圆外切四边形，圆外切四边形相等.

知识点04：圆中有关计算

1．圆中有关计算

圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.细节剖析：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•宿城区一模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B＝（）A．64° B．66° C．68° D．72°2．（2分）（2023•建邺区二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（4，5），⊙P与x轴相切，点A，B在⊙P上，它们的横坐标分别是0，9．若⊙P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（）​A．（7+2π，9） B．（7+2.5π，9） C．（7+2π，8） D．（7+2.5π，8）3．（2分）（2022秋•江都区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，，则∠BAC的度数为（）A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°4．（2分）（2023•锡山区校级三模）如图，矩形OABC中，OA＝4，AB＝2，以O为圆心，OA为半径作弧，且∠AOD＝60°，则阴影部分面积为（）A． B． C． D．5．（2分）（2023•镇江二模）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分别剪出扇形ABC和⊙O，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面．若点O在BD上，则BO的最大值是（）A． B． C． D．6．（2分）（2023•宝应县校级三模）如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，以D为圆心、DE的长度为半径作弧EF，交BC于F，连接DE、DF．若∠A＝60°，AD＝4，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．7．（2分）（2023•泉山区校级三模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝70°，则∠ACB等于（）​A．30° B．35° C．40° D．45°8．（2分）（2023•东海县二模）小明用一个破损的量角器按照如图所示的方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器的圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为（）A．135° B．140° C．145° D．150°9．（2分）（2023•梁溪区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2 B． C． D．10．（2分）（2023•宜兴市一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，AD＝2，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若在E运动过程中DF的最大值为4，则CD的值为（）A． B． C． D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•仪征市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，，BE＝1，则OC＝．12．（2分）（2023•邗江区校级二模）如图，正五边形ABCDE的边长为4，以AB为边作等边△ABF，则图中阴影部分的面积为．13．（2分）（2023•邳州市一模）如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为cm．14．（2分）（2023•姜堰区二模）如图，已知AB＝1，，BC与相切于点C，则的长＝．​15．（2分）（2023•东海县二模）如图所示，将扇形OAB沿OA方向平移得对应扇形CDE，线段CE交弧AB点F，当OC＝CF时平移停止．若∠O＝60°，OB＝3，则两个扇形重叠部分的面积为．16．（2分）（2022秋•江都区期末）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为cm．17．（2分）（2023•海州区二模）如图，一把打开的雨伞可近似的看成一个圆锥，伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC长为12分米，伞骨AB长为10分米，那么制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料为平方分米．18．（2分）（2023•海州区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是．​19．（2分）（2023•淮安模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为．​20．（2分）（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着A﹣B﹣C的路线运动，则以P为圆心，2为半径的⊙P与△ABC三边都有公共点的时间共秒．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•如皋市期末）如图，CE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，垂足为点D，连AB，AC，AE．（1）求证：∠ACB＝∠E；（2）若∠ACB＝30°，AC＝3，求的长．22．（6分）（2023•姑苏区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．（1）求证：∠CAB＝∠APB；（2）若⊙O的半径5，AC＝8，求线段BD的长．23．（8分）（2023•亭湖区校级二模）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若点E恰好是AO的中点，求扇形BOF的面积．​24．（8分）（2023•阜宁县二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F．（1）求证：OF＝EC；（2）若∠A＝30°，BD＝2，求线段AD、AE与弧DE围成的阴影部分面积．25．（8分）（2023•宿迁）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，．求证：；从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．26．（8分）（2023•新吴区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB上一点，作EF∥AC，与BC交于点F，经过点B、E、F的⊙O与AC相切于点D，连接BD、ED．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若AE＝4，BE＝5，求AD的长．27．（8分）（2023•泰州模拟）燃油机由汽缸、活塞A、连杆AP、曲轴OP、飞轮⊙O组成（如图所示），活塞A在汽缸内往复运动，通过连杆AP带动曲轴OP作圆周运动，其中AP＝70cm，OP＝30cm，当A在初始位置A0时，点O、P、A共线．设点A从A0向左移动的距离为d，曲轴OP绕点O逆时针旋转α，在0°＜α≤180°的情形下．（1）d为多少时，AP与点P所在的⊙O相切；（2）若d＝50cm，求点P经过的路线长．28．（8分）（2023•启东市二模）已知AB为⊙O的直径，点C，D为⊙O上的两点，AD的延长线于BC的延长线交于点P，连接CD，∠CAB＝30°．（Ⅰ）如图①，若，AB＝4，求AD的长；（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线交AP于点M，若CD＝AD＝6，求CM的长．

2023-2024学年苏科版数学九年级上册章节知识讲练知识点01：圆的定义、性质及与圆有关的角

1．圆的定义

(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

细节剖析：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

(3)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夹的弧相等.

