2024-2025学年湖北省襄阳五中高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省襄阳五中高三（上）月考数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|log2x≤1}，B={y|y=2A.A∪B=B B.A∪B=A C.A∩B=B D.A∩(2.复数z=3+4i2−i(其中i为虚数单位)的共轭复数z−A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限3.已知a=(x,2)，b=(2,−1)，且

a⊥b，则A.5 B.10 C.24.已知sinα=2sin(α+2β)，且tanβ=2，则tan(α+β)=(

)A.−6 B.−2 C.2 D.65.已知某圆锥的侧面积是其底面积的两倍，则圆锥的高与底面半径的比值为(

)A.3 B.3 C.15 6.设函数=f(x)在(−∞,+∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)=f(x),f(x)≤KK,f(x)>K.取函数f(x)=2−|x|.当A.(−∞,0) B.(0,+∞) C.(−∞,−1) D.(1,+∞)7.函数f(x)=4sin(3x+2)+2cos(3x+4)在(0,π)上的零点个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.48.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，A.3×251−156 B.3×251−103二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若随机变量X～N(0,σ2)，f(x)=P(X≤x)，则A.f(−x)=1−f(x) B.f(2x)=2f(x)

C.P(|X|<x)=2f(x)−1(x>0) D.若f(1+x1−x10.设函数f(x)=(x−1)2(x−4)，则A.x=1是f(x)的极小值点

B.f(2+x)+f(2−x)=−4

C.不等式−4<f(2x−1)<0的解集为{x|1<x<2}

D.当0<x<π211.已知曲线C是平面内到定点F(0,1)和定直线l：y=−1的距离之和等于4的点的轨迹，若P(x0,y0)A.曲线C关于x轴对称 B.曲线C关于y轴对称

C.−2≤x0≤2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线C1：x2a12−y2b12=1(a13.曲线y=2x与y=2+lnx的公切线方程为______．14.袋中有大小质地均相同的1个黑球，2个白球，3个红球，现从袋中随机取球，每次取一个，不放回，直到某种颜色的球全部取出为止，则最后一个球是白球的概率是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=2b，2sinA=3sin2C．

(1)求ab的值；

(2)若△ABC的面积为372，求16.(本小题15分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点P到直线x=4的距离与点P到点F(1,0)的距离之比为常数2.记P的轨迹为C，曲线C的上顶点为B．

(1)推导C的标准方程；

(2)过B的直线与C相交于另一点A.若△ABF面积为3，求直线AB的方程．17.(本小题15分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C为矩形，底面ABC为等边三角形．

(1)证明：A1B=A1C；

(2)若A1C⊥A118.(本小题15分)

在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标(a1,a2,a3)表示，其中ai∈{0,1}，i=1，2，3，而在n维空间中(n≥2,n∈N)，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标(a1,a2,a3,⋯,an)，其中ai∈{0,1}(1≤i≤n，i∈N).现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点(a1,19.(本小题17分)

已知e是自然对数的底数，常数k>0，函数f(x)=ex(1−x)，H(x)=lnx+kx．

(1)求f(x)、H(x)的单调区间；

(2)讨论直线y=x与曲线y=lnx−1的公共点的个数；

(3)记函数F(x)=ex(lnx−x+1)x,∀x参考答案1.A

2.A

3.B

4.A

5.B

6.C

7.C

8.A

9.ACD

10.BD

11.BD

12.2

13.x−y+1=0

14.41515.解：(1)∵2sinA=3sin2C，∴sinA=3sinCcosC，

由正余弦边角关系得，a=3c⋅a2+b2−c22ab，①

又c=2b，②

由①②得，a2b=3b(a2+b2−4b2)，

∴a2=92b2⇒a=322b，

∴ab=322；

(2)由16.解：(1)设P(x,y)，由题意可得|x−4|(x−1)2+y2=2，

化简可得3x2+4y2=12，即x24+y23=1．

所以C的标准方程为x24+y23=1．

(2)由(1)可得B(0,3)，

设直线AB的方程为x=t(y−3)，

联立x24+y23=1x=t(y−3)，

可得(3t2+4)y2−63t2y+9t2−12=0.设A(m,n)，

则3n=9t2−123t2+4，即n=17.解：(1)证明：取BC中点为O.连结AO，A1O.

因为侧面BB1C1C为矩形，所以BB1⊥BC，又AA1/​/BB1，则AA1⊥BC，

由底面ABC为等边三角形，所以AO⊥BC．

故BC⊥平面AA1O，

由于A1O⊂平面AA1O，故A 1O⊥BC．

又BO=CO，故A 1B=A1C.

(2)①证明：由A1C⊥A1B，O为BC的中点及A1B=A1C，所以A1O=BO=1．

又AO=3,AA1=2，得AA12=A1O2+AO2，则A1O⊥OA，

又A1O⊥BC，OA∩BC=O，所以A1O⊥平面ABC，

A1O⊂平面A1BC，故平面A1BC⊥平面ABC；

②18.解：(1)对于n维坐标(a1,a2,a3,⋯⋯,an)，ai∈{0,1}(1≤i≤n，i∈N)，

所以共有2n种不同的点，即共有2n个顶点；

(2)①对于X=k(1≤k≤n,k∈Z)的随机变量，

在坐标(a1X12⋯nPCC⋯C所以E(X)=1⋅Cn12n−1+2⋅Cn22n−1+⋯+n⋅Cnn2n−1，

倒序相加得，2E(X)=n2n−1(Cn0+Cn1+Cn2+⋯+19.解：(1)函数f(x)的定义域为R，且f′(x)=ex(1−x)−ex=−xex，

当x∈(−∞,0)时，f′(x)>0，当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0，

所以f(x)的单调递增区间是(−∞,0]，单调递减区间是[0,+∞)．

函数H(x)的定义域为(0,+∞),H′(x)=1x−kx2=x−kx2，常数k>0，

当x∈(0,k)时，H′(x)<0，当x∈(k,+∞)时，H′(x)>0．

所以H(x)的单调递减区间是(0,k]，单调递增区间是[k,+∞)．

(2)设ℎ(x)=x−lnx+1，它的定义域为(0,+∞),ℎ′(x)=1−1x=x−1x，

所以当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，即ℎ(x)单调递减；

当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，即ℎ(x)单调递增，

所以ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=1−ln1=2，

所以方程x−lnx=−1无实数解，

所以直线y=x与曲线y=lnx−1无公共点．

(3)根据已知，F(x)=ex−lnx[1−(x−lnx)]的定义域为(0,+∞)．

设t=ℎ(x)=x−lnx，由(2)得t≥1，且F(x)=f[ℎ(x)]=et(1−t)=f(t)．

由0<x1<x2，记ℎ(x1)=t1，ℎ(x2)=t2，则t1≥1，t2≥1；