2024-2025学年广东省中山一中高二（上）第二次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省中山一中高二（上）第二次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x+y+1=0的倾斜角是(

)A.30° B.60° C.45° D.135°2.若圆(x−a)2+(y+1)2=3关于直线A.−1 B.1 C.3 D.−33.已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,−3)，F2(0,3)，P是双曲线上一点且||PA.x24−y25=1 B.4.如图1，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)，热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径．图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度AD等于热馈源F到口径AB的距离，已知口径长为40cm，防护罩宽为15cm，则顶点O到防护罩外端CD的距离为(

)A.25cm B.30cm C.35cm D.40cm5.已知直线l过定点A(2,3,1)，且n=(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为(

)A.322 B.22 6.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，则该二面角的大小为(

)A.π6 B.πC.π3 D.7.如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使杯底与水平桌面成30°，此时杯内水面成椭圆形，此椭圆的离心率为(

)A.32

B.34

C.8.与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心，如图1所示，已知F1，F2是双曲线x29−y216=1的左右焦点，P是双曲线右支上一点，Q是△PF1F2的一个旁心，如图2A.34 B.43 C.32二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是(

)A.x29−y24=0 B.10.下列结论正确的是(

)A.已知点P(x,y)在圆C：(x−1)2+(y−1)2=2上，则x+y的最大值是4

B.已知直线kx−y−1=0和以M(−3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为−23≤k≤1

C.已知P(a,b)是圆x2+y2=r2外一点，直线l的方程是ax+by=r11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为π4的直线l与抛物线相交于A，B两点，|AB|=8，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q.下列说法正确的是A.QA⊥QB

B.△AOB(O为坐标原点)的面积为22

C.1|AF|+1|BF|=2

D.若12.如图，点M是正方体ABCD−A1B1C1D1中的侧面ADD1A.满足BM⊥A1D的点M的轨迹是一条线段

B.在线段AD1上存在点M，使异面直线B1M与CD所成的角是30°

C.若正方体的棱长为1，三棱锥B−C1MD的体积最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知a=(−2,1,3)，b=(−1,2,1)，若a⊥(a−λ14.如图，已知网格中每个小正方形的边长都是1，则点C到直线AB的距离为______．15.已知过点P(2,1)的动直线l与圆C：x2+y2−4x=0相交于不同的两点A，B，则线段AB16.设M(x1,y1)、N(x2,y2)为不同的两点，直线l：ax+by+c=0，δ=ax1+by1+cax2+by2+c，以下命题中正确的序号为______．

(1)存在实数δ，使得点N在直线l上；

(2)若δ=1，则过M、N的直线与直线l平行；四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=−1．

(1)求抛物线C的方程；

(2)直线l：y=x−1交抛物线C于A、B两点，求弦长|AB|．18.(本小题12分)

已知△ABC的顶点A(3,1)，AB边上的高所在的直线方程为4x−y−13=0，AC边上的中线所在的直线方程为5x−2y−12=0．

(1)求直线AB的方程；

(2)求点C的坐标．19.(本小题12分)

如图，在各棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别在棱AA1，CC1上，且A1M=13AA1,CN=120.(本小题12分)

某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道(图中用实线表示)，建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道(图中用虚线表示)，观景直道与辅道距离5米.在建筑物底面中心O的北偏东45°方向102米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：

(1)在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？

(2)21.(本小题12分)

在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，∠ADC=90°，BC=CD=1，PA=PD=AD=2，E为线段AD的中点，过BE的平面与线段PD，PC分别交于点G，F．

(Ⅰ)求证：GF⊥PA；

(Ⅱ)在棱PD上是否存在点G，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为217，若存在，请确定G22.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为(3,0)，点P(2,1)在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点T(3,0)且斜率大于0的直线l与椭圆C相交于不同的两点M和N，直线PM、PN分别交x轴于A、B两点，记△PAT参考答案1.D

2.B

3.C

4.C

5.A

6.C

7.C

8.D

9.AC

10.AD

11.AB

12.ACD

13.2

14.1015.π

16.(2)(3)(4)

17.解：(1)由抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=−1，

得p2=1，∴p=2．

∴抛物线C的方程为y2=4x．

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立方程组得y=x−1y2=4x，消去y，得x2−6x+1=0，

Δ=36−4=32>0，18.解：(1)设AB边上的高为CE，

∵CE⊥AB，且直线CE的方程为4x−y−13=0，故斜率为4，

∴直线AB的斜率为−14，∵A(3,1)，

∴直线AB的方程为y−1=−14(x−3)，即x+4y−7=0；

(2)设D(a,b)，则C(2a−3,2b−1)，

由题意得4(2a−3)−(2b−1)−13=05a−2b−12=0，

解得a=4，19.解：(1)在各棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别在棱AA1，CC1上，且A1M=13AA1,CN=13CC1，

且∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，

∵NB1=C1B1−C120.解：(1)设O为原点，正东方向为x轴，建立平面直角坐标系，O(0,0)，

因为OA=102，∠AOx=45°，则A(10,10)，依题意得，游客所在位置为B(−4,0)，

则直线AB的方程为5x−7y+20=0，

所以圆心O到直线AB的距离d=|20|25+49=2074>20100=2，

所以直线AB与圆O相离，所以游客在该摄像头的监控范围内，

(2)由图知，过A的直线与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住，

所以设直线l过点A且和圆切，

(1)若直线l垂直于x轴，则直线l不会和圆相切；

(2)若直线l不垂直于x轴，设l：y−10=k(x−10)，整理得l：kx−y+10−10k=0，

所以圆心O到直线l的距离为|10−10k|k2+1=2，解得k=43或k=34，

所以l：y−10=34(x−10)或y−10=43(x−10)，

即3x−4y+10=0或4x−3y−10=0，

观景直道所在直线方程为y=−5，

设两条直线与y=−521.解：(Ⅰ)证明：因为BC=12AD，且E为线段AD的中点，

所以BC=DE，

又BC/​/AD，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE/​/CD．

又CD⊂平面PCD，BE⊄平面PCD，所以BE//平面PCD．

又BE⊂平面BEGF，平面BEGF∩平面PCD=GF，所以BE/​/GF，

又平面PAD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，BE⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以BE⊥平面PAD，又因为BE/​/GF，

所以GF⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，

所以GF⊥PA．

(Ⅱ)存在，G为棱PD上靠近D点的三等分点．

因为PA=PD，E为线段AD的中点，所以PE⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，

所以易知PE⊥平面ABCD．

如图，以E为坐标原点，EA、EB、EP的方向为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz，

则P(0,0,3)，B(0,1,0)，E(0,0,0)，D(−1,0,0)，

所以PB=(0,1,−3)，BE=(0,−1,0)，DP=(1,0,3)，

设DG=λDP(λ>0)，得G(λ−1,0,3λ)，所以EG=(λ−1,0,3λ)，

设平面BEGF的法向量为n=(x,y,z)，则BE⋅n=0EG⋅n=0，即y=0(λ−1)x+3λz=0，

令x=3λ，可得n=(3λ,0