解三角形中的范围与最值问题（十七大题型）（解析版）-2025数学一轮复习（含2024年高考试题+回归教材）

重难点突破03解三角形中的范围与最值问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：周长问题...............................................................2

题型二：面积问题...............................................................6

题型三：长度和差比问题.........................................................10

题型四：转化为角范围问题.......................................................15

题型五：倍角问题...............................................................18

题型六：角平分线问题与斯库顿定理..............................................21

题型七：中线问题..............................................................24

题型八：四心问题..............................................................28

题型九：坐标法................................................................36

题型十：隐圆（阿波罗尼斯圆）问题..............................................40

题型十一：两边逼近思想........................................................45

题型十二：转化为正切有关的最值问题............................................47

题型十三：最大角（米勒问题）问题..............................................51

题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题...................................55

题型十五：托勒密定理及旋转相似................................................61

题型十六：三角形中的平方问题..................................................66

题型十七：等面积法、张角定理..................................................70

03过关测试....................................................................73

1/91

1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点.解决这类问题,

通常有下列五种解题技巧：

（1）利用基本不等式求范围或最值；

（2）利用三角函数求范围或最值；

（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；

（4）根据三角形解的个数求范围或最值；

（5）利用二次函数求范围或最值.

要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函

数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形

自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大.

2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：

（1）求角的最值；

（2）求边和周长的最值及范围；

（3）求面积的最值和范围.

题型归纳与

题型一：周长问题

【典例1-1】（2024•全国•二模）在AIBC中，内角/,B,。所对的边分别为a,b,c,

2acosA=bcosC+ccosB,且a=4sin/,则周长的最大值为（）

A.472B.6收C.4>/3D.6^3

2/91

【答案】D

【解析】因为2acosZ=bcosC+ccosB,

由正弦定理得2sinAcosA=sinBcosC+sinCcos5=sin（5+C）=sin4,

因为sin4w0,所以cos/二工，由于4E（0,兀），故4=g,贝lj。=4sin乌=2百，

由正弦定理得士=47=4,

sinAsinBsinC

故Z?+c=4sin5+4sinC=4sinB+4sij=4sin5+2sin5+1T3cos5=AT3sin^5+^,

乂Be,仔］,则8+台3,1^,所以sin.+fegl］,则6+问2后4码，

故ZL45C周长a+6+c的最大值为6月.

故选：D.

【典例1-2］（2024•广西河池•模拟预测）已知中角A,B,。的对边分别为。，b,c,且

2ccosA=acosB+bcosA.

⑴求角A；

（2）若。=百，求”3C的周长的最大值，并求出此时角5,角。的大小.

【解析】（1）由2ccos/=acos5+6cos4,

则有2sinCcosA=sinAcos5+sincosA,

即2sinCcosA=sinAcos5+sin5cos4=sin（4+8）=sinC,

由CE（0,兀），故sinC〉0,则有2cos/=1,即cos4=L即4=g；

（2）由余弦定理。2=62+。2一可得3=/+。2-A,

贝!|3=（b+c）2-36c,故优+C）2—3=36CW3（"],

当且仅当6=c时，等号成立，即伍+c『W12,即b+cV2省,

即。的周长的最大值为36，止匕时a=6=c=百，即3=C=W.

【变式1-1]（2024•江西南昌•三模）在锐角中，a=2。，（2b-c）cos/=acosC,

⑴求角A；

⑵求AASC的周长/的范围.

【解析】（1）（2b-c）cosA=acosC,

/.2bcosA=acosC+ccosA,

所以2sin5cosA=sinAcosC+sinCcosA,

3/91

所以2sinBcosA=sin(4+C)=sin8,

因为sinBwO,所以cos4=,，

2

所以N=g.

..a_2V3_4

(2).sin/V3，

T

hc

所以一^二」一二4,

sinBsinC

2兀

所以6=4sin5,c=4sinC=4sin(T—3),

所以/=a+b+c=2V3+4sin5+4sin(g-B)

=2V3+4V3sin(5+-),

6

因为“BC是锐角三角形，且/=，

0<^<-

2,解得

所以

oc27tdM62

32

所以8+3邑？),所以sin(3+凯淳,1],

O3362

所以/e(6+236何

【变式1-2］(2024•广东广州•一模)AASC的内角/,B,C的对边分别为a,6,c且满足a=2,

acosB=(2c-6)cos/.

(1)求角A的大小；

⑵求“8C周长的范围.

