圆的方程（9题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题40圆的方程9题型分类

彩题如工总

题型1:求圆的方程

彩先正宝库

1.圆的定义和圆的方程

定义平面上到定点的距离等于定运的点的集合叫做圆

圆心C(a,b)

标准(x—a)2+(y—Z?)2=r2(厂>。)

半径为r

方程圆心c（一号-f）

x2+y2+Dx+Ey+F^0

一般

(£>2+£2-4f>0)半径r=^\/D2+E2—4F

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M（xo，yo）与圆C：（x—。y+⑪-6）2=，之间存在着下列关系：

2

m\MC\>r^M在圆处，即（犹-a）+（y0-bf>r^M在圆外；

（2）|MC|=rOM在圆上，即（xo—a）?+（jo—bp=r20M在圆上；

（3）|MC|<rOM在圆内,即（我一aA+So—b）2c户0M在圆内.

【常用结论】

1.以A（xi，yi）,8（尤2，y2）为直径端点的圆的方程为（x—尤1）（无一X2）+（y—yi）（y—〉2）=0.

2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

3.圆心在任一弦的垂直平分线上.

彩偏题祕籍

(―)

1.求圆的方程的常用方法

⑴直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

⑵待定系数法

①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a,b,r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,尸的方程组，进而求出。，E,尸的值.

2.方程//石y+歹=o表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0,故在解决圆的一般式方程的有关问题

时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为半径/=；’0+八一4尸

3.点与圆的位置关系判断

⑴点尸(%,%)与圆(x-4+⑶-4=户的位置关系:

①(x-a)2+(y-fe)2>/o点P在圆外；

②(x-a)?+(y—b)2=/o点尸在圆上；

③(x-0)2+(y-4</。点尸在圆内.

(2)点尸(x(),%)与圆X?+9+Dx+£y+F=0的位置关系：

①北+此+Dx。+E%+尸>0o点尸在圆夕卜；

②焉+y；+r»Xo+E%+F=Oo点P在圆上；

③君+北+。.％+£%+尸<。0点P在圆内.

4.(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称

(2)圆关于点对称：

①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程

②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点

(3)圆关于直线对称：

①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程

②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线

题型1:求圆的方程

1-1.(2024高一上•江苏连云港•期末)求过两点4(0,4),3(4,6),且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的标准

方程是()

A.(尤+4了+(y+l)z=25B.(%+4)2+(y-l)2=25

C.(%-4)2+(y+l)2=25D.(x-4)2+(y-l)2=25

【答案】D

【分析】由圆心在直线x-2y-2=0上，可设圆心C(2b+2,b),再根据圆心到两点A(0,4)、B(4,6)

的距离相等，求出b的值，即得圆心和半径，从而求得圆的标准方程.

【详解】设圆心坐标为C(2b+2,b),由圆过两点A(0,4),B(4,6),可得|AC|=|8C|,

即「(26+2)_0丁+优_4)2=](26+2)_4丁+仅_6)2,解得2=1,

可得圆心为(4,1),半径为5,则所求圆的方程为。-4)2+5-1)2=25.

故选：D.

1-2.(2024高三下•陕西西安•阶段练习)过点P(4,2)作圆/+V=4的两条切线，切点分别为A,B,则PAB

的外接圆方程是()

A.(x-2)2+(y-l)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20

C.(x+2)2+(y+l)2=5D.(%+4)2+(j7+2)2=20

【答案】A

【分析】由切线性质得。、A、8、尸四点共圆，O尸为直径，求得圆心坐标和半径可得圆方程即为所求.

【详解】由圆/+/=4,得到圆心0(0,0),由题意知0、4、8、尸四点共圆，RW的外接圆即四边形。ABB

的外接圆，又尸(4,2),从而O尸的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，尸卜遂为所求圆的半径，所以所求

圆的方程为(x-2)z+(y-l)2=5.

故选：A

1-3.(2024・福建福州•模拟预测)已知A(-G,0),B(60),C(0,3),则VABC外接圆的方程为()

A.(x-l)2+/=2B.(x-l)2+y2=4C.x2+(y-l)2=2D.x2+(y-l)2=4

【答案】D

【分析】求得VA5C外接圆的方程即可进行选择.

