2024-2025学年湖南省娄底市涟源市部分学校高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省娄底市涟源市部分学校高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若OA=(−1,2),OB=(1,−1)，则|A.(−2,3) B.(2,−3) C.13 D.2.复数z=i2−2i在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利机构做义工.某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间(单位：小时)，绘制成如图所示的频率分布直方图，则x的值为(

)A.0.0020

B.0.0025

C.0.0015

D.0.00304.若四边形ABCD满足：AB=DC，且|AB|=|AD|A.矩形 B.正方形 C.等腰梯形 D.菱形5.抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，事件C=“两枚硬币都正面朝上”，事件D=“至少一枚硬币反面朝上”则(

)A.C与D独立 B.A与B互斥 C.P(D)=12 6.已知△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，a=bcosC，则△ABC形状一定是(

)A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形7.已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是(

)A.α、β都垂直于一个平面γ

B.平面α内有无数条直线与平面β平行

C.l、m是α内两条直线，且l//β，m//β

D.l、m是两条异面直线，且l//α，m//α，l//β，m//β8.正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为A.3 B.32 C.1 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(2,m)，b=(−1,2)，且(a−2A.m=3 B.a⋅b=10

C.向量a与b夹角是π10.若a>0，b>0，则下列结论正确的有(

)A.a2+b2a+b≤22 B.若1a+4b11.如图所示，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，M，N分别是B′C′，C′D′的中点，E是线段B′D′上的动点，则下列判断正确的是(

)A.三棱锥N−MAE的体积是定值

B.过A，M，N三点的平面截正方体所得的截面是六边形

C.存在唯一的点E，使得AE⊥MN

D.AE与平面AMN所成的角为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(−4,3)，b=(6,m)，且a//b，则m=13.甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是13，乙解出这道题目的概率是45，这道题被解出(至少有一人解出来)的概率是______．14.在△ABC中，∠A=30°,AC=23，满足此条件△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(1,−2)，b=(3,2)．

(1)若ka−2b与2a+b垂直，求实数k的值；

(2)已知O，A，B，C为平面内四点，且OA=a+2b，OB16.(本小题15分)

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF/​/DE，∠BAD=60°，DE=DC=2AF．

(1)求证：AC⊥平面BDE；

(2)求证：AC//平面BEF．17.(本小题15分)

在△ABC中，bsin2A=−27asinB，a=8，c=7．

(1)求b值；

(2)求角C和△ABC18.(本小题17分)

某地区课改时实行高考新方案试点，规定：语文、数学和英语是必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．选考情况第1门第2门第3门第4门第5门第6门物理化学生物历史地理政治高一选科人数807035203560高二选科人数604555404060高三选科人数504060404070(1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；

(2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；

(3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的.为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，求这3名学生均选择了第1门科目的概率．19.(本小题17分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC中角B为直角，AA1=AB=1，侧面ABB1A1⊥底面ABC．

(1)求证：AB1⊥A1C；

(2)当A

参考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.D

6.D

7.D

8.C

9.BCD

10.BCD

11.AC

12.−913.131514.(15.解：(1)因为a=(1,−2)，b=(3,2)，

所以ka−2b=k(1,−2)−2(3,2)=(k−6,−4−2k)，

2a+b=2(1,−2)+(3,2)=(5,−2)，

因为ka−2b与2a+b垂直，所以(ka−2b)⋅(2a+b)=5(k−6)−2(−4−2k)=0，

解得k=229；

(2)因为OA=a+2b16.(1)证明：连接AC，BD交于点O，

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，

∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC，

∵DE∩BD=D，DE，BD⊂平面BDE，

∴AC⊥平面BDE；

(2)证明：取EB的中点M，连接OM，FM，

又O为BD的中点，则OM//DE，DE=2OM，

已知AF/​/DE，DE=2AF，

则有AF//OM，AF=OM，四边形AFMO为平行四边形，

有AO//FM，即有AC/​/FM，

∵AC⊄平面BEF，FM⊂平面BEF，

∴AC//平面BEF．

17.解：(1)因为bsin2A=−27asinB，

由正弦定理可得：sinB⋅2sinAcosA=−27sinAsinB，

在△ABC中，可得sinA>0，sinB>0，

可得cosA=−17，

又因为a=8，c=7，

由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccosA，

即64=b2+49−2b⋅7⋅(−17)，

可得b2+2b−15=0，

可得b=3或b=−5(舍)，

即b的值为318.解：(1)由题意知，样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，

故估计高一年级选历史学科的学生有400×20100=80人．

(2)由表格数据可知应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，

编号依次为A1，A2，A3，A4，A5，

从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为

{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,A4}，{A1,A5}，{A2,A3}，{A2,A4}，{A2,A5}，{A3,A4}，{19.解：(1)证明：因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，

因为平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC=AB，BC⊂平面ABC，

所以BC⊥平面ABB1A1，

因为AB1⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB1，

由三棱柱性质得四边形ABB1A1是平行四边形，又AA1=AB，

所以ABB1A1是菱形，所以AB1⊥A1B，

因为A1B∩BC=B，A1B、BC⊂平面A1BC，

所以AB1⊥平面A1BC，又A1C⊂平面A1BC，

所以AB1⊥A1C；

(2)(i)证明：当A1B=2时，因为AA1=AB=1，

所以AA1