2024-2025学年江苏省常州市西夏墅高级中学高三（上）调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省常州市西夏墅高级中学高三（上）调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=R，集合A={x|x2−2x<0}，B={x|2A.A∩B=⌀ B.A∪B=A C.A⊆B D.B⊆A2.已知等边三角形ABC的边长为1，那么BC⋅AC+A.32 B.−32 C.−3.在同一个坐标系中，函数f(x)=logax，g(x)=a−x，A. B.

C. D.4.使得“函数f(x)=7+2ax−x2在区间[−1,1]A.a≤−1 B.0<a≤3 C.−3<a<−1 D.−3≤a<05.已知sinα+cosα=15,α∈(0,π)，则cos2α+2siA.−717 B.−247 C.6.已知函数f(x)=x2+1,x≤1,2x−a,x>1A.(−∞,1] B.(−∞,1) C.[1,+∞) D.(1,+∞)7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos2C2=b(1−cosA)+a，则A.等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.已知角α，β都是锐角，且3cosα+10cosβ=3,3sinα−A.cos(α+β)=−1010 B.sin(α+β)=3二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知点P是△ABC的中线BD上一点(不包含端点)且AP=xAB+yACA.x+2y=1 B.2x+y=1

C.2x+4y≥210.将函数．f(x)=sin(ωx−π6)(0<ω<6)的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，若(0,A.f(x)的最小正周期为π

B.f(x)在

(2π3,4π3)

上单调递增

C.函数F(x)=f(x)+g(x)的最大值为3

D.方程11.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，其中正确的命题有(

)A.已知∠A=60°，b=4，c=2，则△ABC有两解

B.若△ABC是锐角三角形，b=3，B=π3，设△ABC的面积为S，则S∈(332,934]

C.若∠A=90°，b=1，c=3，△ABC内有一点P使得PA与PB夹角为90°，PA与PC夹角为120°，则tan三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若tanα=2，则sin(π2−α)−cos13.如图，在△ABC中，点P满足2BP=BC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若AM=xAB，AN14.在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，BD⊥BC交AC于点D，且BD=1，则2a+c的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=alnx−1x,a∈R．

(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；

(Ⅱ)求函数f(x)16.(本小题18分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0,|φ|<π2)的一段图象过点(0,1)，如图所示．

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π4个单位，得函数y=g(x)的图象，求y=g(x)在区间[0,π2]上的值域；

17.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量m=(a+b,sinC),n=(a−c,sinA−sinB)，满足m//n．

(1)求B；

(2)若角B的平分线交边AC于点D，18.(本小题17分)

已知f(x)=ex+aex是奇函数．

(1)求实数a的值；

(2)求函数y=e2x+e−2x19.(本小题17分)

当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AMB=∠BMC=∠CMA=120°的点M为△ABC的“费马点”；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为△ABC的“费马点”.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是△ABC的“费马点”．

(1)若acosC+3asinC−b−c=0，a=23，B<C．

①求A；

②设△ABC的周长为23+6，求|PA|+|PB|+|PC|的值；参考答案1.C

2.D

3.C

4.C

5.A

6.A

7.D

8.C

9.ACD

10.ACD

11.BCD

12.2

13.3

14.815.解：(I)函数f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)=ax+1x2．

又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+2y=0垂直，所以f′(1)=a+1=2.解得a=1．

(II)由于f′(x)=ax+1x2．

当a≥0时，对于x∈(0,+∞)，有f′(x)>0在定义域上恒成立，即f(x)在(0,+∞)上是增函数．

当a<0时，由f′(x)=0，得x=−1a∈(0,+∞)；

当x∈(0,−1a16.解：(1)由图知，T=π，则ω=2ππ=2．

由图可得，f(x)在x=π6处最大值，

又因为图象经过(−π12,0)，故f(−π12)=Asin(−π6+φ)=0，

所以−π6+φ=2kπ,k∈Z，故φ=π6+2kπ,k∈Z，

又因为|φ|<π2，所以φ=π6，

函数又经过(0,1)，故f(0)=Asinπ6=1，得A=2．

所以函数f(x)的表达式为f(x)=2sin(2x+π6)．

(2)由题意得，g(x)=2sin[2(x−π4)+π6]=2sin(2x−π3)，

因为x∈[0,π2]，所以2x−π3∈[−π317.解：(1)因为向量m=(a+b,sinC),n=(a−c,sinA−sinB)，满足m//n，

所以(a+b)(sinA−sinB)=(a−c)sinC，

由正弦定理可得：(a+b)(a−b)=c(a−c)，即a2−b2=ac−c2，

所以a2+c2−b2=ac，

所以2accosB=ac，

所以cosB=12，

因为B∈(0,π)，

所以B=π3；

(2)S△ABC=12acsinB=34ac，

18.解：(1)根据题意，函数f(x)=ex+aex的定义域为R，

又因为f(x)为奇函数，则f(0)=0，即1+a=0，解可得a=−1；

当a=−1时，f(−x)=e−x−1e−x=−ex+1ex=−f(x)，此时f(x)为奇函数，符合题意．

故a=−1；

(2)令ex−1ex=t(t≥0)，所以e2x+1e2x=t2+2

所以ℎ(t)=t2−2λt+2，对称轴t=λ，

①当λ≤0时，ℎ(t)∈[ℎ(0),+∞)，所求值域为[2,+∞)；

②当λ>0时，ℎ(t)∈[ℎ(λ),+∞)，所求值域为[2−λ2,+∞)；

(3)因为f(x)=ex−1e19.解：(1)①由sinAcosC+3sinAsinC−sinB−sinC=0,a=23,B<C，

结合sinB=sin(A+C)，可得sinAcosC+3sinAsinC−(sinAcosC+cosAsinC)−sinC=0，

即3sinAsinC−cosAsinC−sinC=0,sinC≠0，整理得3sinA−cosA−1=0，

所以3sinA−cosA=1，即2sin(A−π6)=1，可得sin(A−π6)=12，

因为A∈(0,π)，可得A−π6∈(−π6,5π6)，所以A−π6=π6,A=π3．

②设|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z，则(x+y+z)2=x2+y2+y2+2xy+2xy+2yz，

在△APC中，由余弦定理得