直线、平面垂直的判定与性质（6题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题34直线、平面垂直的判定与性质6题型分类

彩题如工总

题型6：垂直关系的综合应用题型1:线面垂直关系的判断

题型5：证面面垂直题型2：证线线垂直

直线、平面垂直的判定与性质6题

型分类

题型4：面面垂直关系的判断题型3：证线面垂直

彩先也宝库

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

一般地，如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,就说直线/与平面a互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一条直线与一个平mUa、

1

nUa

面内的两条相交直线垂

判定定理加「1几=初

直，那么该直线与此平7

ILm

面垂直/_L〃J

ab

垂直于同一个平面的两a-La\

性质定理

条直线平行27

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂

直于平面，我们说它们所成的角是鳖；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是

TT

(2)范围：0,2.

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：如图，在二面角a一/一/的棱/上任取一点。，以点。为垂足，在半平面a和6内分

别作垂直于棱)的射线OA和则射线OA和OB构成的ZAOB叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范围：［0,兀］.

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一个平面过另一个

判定定理平面的垂线,那么这两

〃_1_川〃

个平面垂直

两个平面垂直，如果一

a工B、

个平面内有一直线垂直

aG6'='a

性质定理于这两个平面的交线,0/_La

l-La

那么这条直线与另一个

平面垂直

常用结论

1.三垂线定理

平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

2.三垂线定理的逆定理

平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.

3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

彩他题海籍

(一)

证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(〃〃。，Q_La=b_La);③面面平行

的性质(a_La,a〃④面面垂直的性质.

（2）证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.

题型1：线面垂直关系的判断

1-1.（2024•广西南宁•三模）已知/，机，w是三条不同的直线，a，夕是不同的平面，则下列条件中能推出a，4

的是（）

A.Iua,mu（3,且

B.lea,mu/3,〃u/?,且ILn

C.mua,nu0,mUn,且/_L“z

D.Iua,IIIm,且机_L£

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合线面垂直、面面垂直判定逐项判断作答.

【详解】对于A,Iua，mu（3,且/，〃?，a,夕可以平行、相交不垂直、垂直，A不正确；

对于B,/ua,“zu分，nu0,且/Zin,当私”不相交时，/不一定与£垂直，则a不一定与用垂

直，B不正确；

对于C,mua,n^/3,mlln,且/，加，显然直线/与a,6无关系，a,夕可以平行、相交不垂直、垂直，

C不正确；

对于D,由〃/m，得/，乃，又/ua,根据面面垂直的判定知D正确.

故选：D

1-2.（2024•重庆・模拟预测）已知/,切，〃表示不同的直线，a,夕，/表示不同的平面，则下列四个命题

正确的是（）

A.若〃/<z,_1.mlla,贝B.若mlla,nV（3,则就/〃

C.若mill,且机_La,贝！|/_LaD.若加_L〃，mLa,nll/3,则aJL#

【答案】C

【分析】根据线、面位置关系逐项分析判断.

【详解】对于选项A：若〃/a,且〃〃/夕，则/,机可能平行、相交或异面，并不一定垂直，故A错误；

对于选项B：若al/3,m"a,"工。，贝心小〃可能平行、相交或异面，并不一定平行，故B错误；

对于选项C：若加///,且根,c,根据线面垂直可得：/_La,故C正确；

对于选项D：若根_1_〃，mLa,但不能得到〃_Le,

所以虽然〃//,不能得到C分，故D错误；

故选：c.

1-3.（2024・甘肃天水•一模）设〃7，”是两条不同的直线，夕,尸是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若根_!_〃,〃〃a,则

B.若m〃/3,0La,则

C.若机_Lw,〃_L夕,£_Le,则mJ_tz

D.若机_!_/?,〃_L/?,〃_La,则〃?J_a

【答案】D

【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,若机_1_"，〃〃媛，则根ua或者加〃Q；或者相交，故A错误，

对于B,若〃?〃/?,0上a,则mua或者m//=或者相交，故B错误，

对于C,若mJ_〃，77,万，/3La,则mua或者机//以或者相交，故C错误，

对于D,若m工0,及工0,则“〃M，又"_La,所以mJ_a,故D正确，

故选：D.