【详解】设NABC外接圆的方程为（尤-a）?+（y-6）2=/

2(22

(-V3-a)+0-Z?)=ra=Q

则有,(73-a)2+(0-&)2=r2,解之得■b=l

(0-a)2+(3-Z?)2=r2r-2

则NABC外接圆的方程为f+（y-1）?=4

故选：D

题型2:用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件

2-1.（2024高二上•甘肃金昌•期中）若方程Y+V+依+2>+2=0表示圆，则实数。的取值范围是（）

A.a<-2B.a>2

C.。<-2或a>2D.aV-2或

【答案】C

【分析】根据公式加+严一4尸>0,即可求解.

【详解】若方程f+/+ox+2y+2=0表示圆，则“2+2?-4x2>0,

解得：a>2或-2.

故选：C

22（2024高三•全国裸后作业）关于尤、y的方程+B孙+Cy2+Z）x+与+尸=0表示一个圆的充要条件

是（）.

A.B=0,且A=CHO

B.B=l,且犷+炉-4”>0

C.8=0,且4=。h0,D2+E2-4AF>0

D.8=0,>A=C^0,D2+E2-4AF>0

【答案】D

【分析】根据圆的一般式方程可得答案.

【详解】关于x、y的方程A—+M+Cy2+m+石伊+尸=。表示一个圆的充要条件是

B=0

，A=CwO,即5=0,且4=<7/0,D2+E2-4AF>0.

故选：D

2-3.（2024高三下•河南•阶段练习）"”＜1"是"方程2/+2/+2办+6y+5a=0表示圆"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

根据二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是O?+百一4尸＞o可得答案.

【详解】因为方程2/+2y2+2依+6y+5a=0,即x?+/+or+3y+当=。表示圆，

等价于/+9-10。＞0,解得。＞9或a＜1.

故"a＜1"是"方程2/+2y2+2ax+6y+5a=0表示圆”的充分不必要条件.

故选：A

题型3:点与圆的位置关系判断

3-1.（2024・辽宁•二模）已知圆+=/，直线/：3x+4y=r2,若/与圆。相交，则（）.

A.点尸（3,4）在/上B.点尸（3,4）在圆。上

C.点P（3,4）在圆。内D.点P（3,4）在圆。外

【答案】D

【分析】根据/与圆。相交，可知圆心到直线的距离小于半径，列出不等式，再判断点与直线和圆的关系.

【详解】由已知/与圆O相交，，可知圆心到直线的距离小于半径,

则有|r段2|干r2「

故rv5,

把尸（3,4）代入3x+4y=9+16=25＞，，所以点不在直线/上，故A错误;

又|3=5＞乙则点尸（2,3）在圆。外，故D正确.

故选：D.

3-2.（2024高二上・全国・课后作业）若点（。+1,。-1）在圆/+;/_2冲-4=0的内部,则4的取值范围是（).

A.a>lB.0<a<lC.-l<a<—D.a<l

5

【答案】D

【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.

【详解】由题可知，半径r=7?工，所以把点S+1M—1）代入方程，

则（々+1）2——2a（。一1）一4<0,解得a<l,所以故4的取值范围是avl.

故选：D

3-3.（2024高二上•全国•课后作业）点尸（5,m）与圆/+/=24的位置关系是（）

A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不确定

【答案】C

【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外.

【详解】因为52+苏=25+川>24,所以点在圆外，

故选：C

3-4.（2024•甘肃定西•模拟预测）若点（2,1）在圆Y+y2_x+y+a=o的外部，则。的取值范围是（）

A.[l>+s]B.1fC.D.（f-4）iu（；,+oo）

【答案】C

【分析】

利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.

【详解】依题意，方程尤Z+—尤+y+。=0可以表不圆，则（-1）2+12-4a>0,得。<5；

由点（2,1）在圆/+/-x+y+a=0的外部可知：22+12-2+1+a>0,得a>4

故-4<。<一.

2

故选:C

题型4:与圆有关的对称问题

4-1.（2024•西藏日喀则•一模）已知圆C:x?+y2-4x+2oy+3=0关于直线x+2y—6=0对称，圆C交丫于A、

8两点，贝U|AB|=

【答案】2

【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再由圆C关于直线x+2y-6=0对称，则圆心

在直线x+2y-6=0上，即可求出。的值，最后求出圆心到直线的距离，利用勾股定理、垂径定理计算可得.

