山东省七校2025届高三上学期九月联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东省七校2025届高三上学期九月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为(

)

A.∁UA∪B B.∁UA∩B C.2.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=pp−ap−bp−c求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足p=6，A.183 B.43 C.3.已知点A是抛物线C:y2=2pxp>0上一点，若A到抛物线焦点的距离为5，且A到x轴的距离为4，则A.1或2 B.2或4 C.2或8 D.4或84.圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为(

)

A.62 B.6 C.6π 5.将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9随机填入3×3的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为(

)A.89! B.129! C.249!6.定义：已知数列ann∈N∗的首项a1=1，前n项和为Sn.设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有Sn+11k−Sn1k=λaA.3×4n−2 B.1(n=1)3×4n−2(n≥2)7.在(x+1)(x+2)(x+m)(x+n)的展开式中，含x3的项的系数是7，则m+n=(

)A.1 B.2 C.3 D.48.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间0,+∞单调递减，若a∈R+，且满足flog3aA.19,9 B.−∞,19 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.欧拉公式exi=cosx+isinx(i为虚数单位，x∈R)A.eπ3i的虚部为32 B.eπi=−1

10.对于随机事件A，B，若P(A)=25，P(B)=35，P(B|A)=A.P(AB)=320 B.P(A|B)=16 C.11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点P在对角线BD1上，过P作垂直于BD1的平面α，记平面α与正方体ABCD−A1B1C1D1A.Sx最大值为334；

B.Lx在x=32时取得极大值；

C.Lx在0,3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，其中AB=1,O为正八边形的中心，则AB⋅HD=

．13.已知数列an满足a1=2，a2=1，a3=−3，且a14.已知函数fx=x2+2x+3,x≤0lnx,x>0，若存在实数x1,x2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分已知锐角▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a−c=2ccos(1)证明：B=2C；(2)若a=2，求cosCb16.(本小题15分)已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)设bn=log2an2−1117.(本小题15分)如图，四边形ABCD为菱形，PB⊥平面ABCD．

(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；(2)若PA⊥PC，二面角A−BP−C的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值．18.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为(1)求C的方程;(2)直线l:y=x+m与C交于A，B两点，(ⅰ)求△OAB面积的最大值;(ⅱ)设OQ=OA+OB19.(本小题17分)已知函数fx(1)当a<0时，求fx(2)若函数fx存在正零点x(i)求a的取值范围；(ii)记x1为fx的极值点，证明：x0参考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.A

6.B

7.D

8.D

9.ABD

10.BCD

11.AD

12.1+13.1

14.−6+3e15.解：(1)因为a−c=2ccosB，由正弦定理得所以sinB所以sinB而0<B<π,0<C<π，则B−C=C或B−C+C=π，即B=2C或B=π(舍去)，故B=2C．(2)因为▵ABC是锐角三角形，所以0<C<π20<2C<所以cosC的取值范围是由正弦定理可得：bc=sin所以cosCb=因为a−c=2ccosB，所以所以2−c=2ccos2C，所以所以cosC因为cosC∈2所以cosCb+

16.解：(1)由an+1=Sn两式相减得an+1−a将a1=2代入an+1所以对于n∈N∗,an+1=2a所以an(2)bBn因为当n≤5时bn<0，当n≥6时所以当n≤5时，Tn当n≥6时，Tn故Tn

17.解：(1)∵PB⊥平面ABCD且AC⊂平面ABCD∴PB⊥AC，在菱形ABCD中，BD⊥AC，且PB∩BD=B,PB,BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD又∵AC⊂平面PAC∴平面PAC⊥平面PBD．(2)∵PB⊥平面ABCD且AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴AB⊥BP，BC⊥BP，即二面角A−BP−C是∠ABC，∴∠ABC=120取AC与BD交点为O，设AB=BC=2，则AC=2∴PA=PC=6，以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，如图建立空间直角坐标系，则B1,0,0，D−1,0,0，PDB=2,0,0∴cos所以BD,PC所成角的余弦值为6

18.解：(1)设焦距为2c，

依题意，ca=22,2a+2c=22+2,解得a=2,c=1,

又a2=b2+c2，所以b2=a2−c2=1，

所以C的方程为x22+y2=1．

(2)(i)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因为x22+y2=1y=x+m，所以3x2+4mx+2m2−2=0，

Δ=16m2−4×3×(2m2−2)>0，解得m2<3，

19.解：(1)由已知可得fx的定义域为−1,+∞且f′x因此当a<0时，a−(x+1)2e所以fx的单减区间是−1,+∞(2)(ⅰ)由(1)知，f′x令gx当x∈−1,+∞时，g′①当a≤0时，可知f′x<0,fx又f0=0，故当x>0时，fx②当0<a≤e时，g0fx在(0,+∞)单调递减，故当x>0时，f③当a>e时，lna−1>0，此时g所以存在α∈0,lna−1所以fx在−1,α内单调递增，在α,+∞令ℎx=lnx−x+1，