题型2:证线线垂直

2-1.（2024高三•全国•专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为矩形，24,平面

ABCD,PA=AD=y/2AB,点/是PD的中点，证明：AMA.PC.

【分析】

先利用面面垂直的判定定理与性质定理推得CD_1_平面PAD,再利用线面垂直的判定定理证得AM1平面

PCD,从而得解.

【详解】因为丛=AD,点M是尸。的中点，所以AVfLQD.

因为PA_L平面ABCD,PAu平面PAD,所以平面R4£>_L平面ABCD,

因为四边形ABCD为矩形，所以CDJ_AD,

因为平面E4£）c平面ASCD=AD,CDu平面A5CD,

所以CD_L平面PAD,又AMu平面PAD,所以CO_LAM,

因为PDcCD=D,PD,CDu平面尸CD,

所以AM2平面PCD,

因为PCu平面尸CD,所以A〃_LPC.

2-2.（2024高三・全国・专题练习）如图，在三棱柱ABC-AB©中，AB=BC,AB}=BtC.证明：AC1BtB

B

【答案】证明见解析

【分析】取AC的中点。，利用等腰三角形结合线面垂直判定定理先证明AC1,平面然后由线面垂

直性质可得AC，与2.

【详解】取AC的中点。，连接80,BQ,

AB=BC,AB】=B©,:.AC±BD,AC±B,D,

又BDBXD=D,BRBQu平面BBQ,

二4。4平面8瓦。，

又因为8瓦u平面BBQ,

AC±B,B,

B

2-3.（2024高三・全国・专题练习）已知三棱柱ABC-4用6中，A8=AC=2,AA==AC=2,ABAC=90°,E

是BC的中点，尸是线段AG上一点.求证：AB±EF；

【答案】证明见解析

【分析】先证平面ABC,由线面垂直的性质可得AE_LAB,然后结合/BAC=90。可证平面

AGE,然后可证AB_LEF.

【详解】证明：连接AE,AE,E£

ABAC=9Q°,AS=AC=2,E是BC的中点，

:.AELBC,

:.BC=y/2AB=2y/2,AE=BE=EC=-BC=s/2,

2

AA=A8=AC=2,E是BC的中点，

.-.\EVBC,.•.4石=4笈-砥=j4-2=夜,

222

A.A=AE+A1E,AE±AtE,

AEoBC=E,AE,BCu平面ABC,

AEJ■平面ABC,

ABu平面ABC,^ElAB,

v在三棱柱ABC-ABC1中，AG〃AC,

AB±AC,AB1,

；AEcAC|=A,AE，AGU平面AGE

平面AGE,

£Fu平面AGE,

.\AB±EF.

2-4.（2024高三•全国•专题练习）在梯形ABC。中，ABHDC,ZDAB=90°,CD=2,AC=AB=4,如图

1.沿对角线AC将△D4C折起，使点。到达点P的位置，E为BC的中点，如图2.证明：PELAC.

图1图2

【答案】证明见解析

【分析】由题意，结合图1,连接OE交AC于点。，可证明COLDE,根据折起后ACLOP,AC1OE,

结合线面垂直的判定定理与性质即可证明.

【详解】因为AB//DC,ZDAB=90°,所以44DC=90。，

DC1

所以cosNACO=—=—,所以NACD=60。，则/C4B=ZACD=60。，

AC2

XAC=AB=4,所以.ABC为等边三角形，所以3。=4,又E为BC的中点，

连接DE交AC于点0,贝ljDC=CE=2,ZDCO=ZECO=60°,

所以DCO咨ECO,所以/COD=NCOE=90。，即CO1.DE,

则折起后，如图，ACYOP,ACrOE,又OEOP=O,OE,。尸u平面尸OE,

题型3：证线面垂直

3-1.（2024高三•全国•专题练习）如图,在三棱柱ABC-4与G中，平面ACQA，平面ABC,AC=BC=CCVD

是AA的中点，且，ACB=90,/D4c=60.证明：44,_L平面C3D；

【答案】证明见解析

【分析】由等边三角形得COLAA，由面面垂直的性质定理得3C1平面ACGA，从而得BC_LAA，再由

线面垂直的判定定理得证线面垂直.