【详解】圆C:Y+;/-4x+2ay+3=。，即（x-Z）’+（y+a）2="+i,圆心C（2,-a）,半径厂=Jq2+],

因为圆C关于直线x+2y-6=0对称，所以2+2义（一。）-6=0,解得。=一2,

所以（x-2?+（y-2）2=5,圆心C（2,2）,半径厂=君，

则圆心C（2,2）到V轴的距离d=2,所以|=2介=2.

故答案为：2

4-2.（2024高三上•江西南昌•阶段练习）已知圆（x+iy+（y-2）2=9上存在两点关于直线

依一处+2=0（<7>0,6>0）对称，贝1]。2+4。2的最小值是.

【答案】2

【分析】依题意有直线过圆心，得到。+2。=2,再利用重要不等式求4+4/的最小值.

【详解】圆口+炉+仃-2）2=9上存在两点关于直线依-"+2=0（。>0,6>0）对称，所以直线过圆心，有

-a—2b+2=0,即Q+2/?=2.

91

a2+4b2=a2+（2Z?）>2-a-2b=4ab,当且仅当a=2Z?,即Q=1,人=耳时等号成立.

91

团4=（a+2b）=a2+4Z?2+4ab<a2+4Z?2+a2+4Z?2,BPa2+4Z?2>2,所以々=1,6=5时，/+4"的最小值为

2.

故答案为：2

4-3.（2024高二上•上海浦东新•阶段练习）已知圆。与圆。：炉+/—41—2y+3=0关于直线4%+2y—5=0

对称，则圆。的方程为.

【答案】/+丁=2

【分析】已知圆。：x2+y2-4x-2y+3=0,化为标准方程可得圆心坐标及半径，圆C与圆D关于直线对

称，转化为两圆心关于直线对称，半径相等，求出圆C的圆心，则可得圆C的方程.

【详解1因为％?+J_4x—2y+3=0=>(x—2)2+(y—I)2=2,

设圆C的圆心为C(a,b),

又因为圆。与圆。关于直线4%+2y-5=0对称,

即圆心。(2,1)与(々㈤关于直线4%+2y-5=0对称,

b-1

•(—2)=—1

ci—2a=0

所以,，解得

.巴吆CbK+1L八b=0'

4+2---------5=0

I22

所以，圆C的方程为f+V=2

(二)

求与圆有关的轨迹问题的常用方法

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.

(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.

题型5:与圆有关的轨迹问题

5-1.(2024高三・全国・专题练习)已知圆6:了2+,2-4工=0,平面上一动点「满足：尸加？+尸解=6且M(T,0),

Ml,0).求动点尸的轨迹方程；

【答案】/+9=2

【分析】设P(x,y),依题意得至(J(x+1产+y2+(x-l)2+y2=6,整理即可得解.

【详解】解：设尸(x,y),由尸”+尸产=6,

所以(％+1)2+丁+(尤_1)2+/=6,整理得/+丁=2,

即动点尸的轨迹方程/+/=2.

5-2.(2024・福建)动点尸(x,y)到两定点4(-3,0)和3(3,0)的距离的比等于2,求动点P的轨迹方程，并说

明这轨迹是什么图形.

【答案】(*-5)2+产=16；动点P的轨迹是以(5,0)为圆心，半径是4的圆

\PA\

【分析】题意可知舄=2,由两点间得距离公式化简即可求解

\PB\

PA

【详解】由题意可知:=2,

PB

又p(x,y),又—3,0)和3(3,0),

化简得%2-10x+y2+9=0BP(x-5)2+/=16,

所以动点P的轨迹是以（5,0）为圆心，半径是4的圆

5-3.（2024高三・全国,专题练习）已知P（4,0）是圆Y+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点，且满足

ZAPB=90°,求矩形APBQ顶点Q的轨迹方程.

【答案】x2+y2=56

【分析】根据可得|AM2=|（M|2-|OM|2以及RtAP3中|4囱斗尸河1可求点M的轨迹，再根据M

为PQ中点即可求解.

【详解】连接AB,PQ,设与PQ交于点如图所示.

因为四边形APB。为矩形，所以M为尸。的中点，连接。

由垂径定理可知，4民

设加（“，加），

由此可得|引0412ToMF=36一（焉+yj）.①

又在RtARB中,

W|AM|=|PM|=J(x“-4)2+求.②

由①②得xj+yj-4彻-10=0,

故点M的轨迹是圆.

