2024-2025学年北京市昌平区东方红学校高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市昌平区东方红学校高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x∈Z|x≤2}，B={x|−2≤x≤3}，则A∩B=A.{x|0≤x≤3} B.{x|−2≤x≤4}

C.{0,1,2,3} D.{−2,−1,0,1,2,3,4}2.已知复数z=5+5i2+i(i是虚数单位)，则z的虚部是A.1 B.5 C.i D.3.二项式(x+1x)4A.1 B.2 C.6 D.124.设a，b是非零向量，则“a=−b或a=b”是“(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.直线y=x+1被圆(x−2)2+(y−3)A.1 B.3 C.2 D.6.将函数f(x)=cos(2x−π6)图象上的所有点向左平移5π6A.g(x)=cos(2x−2π3) B.g(x)在[−π3,π3]上单调递增

C.g(x)7.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为(

)A.45 B.35 C.5128.已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A.2213 B.42139.函数f(x)=(−a−5)x−2,x≥2x2+2(a−1)x−3a,x<2，若对任意x1，x2∈R(xA.[−4,−1] B.[−4,−2] C.(−5,−1] D.[−5,−4]10.已知集合A={−4,−3,−2,12,13,14,2,3}，若a，b，c∈A且互不相等，则使得指数函数y=ax，对数函数A.36 B.42 C.72 D.84二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是

12.已知双曲线C：x26−y23=1，则C的右焦点的坐标为

13.在△ABC中，若a=2，tanA=−43，cosB=45，则b=14.已知两点F1(−1,0)，F2(1,0)，点P(cosθ,sinθ)满足|PF1|−|PF2|=2，则△PF15.若存在常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足：f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b恒成立或(f(x)≤kx+b和g(x)≥kx+b恒成立)，则称此直线y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知函数f(x)=x2，g(x)=1x(x<0)，有下列命题：

①直线y=0为f(x)和g(x)的“隔离直线”．

②若y=−x+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”，则b的范围为[−4,−14].

③存在实数k，使得f(x)和g(x)有且仅有唯一的“隔离直线”．

④f(x)和g(x)之间一定存在“隔离直线”，且三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=217.(本小题14分)

已知函数f(x)=sin(2x+φ)+cos2x，其中|φ|<π2.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使f(x)存在，并完成下列两个问题．

(Ⅰ)求φ的值；

(Ⅱ)当x∈[−π6,π3]时，若曲线y=f(x)与直线y=m恰有一个公共点，求m的取值范围．

条件①：f(π6)=−1；

条件②18.(本小题14分)

在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位m)：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．

(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)19.(本小题15分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为23．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)过点P(−2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与20.(本小题15分)

已知函数f(x)=exln(1+x)．

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(Ⅱ)设g(x)=f′(x)，讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性；

(Ⅲ)证明：对任意的s，t∈(0,+∞)，有21.(本小题15分)

已知{an}是无穷数列．给出两个性质：

①对于{an}中任意两项ai，aj(i>j)，在{an}中都存在一项am，使得ai2aj=am；

②对于{an}中任意一项an(n≥3)，在{an}中都存在两项ak，al(k>l)，使得an=ak2al．

(参考答案1.C

2.A

3.C

4.A

5.C

6.D

7.C

8.B

9.A

10.C

11.{x|x>0}

12.(3,0)；13.3214.1π6(

15.①④

16.解：(1)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，因为AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，

所以AA1⊥AC．

又D，E分别为AC，A1C1的中点，则DE/​/AA1，

所以AC⊥DE，

因为AB=BC，D为AC中点，所以AC⊥BD，

又BD∩DE=D，DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，

所以AC⊥平面BDE．

(2)由(1)知AC⊥DE，AC⊥BD，DE/​/AA1．

又AA1⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC．

因为BD⊂平面ABC，所以DE⊥BD，

所以DA，DB，DE两两垂直，

如图，建立空间直角坐标系D−xyz，

则E(0,0,2)，D(0,0,0)，B(0,2,0)，A(1,0,0)，

所以DE=(0,0,2),AB=(−1,2,0),AE=(−1,0,2)，

设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z)，

则m⋅AB=0,m⋅AE=0,即−x+2y=0,17.解：(Ⅰ)选①时，f(π6)=sin(π3+φ)+cos(π3)=−1，即sin(π3+φ)=−1−cos(π3)=−1−12=−32，

sin(π3+φ)最小值是−1，故选条件①时，f(x)不存在；

选②时，f(−π12)=sin(−π6+φ)+cos(−π6)=0，

即sin(−π6+φ)=−cos(−π6)=−32，

所以−π6+φ=−π3+2kπ，k∈Z，或−π6+φ=4π3+2kπ，k∈Z．

即φ=−π6+2kπ，k∈Z，或18.解：(1)已知甲以往的9次成绩中有4次获得优秀奖，

若用频率估计概率，

则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为49；

(2)若用频率估计概率，

则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为36=12，

丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为24=12，

易知X的所有可能取值为0，1，2，3，

则P(X=0)=59×12×12=536，P(X=1)=2×5919.解：(Ⅰ)由题意得，

b=12c=23，∴b=1，c=3，a=2，

∴椭圆E的方程为x24+y2=1．

(Ⅱ)设过点P(−2,1)的直线为y−1=k(x+2)，B(x1,y1)，C(x2,y2)，

联立得y−1=k(x+2)x24+y21=1，即(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0，

∵直线与椭圆相交，∴Δ=[(16k220.解：(Ⅰ)对函数求导可得：f′(x)=ex[ln(x+1)+1x+1]，

将x=0代入原函数可得f(0)=0，将x=0代入导函数可得：f′(0)=1，

故在x=0处切线斜率为1，故y−0=1(x−0)，化简得：y=x；

(Ⅱ)由(Ⅰ)有：g(x)=f′(x)=ex[ln(x+1)+1x+1]，

g′(x)=ex[ln(x+1)+2x+1−1(x+1)2]，

令ℎ(x)=ln(x+1)+2x+1−1(x+1)2，令x+1=k(k≥1)，

设m(k)=lnk+2k−1k2，m′(k)=(k−1)2+1k3>0恒成立，

故ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，又因为ℎ(0)=1，

故ℎ(x)>0在[0,+∞)上恒成立，故g′(x)>0，

故g(x)在[0,+∞)上单调递增；

(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)有g(x)在[0,+∞)上单调递增，又21.解：(Ⅰ)不满足，理由：a32a2=92∉N∗，不存在一项am使得a32a2=am．

(Ⅱ)数列{an}同时满足性质①和性质②，

理由：对于任意的i和j，满足ai2aj=22i−j−1，

因为i∈N∗，j∈N∗且i>j，

所以2i−j∈N∗，则必存在m=2i−j，此时，2m−1∈{ai}且满足ai2aj=22i−j−1=am，性质①成立，

对于任意的n，欲满足an=2n−1=ak2al=22k−l−1，满足n=2k−l即可，因为k∈N∗，l∈N∗，且k>l，

所以2k−l可表示所有正整数，所以必有一组k，l使n=2k−l，即满足an=ak2al，性质②成立．

(Ⅲ)首先，先证明数