【详解】连接CA，

由题意可知：△AC41为等边三角形，且。是AA的中点，

所以COLA4,,

因为平面ACC0_L平面ABC,平面ACGA1平面ABC=AC,ACIBC,3Cu平面ABC,

所以BC-L平面ACC〕A,

且A4,u平面ACGA，可得BCJ.AA，

CDcBC=C,CD,8Cu平面CBD,

所以44,，平面CBD.

3-2.（2024高三•全国•专题练习）如图所示，在三棱锥尸-ABC中，已知PAL平面ABC,平面平面

PBC.证明：平面加B；

【答案】证明见解析

【分析】过点A作先证明AE_LBC,再证明PA_L3C,根据线面垂直的判定定理即可证明结论.

【详解】过点A作于点E,

P

因为平面上平面PBC,且平面RIBc平面P8C=PB,AEu平面R钻，

所以平面PBC,

又BCu平面P3C,所以AE_LBC,

又B4_L平面ABC,3Cu平面P5C,

所以E4JL3C,

又因为AEPA=A,AE,R4u平面承B,

所以3cl平面R钻.

3-3.（2024高三•全国•专题练习）如图1,在五边形至3中，四边形ABCE为正方形，CDIDE,CD=DE,

如图2,将,ABE沿BE折起，使得A至A处，且其台上同。.证明：平面

图1图2

【答案】证明见解析

【分析】先证明"ELBE,继而证明48,平面AE。，可得。E，A8,根据线面垂直的判定定理即可证明

结论.

【详解】由题意四边形ABCE为正方形，CDLDE,CD=DE,

TTTT

得/BEC=/CED=—,则ZBEE>=—,故

42

因为ABLAE,则A3_LAiE,

又A8，A。，AR4。=A,AE,ADu面AED,所以人由，平面，

又DEu面AED,则。EL

又DE_LBE,A]BBE=B,A]Bu平面ABE,BEu平面ABE,

所以DE1平面ABE.

3-4.(2024高三•全国•专题练习)如图，在三棱锥C-ABO中，平面AB。，E为A8的中点，

AB=BC=AC=2,CG=2EG.证明：45/平面。£。；

【分析】按线垂直于面的判断定理，需证CDLAB,CE1AB.

【详解】因为CD_L平面AB£),ABu平面AB£),所以CD_LAB,

又因为AB=BC=AC,E为AB的中点，所以CE是ABC的中线，

所以CEIAB,且CEcCD=C,CE,C£>u平面CEO,

所以平面CED.

彩他题秘籍(_)

(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性质的应用

①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②若两个

相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.

题型4:面面垂直关系的判断

4-L（2024・陕西咸阳•二模）已知加，〃是两条不同的直线，夕是两个不同的平面，有以下四个命题：

①若加回〃，nua,则加国a,②若加ua,ml/?,则。_14，

③若m_La,ml/?,则。团/，④若al■尸，加ua,〃ua,则机

其中正确的命题是（）

A.②③B.②④C.①③D.①②

【答案】A

【分析】对于①，由线面平行的判定定理分析判断，对于②，由面面垂直的判定定理分析判断，对于③,

由线面垂直的性质分析判断，对于④，举例判断

【详解】对于①，当机［aw,wua时，机|aa或加ua,所以①错误，

对于②，当加ua,时，由面面垂直的判定定理可得a,所以②正确，

对于③，当相，尸时，有a团广，所以③正确，

对于④，当。，尸，机ua,"ua时，如图所示，加回"，所以④错误，

故选：A

42（2024・陕西咸阳•模拟预测）如图所示的菱形ABCD中，AB=2,/胡。=60,对角线AC,M交于点0,

将△ABD沿BD折到一A'3£＞位置，使平面AfiDJ_平面BCD.以下命题：

①3D_LAC；

②平面AOC_L平面BCD；

③平面ABC，平面ACD；

④三棱锥A'-BCD体积为1.