［解析］(1)由余弦定理，a."。i=(2°_方/+/-/

lac2bc

化简得〃+°2—/=从，

所以cos/J+^Y

2bc2

TT

因为0＜力＜兀，所以/=§.

4/91

b_c_a_2_4^3

(2)由正弦定理：sin8sinCsinAV33，

T

贝Ijb=^sin8,c=l^sinC，

33

由(1)5+C=年，故a+b+c=2+^^(sinB+sinC)=2+2^sinB+sinf-B

3

=2+(sinB+~~~cosBsinB)=2cosBH-sinB

2

7T

=2+4sin(5+-)

因为0<3<@=0<8+4<型，则L<sin(5+四)VI,

366626

所以4<Q+6+C«6,即周长范围是(4,6].

【变式1-3](2024・贵州贵阳•模拟预测)记”式C内角4B,C的对边分别为a,b,c,且

{^a1+b2-c2^acosB+bcosA)=abc.

⑴求C；

(2)若AABC为锐角三角形，c=2,求力BC周长范围.

【解析】(1)在“5C中，由射影定理得〃cos3+6cosZ=。，

222

则题述条件化简为a+b-c=ab，

由余弦定理得/+/_/=2abeosC.

可得cosC=g,Ce(0,7t),

所以c=q.

(2)在“BC中，

a_b_c_2_4A/3

由正弦定理得siih4sinBsinC.兀3，

sin—

3

则A2IBC周长C“8c=a+b+2=2+~~~(SIIL4+sia5)=2+~~~

因为siiL4+sin(g—/]=V5sin[/琮)，贝ijC^ABC=2+4sin^y4+-^-

2兀

因为“BC为锐角三角形，4+5=$,

5/91

7171,兀兀2兀

则得Ze,AH----G

65263'万

故帕+力(争

，。“尤£(2+2式6].

题型二：面积问题

【典例2-1】(2024•四川德阳•模拟预测)在zUBC中，角A、B、。所对的边分别为。、b、c,且

.小C7

smC=—cos—,b=3.

32

⑴求5;

(2)若小BC为锐角三角形，求小5。的面积范围.

cB

【解析】(1)因为sinC=—cos—,b=3,

32

B

所以sinBsinC=sinCeos—,

2

因为sinCwO,

BBBB

所以sinB=cos—,则2sin—cos—=cos—,

2222

因为cosOw0,

2

.B1D8(兀、B71

所以sm^),又不£0,万卜则nt|彳=[,

22212/2o

所以84.

(2)设“3C的外接圆半径为K,则2R=上=26,

sin5

所以SMBC=~acsinB=-2Rsin^427?sinCsinB=3\^sin/sin

22

/1.A

=3GsinAcosAd■—smZ,

27

=\n/c°s/+逋smg\n2/+3S\-cos2A

224~22

9.”36-3囱

=­sinz.A--------cos2ZH-------,

444

6/91

3A/3.r..KY373

=-----sin2A——+------，

2I6；4

因为AABC为锐角三角形,

Q<A<-

所以、2,解得

八2兀，兀62

0<A<—

32

兀―/兀57r

则一<24——<——,

666

1

则一勺皿2A--<1,

2\6

grpr3G9^3

所以“BC的面积范围（孚，竽］■

【典例2-2］（2024•全国•模拟预测）已知在锐角-3C中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且

加=(2sinx,G),n=(cosx,cos2x),f^x)=m-n,/(3+C)=0.

⑴求角/的值;

（2）若6=1,求“BC面积的范围.

【解析】(1),加=(2sinx,G),n=(cosx,cos2x),f^x)=m-n,

•••/(%)=2sinxcosx+V3COS2X

;in2x+V3cos2x=2sin(2x+§j.

二S：

TT

又/(5+C)=0,,sin2(8+。)+]=0.又为锐角三角形,

.•.2(5+C)+工=2兀或%.•.8+C=型或工(舍去)，.•./='.

3636

（2）由正弦定理知号=—、=*,

sinAsmBsinC

,JI1

又•・•b=\,A=—,a=—；---

62sin5

sin|J+8_V31cosB_V311

S=—absinC=88sin888tan5

24sin5

7/91

5Gl°'y］

<’（、故得到：三B<?且<s〈走,

3

工"生］286

6I2；

V3Vj、

.­.AA8C面积的范围为T，-6"

7

【变式2-1］（2024•四川攀枝花•三模）已知A4BC的内角4B、C的对边分别为a、b、c其面积为S,且

（e+°）2-/=4屈

（I）求角A；

（II）若°=6,6=m（《7>0）,当八48。有且只有一解时,求实数加的范围及5的最大值.