因为点M是P。的中点，设QO,y),

rm%+4y

贝加=三—‘加=;,

代入点M的轨迹方程中得,

会+审一4x詈一叫0,

整理得尤2+,2=56,即为所求点。的轨迹方程.

5-4.(2024高二下•广东深圳•期中)点尸(1,0),点。是圆V+V=4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨

迹方程是()

【答案】A

【分析】设出点M坐标，得出。点坐标，代入圆方程，即可得到线段尸。的中点M的轨迹方程.

【详解】设点河的坐标为“(无,y),因为M点是线段PQ的中点，

可得。(2尤-l,2y),点。在圆上，

则(2x-l)2+(2yy=4,即］尤_：Jy=i.

故选：A.

与圆有关的最值问题的求解方法

(1)借助几何性质求最值：形如f=ax+6y,(龙一ap+G—6)2形式的最值问题.

(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判

别式法、基本不等式法等求最值.

(3)求解形如1PM+IPNI(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，

把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之

和，一般要通过对称性解决.

题型6:利用几何性质求最值

6-1.(2024•河北•一模)直线/：分+外一4=0与圆0：/+丫2=4相切，则(a-3)2+(b-4)2的最大值为()

A.16B.25C.49D.81

【答案】C

【分析】利用圆与直线的位置关系得出的方程，根据方程分析利用(。-3)2+(6-4)2表示的几何意义求解

即可.

【详解】由直线Z与圆。相切可得：

圆心0(0,0)到直线/的距离等于圆的半径，

故。2+从=4,即点(。㈤在圆。上,

(a-3>+3-4)2的几何意义为圆上的点(”,6)与点(3,4)之间距离的平方，

由"+/=4圆心为(0,0),

因为3?+42>4,

所以点(3,4)在圆4+从=4外,

所以点(“力)到点(3,4)的距离的最大值为圆心到(3,4)的距离与圆半径之和，

即d+r=J(3-0『+(4-0)2+2=7,

所以(a—3)2+(Z?-4)2的最大值为72=49.

故选：C.

6-2.(2024•吉林白山•一模)已知圆。:/+/一八-6丫+12=0与直线/：x+y-l=。，P,。分别是圆C和直

线/上的点且直线P。与圆C恰有1个公共点，则的最小值是()

A.A/7B.2A/2C.V7-1D.2V2-1

【答案】A

【分析】

\PQ\=7|Ce|2-|CP|2=7|ce|2-l，|CQ|的最小值为圆心C(2,3)到直线的距离,可求|尸0的最小值.

【详解】

圆C:x2+y2-4尤一6y+12=0化为标准方程为C:(x—2)2+(y—3)2=l,

则圆C的圆心为C(2,3),半径r=1,则|CP|=1,

直线PQ与圆C相切，有|叫=J|CQ『TC斤=J|CQ'-1,

因为点。在直线/上，所以|C02个芳一2虎，则|p乖6.

即|PQ|的最小值是近.

故选：A

6-3.(2024・重庆)设尸是圆(x—3)2+(y+l)2=4上的动点，。是直线尤=—3上的动点，贝力尸。|的最小值为

()

A.6B.4C.3D.2

【答案】B

【详解】当PQ所在直线过圆心且垂直于直线x=—3时，|PQ|有最小值，且最小值为圆心(3,—1)到直线x

=—3的距离减去半径2,即最小值为4,故选B.

题型7:利用函数求最值

7-1.(2024高三•全国•对口高考)在平面直角坐标系xOy中，以点A(2,0),曲线y=6二7上的动点以第

一象限内的点C,构成等腰直角三角形ABC,且NA=90。，则线段OC长的最大值是.

【答案】2拒+1/1+20

【分析】设B(cos6,sin。)，0<^<7T,C(私〃)(加,〃>0),运用两点的距离公式和两直线垂直的条件，可得机，

〃的方程，解方程可得C的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，运用正弦函数的值域，即可得到所求最

大值.