其中正确命题序号为（）

A.①②③B.②③C.③④D.①②④

【答案】D

【分析】通过证班）上面AOC可判断①②；求两平面所成的二面角可判断③；得到三棱锥的高后可判断

④.

【详解】如图：

因为四边形ABCD是菱形，Z.BAD=60°,

所以ABMADMBCMCDMBD,。为30的中点，

所以3D_LAO,BD1CO,4OcCO=O,4'0,。。＜=面4。。，

所以面A0C,又HCu面A0C,所以8DJ.AC,即①正确；

由①知面A0C,又BDu面BCD,所以平面A'0C_L平面BCD,即②正确;

如图：

取AC的中点为E,连接BE,DE,依题意，A'B=BC=A'D=CD,

所3E1AE,DELAC,所以乙BED是二面角3—4C—D的平面角，

又因为平面ABD_L平面BCD,平面A'flD）平面BCD=3。，BD_LA'O

所以面BCD,一ABD和△BCD是边长为2的正三角形，

所以A0=OC=V?二？=百，且有AOJ_OC,

所以在Rt^AOC中，AC=布,

又A3C和是两全等的等腰三角形，AB=BC=AD=CD=2,

AC的中点为E,所以BE=DE=

由已知可得△"二）是边长为2的正三角形，得BD=2,

则在△BDE中，容易算得a=2,BE=DE=—,BD2^BE2+DE2>

2

所以NBSDW90,所以二面角3-A'C-O不是直二面角，故③错误；

由已知可得△BCD是边长为2的正三角形，又由上得A0_1面5CZ）,

所以三棱锥A-i3co的高即为AO,AO=6△BCD是边长为2的正三角形，

所以三棱锥A—38的体积为:SBC/AO=；X；X2X2X争白=1,故④正确.

故选：D.

4-3.（2024•河南•模拟预测）已知名夕是两个不同的平面，相，”是两条不同的直线，则下列命题中正确的是

（）

A.若a_L尸，相_La,相_1_"，则〃_L，B.若a〃/3,mua,nu。,则加〃”

C.若mLn,mua,nu0,则（z_L,D.若m工a,m〃n,n〃/3,则夕_1_尸

【答案】D

【分析】

根据线面位置关系及面面位置关系逐项判断即可.

【详解】

对于A,可能会出现“〃尸，或〃与£相交但不垂直的情况，所以A不正确；

对于B,私〃可能平行、可能异面，所以B不正确；

对于C,若a〃尸，仍然满足根ua,wuQ且〃z_L〃，所以C不正确；

对于D,77z_La,7〃//7z,则〃_La,再由〃///?,可得。_1_尸,可知D正确.

故选：D.

题型5:证面面垂直

5-1.（2024高三•全国•专题练习）如图，已知直角梯形ABCD与ADEb,2DE=2BC=AD=AB=AF=2,

ADVAF,ED//AF,AD^AB,BC//AD,G是线段上一点.求证：平面ABCDEI平面ABF

【答案】证明见解析

【分析】根据线线垂直可证线面垂直，进而可得面面垂直.

【详解】因为AD，"1,ADJ.AB,AFr^AB=A,AF,ABu平面A8尸，

所以4£>EI平面ABF,又ADu平面ABC£）,

所以平面ABCD团平面ABF.

.2兀

5-2.（2024IWJ二,全国,专题练习）如图，P为圆锥的顶点，A,8为底面圆。上两点，Z.AOB=—,E为PB

中点，点尸在线段上，且AF=2FB.证明：平面AOP_L平面OEF；

【答案】证明见解析

【分析】证明面面垂直，先证线面垂直，利用勾股定理证明。4_L。尸，再由尸底面。，u底面O,

得出「OLOF,即可得证.