细节剖析：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．两圆的性质

(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.

细节剖析：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

知识点02：与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上

设⊙O的半径为，OP=，则有

点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内.

细节剖析：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点在同一个圆上的方法

当时，在⊙O上.

3．直线和圆的位置关系

设⊙O半径为R，点O到直线的距离为.

(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.

(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.

4．切线的判定、性质

(1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.

(2)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径.

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.

③经过切点作切线的垂线经过圆心.

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

5．圆和圆的位置关系

设的半径为，圆心距.

(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离

.

(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含

(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.

(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.

(5)和有两个公共点相交.

知识点03：三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形

1．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是三角形三边高线的交点.细节剖析：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.

知识点04：圆中有关计算

1．圆中有关计算

圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.细节剖析：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•宿城区一模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B＝（）A．64° B．66° C．68° D．72°解：连接OA，∵OA＝OC，∠A＝36°，∴∠OAC＝∠C＝28°，∴∠OAB＝36°+28°＝64°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝64°．故选：A．2．（2分）（2023•建邺区二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（4，5），⊙P与x轴相切，点A，B在⊙P上，它们的横坐标分别是0，9．若⊙P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（）​A．（7+2π，9） B．（7+2.5π，9） C．（7+2π，8） D．（7+2.5π，8）解：如图1，设⊙P与x轴的切点为D，过点P作PC⊥y轴于C，连接PD，PA，∴PD⊥x轴，∵点P的坐标是（4，5），∴PC＝4，PD＝5，即⊙P的半径为5，∴PA＝PD＝5，在Rt△PCA中，由勾股定理得：，延长CP与⊙P相交，此时交点到点C的距离为9，而点B的横坐标为9，故交点为点B，∴∠DPB＝90°，如图2，当点B第一次落在x轴上时，⊙P滚动了90°，∴点B滚动的距离为：，点A的对应点为A'，点C的对应点为C'，点B的对应点为B'，点P的对应点为P'，此时A'C'＝AC＝3，P'C'＝PC＝4，点A'的纵坐标为P'C'+5＝4+5＝9，点A'的横坐标为PC+A'C'+2.5π＝4+3+2.5π＝7+2.5π，∴点A'的坐标为（7+2.5π，9），即此时点A的坐标是（7+2.5π，9），故选：B．3．（2分）（2022秋•江都区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，，则∠BAC的度数为（）A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°解：如图，连接OC，∵＝3，∴∠AOC＝3∠BOC，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°×＝45°，∴∠BAC＝BOC＝22.5°．故选：A．4．（2分）（2023•锡山区校级三模）如图，矩形OABC中，OA＝4，AB＝2，以O为圆心，OA为半径作弧，且∠AOD＝60°，则阴影部分面积为（）A． B． C． D．解：如图，过点E作EH⊥OF于H，由题意得，OF＝OA＝4，OC＝AB＝2，由勾股定理得，CF＝＝＝2，∴∠OFC＝30°，∴∠COF＝60°，∴∠AOF＝∠EOF＝∠COE＝30°，∵∠AOD＝60°，∴∠DOF＝∠AOD﹣∠AOF＝30°，∴∠OFC＝∠DOF，∠COE＝30°，∴OE＝FE，∵∠C＝90°，OC＝2，∴OE＝＝，∴EH＝，∴阴影部分的面积＝S扇形ODF﹣S△OEF＝﹣×4×＝﹣，故选：A．5．（2分）（2023•镇江二模）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分别剪出扇形ABC和⊙O，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面．若点O在BD上，则BO的最大值是（）A． B． C． D．