【详解】曲线y=7T8是以0为圆心，1为半径的上半圆，

可设8(cos6,sin。)，O<0<n,C(m,n)(m>0,n>0),

由等腰直角三角形ABC,可得AB1AC,即有A3,AC

(cos6—2,sin^)•(m—2,n)=0即(加一2)(cos6—2)+〃sin8=0,①

22

IA51=|AC|,即有J(8-2)2+/-(cos-2)+sin0,

即为(加一2>+/=(cos。一2>+sin26,②

由①②解得〃:=2+sin。，"=2-8S6,

或相=2-sin。，〃=cos6-2(舍去).

则|OC\=J(2+sineJ+(2-cos'。

=+sin20+cos2+4sin-4cos0

=j9+40sin(e—：),

当即6=,«0,可，取得最大值匹懑=2五+1」

故答案为：2五+1

7-2.(2024・浙江•模拟预测)已知圆0：/+3?=4和点4(4,4),由圆外一点尸向圆。引切线，切点分别为

M、N,若|AP|TPM|=|PN|,则|OP|的最小值是()

A70R772「90n972

4242

【答案】C

【分析】设p(x,y),利用=|0蛆2+户河『=4+|尸河『=4+卢4可得尤+、=1,再由依1=&2+M利

用配方法可得答案.

【详解】设尸(％y),连接OM,则可得|OM「+|PM2=QP「，

所以|OP「=|OM『+|PM「=4+四0=4+|尸4「，

009

22

即4+(%-4)+(y-4)=x+y9可得了+工万，

所以|。尸|=6+/=小2+=｝［一］+三，

当x时，述.

4114

故选：C.

彩物秘籍

7/（四）

求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们

的直线系方程（圆系方程）.

⑴直线系方程：若直线与y+G=。与直线/2：4尤+&〉+^=0相交于点「，则过点尸的直线系方

：4（4%+旦y+G）+4（4尤++C2）=o（42+后w0）

简记为：44+%%=。（不+若。。）

当。时，简记为：4+鸡=0（不含4）

（2）圆系方程：若圆C］：无2+尸+£）俨+£；丫+月=。与圆。2：尤2+产+己苫+马y+8二。相交于A，2两点，则

22

过A,8两点的圆系方程为：x++Dxx+Exy++A（x+y~+D2x+E2y+F2）=0（A—1）

简记为：G+/G=0（4H-1）,不含C2

当4=7时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）l-.（Dl-D2）x+（E-E2）y+Fl-F2=0

注意：与圆C共根轴/的圆系a:C+2/=0

题型8：圆系方程

8-1.（2024高二上•安徽铜陵•期中）经过直线》-2>=0与圆尤2+/一4尤+2、-4=0的交点，且过点（1,0）的

圆的方程为.

【答案】x2+y2+3x-12y-4=0

【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出2的值，即可确定所求圆的

方程.

【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为:

尤2+_4x+2y_4+—2y)=0

回所求圆过点(1,0)

El—7+2=0

解得2=7

所以圆的方程为f-4x+2y-4+7(x-2y)=0,化简得Y+y?+3x-12y-4=0.

故答案为：x2+/+3x-12y-4=0.

【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键.

8-2.(2024高三下•江苏盐城•阶段练习)曲线3/一丁=3与,=/一2x-8的四个交点所在圆的方程是

【答案】(%-4)2+(^-2)2=49

【解析】根据题意得到：3x2-y2-4(x2-2x-8)=3-4y,化简得到答案.

［详解］3x2—_y2=3,y=x2—2x—8,3%2—y~—4^%2—2%—8j=3—4y,

化简整理得至lj：x2+y2-8x-4y-29=0,BP(x-4)2+(y-2)2=49.

故答案为：(x-4y+(y-2)2=49.

【点睛】本题考查了曲线交点求圆方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.

8-3.(2024高二•辽宁•学业考试)过圆尤2+V-2y-4=0与f+V-4x+2y=0的交点，且圆心在直线

/:2x+4y-l=0上的圆的方程是.

【答案】x2+y2-3x+y-l=0

【分析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线/的方程,

从而求出圆的方程.

【详解】设圆的方程为f+V-dx+Zy+Af+y-Zy—.nOlaN—l),

贝”(1+2)尤2一4%+(1+2)/+(2—2；1)丁—4；1=0,

r。。42-22y"=。,(2

BPx+y-----x+所以圆心坐标为LT+I,T+IJ

1+A1+21+A

把圆心坐标［三，汜］代入2x+4y-l=0,可得2

yi+Z1+X/3

所以所求圆的方程为/+y2-3x+y-l=0.