【详解】设圆。的半径为r,

27r7t

在,AQ3中，OA=OB=r/AOB=——,ZOAB=-,

f36

故48=技，又AF=2FB,故生，

3

在，AO尸中，由余弦定理得OP?=QV+A尸2一出0幽4歹ZOAF=^r2,

所以OT+O尸2=A尸2,即Q4_LO//；

圆锥中，尸。/底面O,OPu底面O,故PO_LOF,

又OAcOP=O,所以OP,平面AOP,

又Obu平面OEF,所以平面AOP_L平面OEE

5-3.（2024局二,全国,专题练习）如图，在二棱柱ABC-AB]G中，侧面BB[C]C为菱形，ACBBt=60°,

AB—BC—2,AC=A4=0.证明：平面ACB]_L平面2片（7。；

【分析】

根据三角形边角关系可得AO^BC，进而结合勾股定理可得80,即可求证线面垂直，进而可证面面

垂直.

【详解】如图，连接BG，交gC于。，连接49.

因为侧面22。。为菱形，所以4CLBG，且。为BG的中点.又4?=做=应，故A。，片C.

又AB=BC=2,且NCB耳=60。，所以CO=1,BO=VL

所以4。="1C2_CO2=1.又AB=2,所以AB?=3。2+4。2,所以AOJ_3O.

因为80,CB|U平面84GC,BOCB]=O,所以AO,平面88。。.

又AOu平面AC4，所以平面AC瓦，平面8片GC.

5-4.（2024高三•全国•专题练习）在如图所示的空间几何体中，ACD与/XACB均是等边三角形，直线£DJ_

平面AC。，直线EB_L平面A5C,DELBE.求证：平面ASC/平面AT>C；

D

E

AB

【答案】证明见解析

【分析】根据线面垂直得线线垂直，进而结合等边三角形的性质可得二面角AC-。的平面角为-30D,

由平面四边形可得/3OD=90。，即可求证.

图1

如图1,设平面与直线AC的交点为0,连接8。，D0.

因为直线£D_L平面AC£>,直线EBJ_平面ABC,ACu平面AC。，ACu平面ABC,

所以DE1AC,BELAC.

因为DEcBE=E,DEu平面3DE,3Eu平面BDE,

所以AC_L平面

因为BOu平面BDE,DOu平面5DE,

所以301AC,DO±AC.

又因为.ACO与△ACB均是等边三角形，

所以0为AC中点，且二面角B-AC—D的平面角为/3OD.

在平面四边形BODE中，

因为/BED=ZEDO=ZEBO=90°,

所以/83>=90。，

所以平面ABC，平面ADC.

5-5.（2024高三•全国•专题练习）如图所示，在几何体PABCD中，AD_L平面上4B,点C在平面上钻的投

影在线段尸3上（BC<PC）,BP=6,AB=AP=2拒,DC=2,CD〃平面HU3.证明：平面PCD_L平面尸AD.

【答案】证明见解析

【分析】由题意可知平面BCP_L平面过点C作CE_LP3,如图，根据面面垂直的性质可得AT>_L平面

PAB,进而CE〃94,由线面平行的性质可得四边形AECD为平行四边形，利用正弦定理可得

结合面面垂直的判定定理即可证明.

【详解】由题知，平面3cpl,平面PAB,过点C作必的垂线，垂足为E,连接AE,

又平面BCP）平面上45=尸3,所以CE_L平面R4B.

因为AD_L平面PAB,所以CE〃ZM,则C,D,A,E共面.

因为CD〃平面CDu平面CZME,平面CD4E平面E4B=E4,

所以C£）〃E4,则四边形AECD为平行四边形，所以AE=OC=2.

因为BP=6,AB=AP=2#）,所以cosZS4PE=—尸=――,

2V32

TTTT

因为OvNA尸Ev二，所以44尸£=一，

26

ADAE_2

由正弦定理得「石石=./dpf,即sin/A£?=T，

sin/AEPsm/APE—

2

所以sinNAEP=立，因为0</AEP<W，所以/AEP=工，

223

TT

所以/胡尸=-,即AEJLAP.

2

因为">_L平面E4B,AEu平面BIB,所以AE_LAD,

又因为ADAP=A,AD,APu平面PW,所以AE_L平面AT>P.

