2024-2025学年河北省承德一中等校高三（上）摸底联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省承德一中等校高三（上）摸底联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知命题p：∀x∈R，ex2≥1；命题q：∃x>1，lnx=−(x−1)A.p和q都是真命题 B.￢p和q都是真命题

C.p和￢q都是真命题 D.￢p和￢q都是真命题2.已知z1=(a+1)−2i为纯虚数，则z2=a+iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.渔民在某次打捞中打捞到的8条鱼的质量(单位：斤)分别为：3.5，1.6，4.2，3.2，4.0，4.3，5.3，2.6，则这组数据的上四分位数为(

)A.4.1 B.4.25 C.4.35 D.4.54.已知平面向量a=(0,23+x)，b=(−3,x)，A.−1 B.1 C.12 D.5.已知椭圆T：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，TA.13 B.12 C.26.已知X～N(1.8,0.12)，Y～N(2.1,0.01)，则P(X>1.9)+P(Y>2)≈(注：若随机变量Z～N(μ,σ2A.0.1587 B.0.8413 C.1 D.0.42067.过点(2,0)可作曲线f(x)=x3−3x−2的切线条数为A.1 B.2 C.3 D.08.在圆锥SO中，轴截面△SAC为腰长为22的等腰直角三角形，B为底面圆上一点，且E为线段AB上一动点，△ABC为等腰三角形，则SE+CE的最小值为(

)A.25 B.2(3+1) 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2024sin(2x+π6)，则A.f(x)的图象关于直线x=π6对称B.f(x)的图象关于点(5π12,0)对称

C.f(x)在区间(−π6,10.已知点M(0,m)(m≠0)，F为抛物线C：y2=4x的焦点，N，Q为C上不重合的两个动点，O为坐标原点，若直线MN(直线MN斜率存在且不为0)与C仅有唯一交点N，则(

)A.C的准线方程为x=−1

B.若线段MF与C的交点恰好为MF中点，则m=±22

C.直线MN与直线MF垂直

D.若|QF|=311.如图所示的曲线Γ被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中(O为坐标原点)动点P到点F1(−1,0)，F2(1,0)的距离满足：|PFA.|OP|的最大值是2

B.若(x0,y0)是曲线上一点，且在第一象限，则y0>2x0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若C2nnC2n+1n=13.写出函数y=ex(1+sinx)14.已知数列{an}满足an=sin2α2(12si四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某智能机器人体验店近日生意火爆，来店的消费者络绎不绝，店长对最近100位消费者的体验机器人时长(不超过25分钟)进行了统计，统计结果如下表所示，已知每位消费者在该人工智能体验店每体验一台机器人的时间为5分钟，该体验店的利润为100元，体验时间为10分钟或者15分钟，其利润为150元，体验时间为20分钟或者25分钟，其利润为200元.用X表示该体验店从一名消费者身上获取的利润．体验时间5分钟10分钟15分钟20分钟25分钟频数3020201020(1)若以频率作为概率，求在该体验店消费的3名消费者中，至多有1名体验者体验15分钟的概率；

(2)求X的分布列及期望．16.(本小题15分)

已知数列{an−3}是以1为首项，2为公比的等比数列，等差数列{bn}有b1=−29，b3+a5=−2．17.(本小题15分)

正四棱柱OABC−O1A1B1C1中OB=2，点P，Q，R分别在AA1，BB1，CC1上，且O，P，Q，R四点共面．

(1)若OP=OR，记平面OPQR与底面的交线为l18.(本小题17分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为93，c=6，且sinAsinB=sin2C.