故答案为：x2+y2-3x+y-l=0.

彩得甄秘籍（五）

圆过定点问题，想办法求出含有参数6的圆的方程，然后按参数3整理后得/S）=。，只要让此关于6的多

项式中各项系数（包括常数项）均为0,就可解得定点.

题型9:圆过定点问题

9-1.（2024高二下•上海徐汇•期中）对任意实数机，圆1+产-33_6冲+9m-2=0恒过定点，则定点坐标

为

【答案】（U）或

[r2+V2-2=0

【分析】由已知得炉+y_2-（3%+6y-9）祖=0,从而「:「八，由此能求出定点的坐标.

[3尤+6>—9=0

【详解】解：x2+y2-3mx-6my+9m-2=0,BPx2+y2-2-(3%+6y-9)m=0,

二;：一：’解得X=Ly=i，或x=2'y=l

令

3x+6y-9=055

所以定点的坐标是（1,1）或

故答案为:

9-2.（2024高三•浙江温州•阶段练习）已知动圆圆心在抛物线V=4x上，且动圆恒与直线x=-L相切，则此

动圆必过定点

【答案】（1,0）

【分析】由抛物线方程可确定焦点和准线，结合抛物线定义可知动圆必过焦点，由此可得结论.

【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点为产（1,0）,准线为X=-1；

设动圆圆心为

动圆与直线x=T相切，，动圆半径「即为其圆心M到直线x=-L的距离；

,•,动圆圆心M在抛物线上，.•』用同=乙，动圆必过点尸。,0）,即所求定点为（1,0）.

故答案为：（1,0）.

9-3.（2024高三下•上海闵行,期中）若抛物线丁=工2+依+6与坐标轴分别交于三个不同的点A、B、C,则

NABC的外接圆恒过的定点坐标为

【答案】（0,1）

【分析】设抛物线y=v+分+6交V轴于点3（0⑼，交X轴于点4（40）、C（x2,0）,根据题意设圆心为

?（一■!，，，求出「=等，写出圆P的方程，可得出关于X、y的方程组，即可得出圆P所过定点的坐标.

【详解】设抛物线y=Y+以+6交y轴于点3（0,。），交x轴于点4（和0）、C（x2,0）,

由题意可知A=/-4/?>0,由韦达定理可得％+九2=-CL,玉%2=b,

所以，线段AC的中点为［-|,。］,设圆心为《川，

由|尸理=「8「可得,+3,+〃=£+（一32,解得:才+叫—/

27cmi—b—b2Z?+1।7\—b

%+axx+Z?=0,贝!J.=---------=------，贝"z'一人=----,

-2b22

所以，圆尸的方程为［x+^|［+［y—等）a2+(l-b)2

4

整理可得(x2+y2-y)+or+6(l-y)=0,

尤2+y2_y=0

[x=0

方程组，尤=。的解为,

[y=i

l-y=0

因此，VABC的外接圆恒过的定点坐标为（0,1）.

故答案为：（0,1）.

炼习与稷升

一、单选题

1.（2024高三下•广西•阶段练习）若直线X+2y+l=。是圆（%—〃）2+丁=1的一条对称轴，贝|）。=（）

11.

A.—B.—C.1D.—1

22

【答案】D

【分析】根据直线过圆心代入求解即可.

【详解】由题意得，圆心为(。,0),

因为直线X+2y+1=0是圆(X—a)2+V=1的一条对称轴，

所以直线过圆心，即。+1=0,解得a=—l.

故选：D

2.(2024高二・全国•课后作业)若方程*2+)/2+2入x+2入y+2N一4+1=0表不圆，则A的取值范围是()

A.(1,+8)B.1,1

C.(1,+oo)0(-oo,1)D.R

【答案】A

【分析】根据表示圆的条件。2+0—4F>O,解不等式即可.

【详解】因为方程x?+y2+2入x+2Ay+2M—4+1=0表不圆，所以。2+。—4F>0,

BP4A2+4A2-4(2A2-A+l)>0,解不等式得;1>1,即入的取值范围是(1,+-).

故选：A.

3.(2024高二上•海南海口•期中)已知方程炉+产+J赢+2>+2=0表示圆，则实数根的取值范围为()

A.(1,+co)B.(2,+oo)C.(3,+oo)D.(4,+oo)

【答案】D

【分析】根据题意得到(而了+22-4X2>0,再解不等式即可.