由CD〃E4,得C£>_L平面ADP.

又CDu平面PCD,所以平面PCD_L平面PAO.

彩僻题秘籍(二)

垂直关系的综合应用

(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质

进行推理论证.

题型6:垂直关系的综合应用

6-L(2024•安徽淮北•一模)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，

BC=2AB,ZABC=60°,PB1AC.

BC

⑴求证：面巳4/?_1_面48。。；

⑵设。为侧棱尸。上一点，四边形是过8,。两点的截面，且AC「平面BEQE是否存在点。，使

得平面5EQ尸，平面必。？若存在，确定点。的位置；若不存在，说明理由.

【答案】⑴证明见解析；

2

(2)存在点。，DQ=-DP.

【分析】(1)结合余弦定理，勾股定理可得ACLAB,又ACLPB,所以AC,面进而得出结论；

(2)建立以A为原点的空间直角坐标系，求出平面以。的法向量4,设。Q=/LDP,求得平面BE0F的

法向量%，由4•%=0得出答案.

【详解】（1）在ABC中，因为3c=2AB,ZABC=60°,

所以3=AB?+BC2-2AB-BCcos60°=3AB2,AC=也AB,

所以ACZ+A笈MBC?,则/BAC=90。，即ACLAB,

又AC_LP3,PBcAB=B,PB,ABu面B42,

所以47_1面出8,又ACu面ABC。，

所以面丛8_1面488；

（2）假设存在点。，使得平面，平面E4D；

如图，以A为原点，分别以AB,AC为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系A-孙z,

设AB=2,则4（0,0,0）,5（2,0,0）,D（-2,273,0）,P（LO,#）,

AD=（-2,2A/3,0）,AP=（1,0,A/3）,胡=卜4,2迅,0）,那=（3,-2g,g）,

n.•AD——2x,+2y/3y,=0/广\

设%=（占,%,zj是平面以。的法向量，贝i]"__，取4=

“,AP—石+，3Z]—0

设£>Q=XDP,其中0W2W1.

则BQ=BD+DQ=BD+WP=02-4,2万-2技,而）

连接ER因AC.平面8EQEACu平面以C,平面P4C一平面=所，故AC〃EF,

取与同向的单位向量/=（0,1,0）,

设％=（%2，%/2）是平面BE。尸的法向量，

则]"「'=%=0厂厂，取〃z=（技,0,4-3”.

7

%.BQ=（32-4）X2+2A/3（1-2）%+V32z2=0'

2

由平面BEQ尸，平面B4D,知力，”,有勺・%=3%+32—4=0,解得％=§.

2

故在侧棱尸。上存在点。且当。。=；D尸时，使得平面BEQF，平面PAD.

6-2.（2024•江西赣州•模拟预测）如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧面A41c<是矩形，侧面88。°是菱形,

ZBtBC=60,D、E分别为棱AB、qG的中点，尸为线段的中点.

（1）证明：A厂〃平面4。石；

（2）在棱8月上是否存在一点G,使平面ACGL平面若存在，请指出点G的位置，并证明你的结论;

若不存在，请说明理由.

【答案】⑴证明见解析

（2）存在，且点G为棱B片的中点

【分析】（1）取4G的中点连接A"、EM、FM,证明出平面AW〃平面AOE，再利用面面平行

的性质可证得结论成立；

（2）当点G为棱2月的中点时，推导出8男，平面ACG,再结合面面垂直的判定定理可得出结论.

【详解】（1）证明：取AG的中点M，连接AAf、EM、FM,

因为AA〃B瓦且A4,=BB1,故四边形为平行四边形，所以，AB//4与且AB=A4，

因为。为A8的中点，则ADHA{B{且A£>=g4耳，

因为M、E分别为4G、耳£的中点，所以，EM//A4且，

所以，ACM/EM且A£>=EM,故四边形ADEM为平行四边形，所以，AMHDE,

因为AM（Z平面AOE,DEu平面ADE，所以，AM〃平面

因为M、尸分别为AG、GE的中点，所以，FM//A.E,

因为平面AQE,AEu平面AOE,所以，FM〃平面AQE,

因为AMc引0=",AM,府<=平面”河，所以，平面AR0〃平面4DE,

因为AFu平面AFM,故A尸〃平面HOE.