解：连接AC交BD于P点，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，PB＝PD，∠ABP＝∠ABC＝30°，AB∥DC，∴PA＝AB＝3，∠CDB＝∠ABD＝30°，∴BP＝AP＝3，∴BD＝2BP＝6，设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝1，当⊙O与DA、DC相切时，BO的值最大，过O点作OH⊥DC于H，如图，则OH＝1，∴OD＝2OH＝2，∴BO＝BD﹣OD＝6﹣2，即BO的最大值是6﹣2．故选：B．6．（2分）（2023•宝应县校级三模）如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，以D为圆心、DE的长度为半径作弧EF，交BC于F，连接DE、DF．若∠A＝60°，AD＝4，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．解：连接BD，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AD＝4，∴AB＝4，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE＝2，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠DEB＝90°﹣60°＝30°，同理可得CF＝BF＝2，DF⊥BC，∴∠CDF＝∠FDB＝30°，∴∠EDF＝60°，由勾股定理得，∴S阴影＝S△BED+S△BFD﹣S扇形DEF＝＝，故选：A．7．（2分）（2023•泉山区校级三模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝70°，则∠ACB等于（）​A．30° B．35° C．40° D．45°解：∵∠AOB＝70°，∴∠ACB＝∠AOB＝35°，故选：B．8．（2分）（2023•东海县二模）小明用一个破损的量角器按照如图所示的方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器的圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为（）A．135° B．140° C．145° D．150°解：连接OA，OC，DA，DC，设⊙O的直径为EF，如图，∵∠AOE＝55°，∠EOC＝135°，∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE＝135°﹣55°＝80°，∴，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣40°＝140°．故选：C．9．（2分）（2023•梁溪区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2 B． C． D．解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．10．（2分）（2023•宜兴市一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，AD＝2，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若在E运动过程中DF的最大值为4，则CD的值为（）A． B． C． D．解：如图所示：连接OE、OC，取OC的中点M，连接MF和DM，设⊙O的半径为r，∵点F为CE的中点，∴MF＝OE＝，∵点E是⊙O上的动点（不与C重合），点C为顶点，∴点F的运动轨迹是以点M圆心，以MF的长为半径的圆上，则DF≤DM+MF，∴当点D、M、F三点共线时，DF有最大值4，此时DF＝DM+MF，∴DM＝4﹣，∵CD⊥AB，∴∠CDO＝90°，∵点M为OC的中点，∴DM＝OC＝，∴，解得：r＝4，∴OD＝OA﹣AD＝2，在Rt△CDO中，CD＝＝2；故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•仪征市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，，BE＝1，则OC＝2．解：设OC＝x，则OE＝x﹣1，在Rt△COE中由勾股定理得，OC2＝CE2+OE2，即x2＝（）2+（x﹣1）2，解得x＝2，即OC＝2，故答案为：2．12．（2分）（2023•邗江区校级二模）如图，正五边形ABCDE的边长为4，以AB为边作等边△ABF，则图中阴影部分的面积为．解：在正五边形ABCDE中，，∵△ABF是等边三角形，∴∠FAB＝60°，∴∠EAF＝48°，∴，故答案为：．13．（2分）（2023•邳州市一模）如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为2cm．解：如图，由题意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，则cm，在Rt△ADO中，由勾股定理得，OD＝＝3（cm），∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm）．故答案为2．14．（2分）（2023•姜堰区二模）如图，已知AB＝1，，BC与相切于点C，则的长＝π．​解：如图，设所在的圆心为O，连接OA、OC、AC，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝，∴AC＝＝2，∵AB＝AC，∴∠ACB＝30°，∵⊙O与BC相切于点C，∴∠OCB＝90°，∴∠OCA＝90°﹣30°＝60°，又∵OA＝OC，∴△AOC是正三角形，∴∠AOC＝60°，OA＝OC＝AC＝2，∴的长为＝π，故答案为：π．15．（2分）（2023•东海县二模）如图所示，将扇形OAB沿OA方向平移得对应扇形CDE，线段CE交弧AB点F，当OC＝CF时平移停止．若∠O＝60°，OB＝3，则两个扇形重叠部分的面积为．解：如图所示，连接OF，过点C作CH⊥OF，由平移性质知，CE∥OB，∴∠CFO＝∠BOF，∵CO＝CF，∴∠COF＝∠CFO，∴，在等腰△OCF中，，∴CH＝OH•tan30°＝×＝，∴．故答案为：．16．（2分）（2022秋•江都区期末）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为4cm．解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据题意，得＝π（6﹣x），解得x＝4．故答案为：4．17．（2分）（2023•海州区二模）如图，一把打开的雨伞可近似的看成一个圆锥，伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC长为12分米，伞骨AB长为10分米，那么制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料为60π平方分米．