(1)证明：△ABC为等边三角形；

(2)设BA的延长线上一点D满足AD=2，又平面内的动点P满足∠PBA=2∠PAB(∠PAB≠0°)，求19.(本小题17分)

对于数列{an}，定义：若存在函数f(x)，使得数列{an}的前n项和Sn(n>2)小于f(n)，则称数列{an}是“f(n)控制数列”．

(1)设A(x)=px2+qx+r(p≠0)，证明：存在A(x)，使得等差数列{an}是“A(n)控制数列”；

(2)设bn=lnn，B(x)=12x2−12x+ln2−1，判断数列{bn}是否是“B(n)控制数列”，并说明理由；参考答案1.C

2.B

3.B

4.A

5.D

6.C

7.B

8.B

9.ABD

10.ABC

11.ACD

12.4

13.−π2(14.1215.解：(1)以频率作为概率，则体验者体验15分钟的概率为0.2，

设事件A为“在该体验店消费的3名消费者中，至多有1名体验者体验15分钟”，

则P(A)=0.83+C31×0.2×0.82=0.896．

(2)由题意，X可能取值为：100，150，200，

则X100150200P0.30.40.3所以E(x)=100×0.3+150×0.4+200×0.3=150．

16.解：(1)由数列{an−3}是以1为首项，2为公比的等比数列，

可得an−3=2n−1，即an=3+2n−1；

等差数列{bn}有b1=−29，b3+a5=−2，可得−29+2d+3+16=−2(d为公差)，

解得d=4，则bn=−29+4(n−1)=4n−33；

(2)数列{bnan−3}，即{4n−33217.解：连接AC，PR，由正四棱柱OABC−O1A1B1C1，可得AA1//OO1//CC1，AO=OC，∠PAO=∠RCO=90°，

又因为OP=OR，所以由勾股定理可得AP=CR，

又AA1/​/CC1，

所以RC//AP，所以四边形APRC是平行四边形，

所以PR/​/AC，又AC⊂平面OABC，PR⊄平面OABC，

所以PR/​/平面OABC，又平面OPOR//平面OABC，

平面OPOR∩平面OABC=l，

所以PR//l，

所以AC/​/l；

(2)以O为坐标原点，OA，OC，OO1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为OB=2，又底面OABC是正方形，

所以OA=OC=1，又∠AOP=α，∠COR=β，

所以AP=tanα，CR=tanβ，

所以P(1,0,tanα)，R(0,1,tanβ)，O(0,0,0)，

所以OP=(1,0,tanα)，,OR=(0,1,tanβ)，

所以OP⋅OR=(1,0,tanα)(0,1,tanβ)=1×0+0×1+tanαtanβ=tanαtanβ，

|OP|=12+02+tan2α=1+tan2α，|OR|=02+12+tan2β=1+tan2β，

由正四棱柱OABC−O1A1B1C1，可得平在面OCC1O1//ABB1A1，

又18.证明：(1)因为sinAsinB=sin2C，由正弦定理得ab=c2，c不是最大边，

面积S=12absinC=12×36×sinC=93，所以sinC=32,C∈(0,π2)，所以C=π3，

由余弦定理c2=a2+b2−2abcosπ3，化简得36=a2+b2−36⋅a2+b2=72，

a2+b2−2ab=(a−b)2=72−2×36=0，ab=36，

所以a=b=6=c，

所以△ABC是等边三角形；

解：(2)如图建系B(0,0),C(3,33),A(6,0),D(8,0)，

设点P(x,y)，当x≤6时，

因为∠PBA=2∠PAB，所以tan∠PBA=tan2∠PAB,tan∠PBA=yx,tan∠PAB=y6−x，

所以yx=2×y6−x1−(y6−x)2，化简得(x−4)2419.解：(1)证明：不妨设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，

则Sn=na1+n(n−1)d2=d2n2+(a1−d2)n，

取p=d2，q=a1−d2，r>0，则Sn<A(n)，

即存在A(x)，使得等差数列{an}是“A(n)控制数列”得证；

(2)数列{bn}是“B(n)控制数列”，理由如下：

令g(x)=lnx−x+1，则g′(x)=1x−1=1−xx，

当0<x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当x>1时，g′(x