（2）解：当点G为B片的中点时，平面ACGL平面BBCC，

ClFEBl

A

因为四边形A4CC为矩形，则AC_LCG，因为BB'/CG，则BB|_LAC,

因为四边形BBC。为菱形，则BC=84，

因为NB|BC=6。，贝UBfC为等边三角形，

因为G为8片的中点，所以，BB.1CG,

因为ACcCG=C,AC,CGu平面ACG,所以，2月，平面ACG,

因为平面BBCC，所以，平面ACGL平面2片GC,

因此，当点G为2月的中点时，平面ACGL平面B4GC.

6-3.（2024・天津・二模）如图，在三棱锥A-BCD中，顶点A在底面BCD上的射影。在棱3。上，AB=AD

=母,BC=BD=2,0CB£>=9O°,E为CD的中点.

A

C

（1）求证：AZ®平面ABC；

（2）求二面角8-AE-C的余弦值；

（3）已知尸是平面A3。内一点，点。为AE中点，且PQ回平面ABE,求线段P。的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）（3）B.

32

【分析】（1）只需证明BCHAZ）及AZBAB,即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式求解；

（3）设出点P的坐标，依题意「0//相，进而求解.

【详解】（1）因为顶点A在底面BCD上的投影。在棱8。上，

所以AO0平面BCD,

因为AOu平面ABD,

所以平面ABLCI平面BCD,

因为回C&)=90°,

所以362，

因为平面ABDc平面BCD=BD,BCu平面BCD,

所以803平面A8D,

又ADu平面AB。，

所以BCSAD,

由AB=AD=，BD=2,得BZ)?=AB?+AD?，

所以AZMAB,

因为A8cBC=B,A8u平面ABC,BCu平面ABC,

所以AIM平面ABC.

(2)连接OE,因为。为3£)的中点，E为CD的中点，0£B8C,所以。瓦2。，

如图，以。为坐标原点，分别以OE,OD,OA为x轴，y轴，z轴为正方向，建立空间直角坐标系,

则。(0,0,0),A(0,0,1),B(0,-1,0),C(2,-1,0),D(0,1,0),E

(1,0,0),

AC-(2,-1,-1),AB=(O,-1,-1),AE=(1,O,-1),

设平面ABE的一个法向量加=(x,y,z),

in-AB=—y-z=0

m-AE-x-z-0

取x=l,得加=(1,-1,1),

设平面ACE的一个法向量，=(a,b,c),

【答案】⑴证明见解析

(2)存在点。，它就是点8；

【分析】(1)由M、N、P分别是CG，AB,B片的中点.利用平行四边形、三角形中位线定理即可得出

NPUAB,,CPUMB,,再利用线面面面平行的判定定理即可得出结论.

(2)假设在线段8耳上存在一点。使A与，平面四边形AB4A是正方形，因此点。为B点.不妨

取3c=2.判断A3「MQ=0是否成立即可得出结论.

【详解】(1)(1)证明：M、N、P分别是C。，AB,8瓦的中点.

.■.NP//AB,,四边形A/CP4为平行四边形，可得CP//MA，

因为NP仁平面AB,M；ABtu平面AB.M；

.•.NP//平面；

同理可得CP〃平面A4M;

又CPNP=P,0,初＜=平面NPC,

平面NPC〃平面A4M.

(2)假设在线段上存在一点。使A与，平面AM。.

四边形A3与4是正方形，因此点8为点Q.

不妨取3C=2,如图建立空间直角坐标系，则河(0,-1,1),2(0,1,0),A(6,0,0),4(0,1,2),A(6,0,2)

AB,=(-A/3,1,2),MQ=(O,2,-l),AM=(-73-1,-1)

\ABl•MQ=0fA/?1.A"=x]x(-1)+2x(-1)=0.