【详解】因为方程d+y2+石晟+2y+2=0表示圆，

所以(J/)~+22-4X2>0,解得〃Z>4.

故选：D

4.(2024•浙江•模拟预测)圆C：(x-l)2+(y-2)2=2关于直线x-y=0对称的圆的方程是()

A.(1)2+0+2)2=2B.(x+l)2+(,+2)2=2

C.(x-2)2+(y-l)2=2D.(尤+2)2+(y+iy=2

【答案】C

【分析】根据点关于直线>=天对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.

【详解】由圆C：(x—iy+(y—2)2=2,可知圆心坐标：(L2),半径为&,

因为点(1,2)关于直线>=%的对称点为(2,1),

所以圆C：(*-11+(尸2)2=2关于直线》-丫=0对称的圆的方程是

(%-2)2+(y-l)2=2,

故选：C

5.(2024高二上•青海西宁・期末)已知圆心为(-2,3)的圆与直线x-y+l=O相切，则该圆的标准方程是()

A.(x+2)2+(y-3)2=8B.(x-2)2+(y+3)2=8

C.(x+2)2+(y-3)2=18D.(x-2)2+(^+3)2=18

【答案】A

【分析】由圆心到切线的距离等于半径，求出圆的半径，即可得到本题答案.

【详解】因为圆心为(-2,3)的圆与直线芯-、+1=0相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即

所以该圆的标准方程是(x+2)2+(y-3)2=8.

故选：A

6.(2024•广东佛山•模拟预测)已知圆C：(X-1)2+/=4,过点A(0,l)的两条直线《，4互相垂直，圆心C

到直线4，4的距离分别为4，d2，则44的最大值为()

A.-B.1C.J2D.4

2

【答案】B

【分析】由四边形是矩形，应用勾股定理可求需+以=2,再利用基本不等式可得答案.

【详解】过圆心C分别作直线4，4的垂线，垂足分别为E，F.

.4，6互相垂直，所以四边形AEC尸为矩形.

由圆C：可得C(l,0),又A(0,l),

:.d^+d^CEf+\CFf^ACf-=2>2dtd2,

所以4d2£1，当且仅当4=4=1时取等号，即44的最大值为L

故选：B.

7.（2024•北京）若直线2x+y—1=。是圆（I—Q）2+〉2=I的一条对称轴，贝（）

11

A.-B.—C.1D.—1

22

【答案】A

【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解.

【详解】由题可知圆心为因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2。+0-1=0,解得。=；.

故选：A.

8.（2024高二・全国•课后作业）若圆C：/+9一2（机_1.+2（根_1）,+2疗一6瓶+4=0过坐标原点，则实

数加的值为（）

A.2或1B.-2或-1C.2D.-1

【答案】C

【分析】根据圆的一般方程的定义，结合过原点列方程即可求解.

【详解】团九之+丁2-2（加一1）%+2（加一l）y+2信一6m+4=。表示圆，

团[―2（m—1）于+[2（加一1）丁一4（2m2—6m+4^>0

0m>1.

又圆。过原点，

团2m2—6m+4=0,

团根=2或m=1（舍去）；

「•m=2.

故选:C.

9.（2024•湖南郴州•模拟预测）己知A,B是C,（x-2/+（丫-4）?=25上的两个动点，P是线段的中

点，^\AB\=6,则点P的轨迹方程为()

A.(x-4)2+(y-2)2=16B.(x-2)2+(y-4)2=11

C.(x-2)2+(y-4)2=16D.(x-4)2+(y-2)2=11

【答案】C

【分析】由圆的垂径定理得CP，AB,利用勾股关系求得|CP|=4,结合圆的定义即可求出点尸的轨迹方程.

【详解】因为中点为P,所以又|AB|=6,所以|CP|=/25-=4,

所以点尸在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为(x-2y+(y-4)2=16.

故选：C.

10.(2024高三下•重庆•阶段练习)德国数学家米勒曾提出过如下的"最大视角定理"(也称"米勒定理")：若

点A,8是NMON的边上的两个定点，C是ON边上的一个动点，当且仅当VA2C的外接圆与边QV相切

于点C时，/ACB最大.在平面直角坐标系中，已知点。(2,0),醺4,0),点尸是y轴负半轴的一个动点，

当"EE最大时，OEF的外接圆的方程是().