解：∵AC＝12分米，∴该圆锥底面周长为12π分米，∴该圆锥侧面积＝（平方分米），故答案为：60π．18．（2分）（2023•海州区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是100°．​解：∵∠AOC＝160°，∴∠D＝AOC＝80°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝100°．故答案为：100°．19．（2分）（2023•淮安模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为50°．​解：∵OF⊥BC，∴∠OFB＝90°，∵∠BOF＝65°，∴∠ABC＝90°﹣65°＝25°，∴的度数是2×25°＝50°，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴＝，∴的度数是50°，∴∠AOD＝50°．故答案为：50°．20．（2分）（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着A﹣B﹣C的路线运动，则以P为圆心，2为半径的⊙P与△ABC三边都有公共点的时间共秒．解：当P在AB上时，作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，设P运动的时间是t秒，∴AP＝t，∵∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴PN：BC＝AN：AC＝AP：AB，∴PN：3＝AN：4＝t：5，∴PN＝t，AN＝t，∴CN＝4﹣t，∵四边形PNCM是矩形，∴PM＝CN＝4﹣t，∵⊙P与△ABC三边都有公共点，∴t≤2，4﹣t≤2，∴≤t≤，∴⊙P与△ABC三边都有公共点的时间是﹣＝（秒）；当点P在BC上时，作PH⊥AB于H，设P从B出发运动的时间是t秒，∴PB＝t，PC＝3﹣t，∵∠B＝∠B，∠BHP＝∠C，∴△BPH∽△BAC，∴PH：AC＝PB：AB，∴PH：4＝t：5，∴PH＝t，∵⊙P与△ABC三边都有公共点，∴t≤2，3﹣t≤2，∴1≤t≤，当1＜PC＜2时⊙P与BC无公共点，无公共点的时间（2﹣1）÷1＝1（秒）∴⊙P与△ABC三边都有公共点时的时间是﹣1﹣1＝（秒），∴P从A出发到C，⊙P与△ABC三边都有公共点时的时间+＝（秒）故答案．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•如皋市期末）如图，CE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，垂足为点D，连AB，AC，AE．（1）求证：∠ACB＝∠E；（2）若∠ACB＝30°，AC＝3，求的长．（1）证明：∵OA⊥弦BC，∴＝，∴∠ACB＝∠E；（2）解：∵∠E＝∠ACB＝30°，∴∠AOC＝2∠E＝60°，∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴OA＝AC＝3，∴的长为＝π．22．（6分）（2023•姑苏区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．（1）求证：∠CAB＝∠APB；（2）若⊙O的半径5，AC＝8，求线段BD的长．（1）证明：∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM＝90°，∵∠CEA＝90°，∴AM∥CD，∴∠CDB＝∠APB，∵∠CAB＝∠CDB，∴∠CAB＝∠APB．（2）解：如图，连接AD，∵AB是直径，∴∠CDB+∠ADC＝90°，∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，∴∠ADC＝∠C，∴AD＝AC＝8，∵AB＝10，∴BD＝6，23．（8分）（2023•亭湖区校级二模）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若点E恰好是AO的中点，求扇形BOF的面积．​（1）证明：连接OD，如图，∵AC与⊙O相切于点D，∴OD⊥AC，∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC，∴∠CBD＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC；（2）解：连接DE、OD、OF，如图，∵AB＝8，E是AO的中点，∴AE＝OE＝OB＝，在Rt△AOD中，DE＝＝OE，∴DE＝OD＝OE，∴△DOE为等边三角形，∴∠DOE＝60°，∵OD∥BC，∴∠FBO＝∠DOE＝60°，∵OF＝OB，∴△FBO为等边三角形，∴∠BOF＝60°，∴S扇形BOF＝＝π．24．（8分）（2023•阜宁县二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F．（1）求证：OF＝EC；（2）若∠A＝30°，BD＝2，求线段AD、AE与弧DE围成的阴影部分面积．（1）证明：连接OE，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，又∵∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，∴四边形OECF是矩形，∴OF＝CE．（2）解：∵∠A＝30°，BD＝2，∴∠EOD＝60°，OE＝OD＝1，，∴S阴影＝S△AOE﹣S扇形DOE＝＝．25．（8分）（2023•宿迁）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，①（答案不唯一）．求证：②（答案不唯一）；从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．解：（1）若选择：①作为条件，②作为结论，如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE与⊙O相切，求证：DE⊥AC，证明：连接OD，∵DE与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，∴DE⊥AC；若选择：②作为条件，①作为结论，如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE⊥AC，求证：DE与⊙O相切，证明：连接OD，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，∵