所以AB,±A,M,又MQ=M,MQ，AMu平面其知。，所以平面AM。,

在线段2片上存在一点Q,使A瓦，平面AMQ,其中点B为。点.

B炼习与梭升

一、单选题

1.（2024高三上•湖北•开学考试）已知a,6是两条不重合的直线，a为一个平面，且曲。,贝1|"舶a"是

的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可得出选项.

【详解】当加a时，结合a回可得a〃6,充分性满足;

当。〃6时，结合aEla,可得流la,必要性满足.

故选：C.

2.（2024高三上•山东潍坊•阶段练习）在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABC。-4月6。中,

4

M=2,异面直线A8与A2所成角的余弦值为则直线A2与直线5c的距离为（）

A.2B.1C.J3D.72

【答案】B

【分析】根据异面直线48与AR所成角的余弦值为|4■求出底面正方形的边长，进而可求解.

【详解】

如图，该四棱柱为长方体，因为

所以为异面直线A.B与AD,所成角，

设底面正方形边长为a,贝ljAC=缶,AD,=CR=y/a2+4，

A£＞；+CD；_AC284

在，中,cosZAD]C=

2a2+8-5

2ADXCDX

解得a=l,

因为该四棱柱为长方体，所以A5工平面BCG瓦，4Cu平面JBCG片,

所以A8L与C,同理ABLAj,

所以直线AR与直线gC的距离为|钻|=4=1，

故选:B.

3.（2024高一下•全国•课后作业）若平面C平面夕，平面尸，平面乙则（）

A.aPy

B.«-L/

C.。与7相交但不垂直

D.以上都有可能

【答案】D

【分析】以正方体为模型可得D正确.

【详解】在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底

面垂直，故选D.

【点睛】立体几何中关于点、线、面之间位置关系的命题的真假问题，可在正方体中考虑它们成立与否，

因为正方体中涵盖了点、线、面的所有位置关系，注意有时需要动态地考虑位置关系.

4.（2024高三・全国•专题练习）空间中直线/和三角形的两边AC,8C同时垂直，则这条直线和三角形的

第三边A3的位置关系是（）

A.平行B.垂直C.相交D.不确定

【答案】B

【分析】由线面垂直的判定以及线面垂直的定义可判断结果.

【详解】因为三角形的两边AC，有交点C,

且直线/和AC,BC同时垂直，

所以该直线垂直平面A3C,故该直线与A3垂直.

故选：B

5.（2024•全国）在正方体ABCD-A46。中，P为BQ的中点，则直线PB与所成的角为（）

兀

C.D.

4

【答案】D

【分析】平移直线AQ至BC-将直线网与AR所成的角转化为PB与BG所成的角，解三角形即可.

如图，连接BG，PG，PB,因为ARiaBG，

所以NP3G或其补角为直线PB与A'所成的角，

因为3片J_平面4片GR,所以又PCR,BBqBR=Bi，

所以PG，平面尸7狙，所以PG，尸8,

设正方体棱长为2,则BQ=2夜,PQ=g2旦=后，

sinZPBC1=^=1,所以

nCj26

故选：D

6.（2024•黑龙江齐齐哈尔•一模）已知两条不同的直线/,加及三个不同的平面a,P，y,下列条件中能推出

a〃〃的是（）

A./与a,0所成角相等B.,）3Ly

C.ILa,mL（3,IIImD.Iua,m<^（3,IIIm

【答案】C

【分析】ABD可举出反例；C选项，可根据平行的传递性和垂直关系进行证明.

【详解】对于A,正方体ABCO-ABCR中，设边长为。，连接的，则NQ明为与平面4班出所成

角，

由勾股定理得到AB]=缶,AQ=瓜，故sinK他=宕=*,

同理可得AG和ADD^所成角的正弦值为B,故AG与平面A即A和">24所成角大小相等，

3

但平面ABB,A与平面ADD{\不平行，故A错误；

B选项，平面ABCDEI平面,平面A3CDEI平面,但平面与平面AD0A不平行，故B

错误；

对于C,由/_La,/〃加得又mJ■耳，所以a