A.(x-3)2+(y+2V2)2=9B.(x-3『+卜-2可=9

C.(尤+2可+(y_3『=8D.(X-2>/2)2+(J-3)2=8

【答案】A

【分析】由米勒定理知当ZDEE最大时，。印的外接圆与V轴负半轴相切，再由点。和E的坐标得出半

径和圆心横坐标，设圆心为尸(3,切，由圆上点到圆心的距离为半径列出方程，得出6,即可写出圆的方程.

【详解】由米勒定理知当NDbE最大时，DER的外接圆与丫轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，

因为点。(2,0),矶4,0),

所以圆心在直线x=3上，

又圆与>轴负半轴相切，

所以圆的半径为3,

设圆心为尸(3,。)，b<0,

则|PD|=J1+6=3,解得万=±2夜，

又6<。，

所以b=-2"

所以DER的外接圆的方程是(x-3>+(y+2应尸=9,

故选：A.

11.(2024高二・全国•课后作业)已知直线(3+2㈤x+(3X-2)y+5-4=0恒过定点尸，则与圆C：

。-2)2+(丁+3)2=16有公共的圆心且过点2的圆的标准方程为()

22

A.(x-2)2+(y+3)2=36B.(x-2)+(j+3)=25

C.(x-2y+(y+3)2=18D.(尤一2)2+(y+3)2=9

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出定点P的坐标，再求出圆C的圆心C及线段CP长即可求解作答.

[详解](3+22)x+(32-2)y+5-2=0,gp(2x+3y-l)2+(3x-2y+5)=0,

[2元+3y-l=01尤=一1,,

由。J,八解得,,即P(—1,1),圆C：(x-2)2+(y+3)2=16的圆心C(2,-3),|PC|=5,

[3%-2y+5=01)=1

所以所求圆的标准方程为(X-2)2+(y+3)2=25.

故选：B

12.(2024高二上,甘肃庆阳,期末)已知圆C:/+y2=25与直线/：3x-4y+〃z=0(m>0)相切，则圆C关于

直线/对称的圆的方程为()

A.(x+3)2+(y-4)2=16B.0+3)2+(>-4)2=25

C.(x+6)2+(y-8)2=16D.(x+6)2+(y-8)2=25

【答案】D

【分析】利用圆与直线相切，求出加，然后求出过圆C圆心垂直于直线/的直线方程，联立求出交点，再利

用中点公式求出关于直线对称后圆的圆心坐标，半径没有改变，即可解决问题.

【详解】由圆C:/+y2=25的圆心为原点。，半径为5,

又圆C与直线/相切，

则。到直线/的距离为1=5,

贝"d=^W^=5，解得加=25,

设过。且与/垂直的直线为4，

贝l"o：4x+3y=0,

f4x+3y=0fx=—3

联立，

[3x-4y+25=0[y=4

得直线/与4的交点为(-3,4),

设圆心0(0,0)关于点(-3,4)的对称点为(p,n),

-21P=-6

由中点公式有八0Q

4=----i

[2

所以圆心0(0,0)关于点(-3,4)的对称点为(-6,8),

因此圆C关于直线/对称的圆的方程为：(x+6)2+(匕8)2=25,

故选：D.

13.(2024高一上・广东广州•期末)已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这

个圆的方程是()

A.x2+y2+4x-2y=0B.x2+y2-4x+2y-5=0

C.f+y?+4尤-2y-5=0D.x2+y2-4x+2y=0

【答案】A

【分析】根据中点坐标公式求出直径两端点的坐标，然后求出半径，再求出圆的方程即可.

【详解】设直径的两个端点分别4(。,0)1(08),

圆心C为点(-2,1),由中点坐标公式，得=2=_2,学=1,解得a=T/=2.

22

回半径r=-2+盯+(1-0)2=也,

团圆的方程是。+2)2+(y-l>=5,即x2+y2+4x-2y=0.

故选：A.

14.(2024•全国)在平面内，A,B是两个定点，C是动点，若ACBC=1,则点C的轨迹为()

A.圆B.椭圆C,抛物线D.直线

【答案】A

【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.

【详解】设9=2a(a>0),以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,

则：A(-a,O),B(a,O),设C(x,y),可得：AC=(x+