【解析】分析：（D利用余弦定理和三角形的面积公式化简（6+c）2=465得到

sin,-口=g,再解这个三角方程即得A的值.（II）先根据zUBC有且只有一解利用正弦定理和三角函数

的图像得到m的取值范围%e（0,G］u{2},再写出S的函数表达式求其最大值.

（I）由已知b1+c2-a2+2bc=2百6csinA

A

由余弦定理得2bccosA+2bc=2<3bcsinA,

所以cos/+1=6siih4,BPsin|A---|,

AeO,7i,

.71,冗571、.7171

A——G(——,——),A——=—,

66666

所以/=（

。1）由已知，当AA8C有且只有一解时，

〃?sin?='或0〈加4行,所以加e（0,百］0{2}；

（i）当加=2时，AABC为直角三角形，

5=--bV3=—

22

（拓）当0<加工6时,

8/91

m

=m=2sin5

由正弦定理.一;^

3

S=；•VJsiM•sinC=出sinB•sin\2至71—B

3

=—sinBcosB+-sin2B

22

2222

sinl25-^

24

71

3

所以，当时，52=空＞与

3max42

综上所述，£ax=?.

【变式2-2］（2024•陕西安康•模拟预测）如图，在平面四边形/BCD中，AB=AC=BD=IO,当四边形

ABCD的面积最大时，BC2+CD2+DA2的最小值为___.

【答案】700-400V2

则四边形/BCD的面积为S=S.ABD+=gxNOsin6+；xCOsin6=gADx/Csin<9

50sin。,

9/91

TT

因0<。<兀，故当且仅当sin9=l,即6=5时，Smax=50.

IT

当e时，T^AO=x,OB=y,则CO=10_x,OD=10_y,

+CD'+DA2y2+（10x）2（10y）2+（10x）2+x2（10y）2=3（x2+y2）-40（x+y）+400,

因/。2+3。2=100,即x2+y2=100,

由（》+»=/+/+2中42，+/）=200,贝1J有x+”lO0,当且仅当x=y=5后时取等号，

即当x=y=5夜时，BC2+CD2+ON?的最小值为3oo_40x1附+400=700-40m.

故答案为：700-400VL

【变式2-3］（2024•陕西西安•模拟预测）在。8c中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且°=遥,

V6cos5=（3c-Z>）cos^,则AX8C面积的最大值为.

【答案】至Re

22

【解析】因为。=遥，V6cosB=（3c-b）cosA,所以J^cos8=〃cos8=（3。一b）cos力，

由正弦定理可得sin/cosB=3sinCcosZ-sin5cos力,即sin（4+B）=3sinCcosZ,

sinC=3sinCcosA,因为。£（0,兀），所以sinCwO,故cos/=g,

由余弦定理/=〃+/_2bccos力得（指）=b2+c2~~tfc»

所以6=〃+/>2bc--bc,BP<—,当且仅当b=°=当2时取等号，

3322

由cos/=g,/e（O,兀），得sin/二逆，

J3

乐”C1,•,12V2,V293A/2

所以S=—bcsmA=—x------be<——x—=------.

"ARr223322

故答案为：逑.

2

题型三：长度和差比问题

【典例3-1】(2024•广东深圳•模拟预测)已知力5C中内角/,B,。的对边分别为a,b,c,且满足

V3c+6sin4=百。cosB•

(1)求角A的大小；

10/91

(2)若。是边5C上一点，且4。是角4的角平分线，求不的最小值.

AD

【解析】(1)由题意知“gC中，Cc+bsinA=jacosB,

故追sinC+sinBsinA=6sinAcosB

即V3sin(Z+B)+sinBsinA=VJsinAcosB，

即V3(sinAcosB+cosAsinB)+sinBsinA=sinAcosB,

所以6cos/sin5+sin8siii4=0，

而5£(0,兀)，故sinBwO,

V3COSA+sinA=0EPtanA=-VJ,

又/e(O,兀)，故Z=g；

(2)由余弦定理：BC=ylb2+c2-2bccosA=y/b2+c2+be»

又S^ABD+S丛ACD=S—BC，

所以LcZOsin60°+L'./Dsin60°=Lbcsinl20°,所以40=心巳

222b+c

BC_yjb1+C1+be12bc+bc

®窄2®半=2出

所以ADbe~beyjbcyjbc

b+cb+c

当且仅当6=c时,取等号’则罚的最小值为2技

【典例3-2】(2024•山西运城•模拟预测)”BC的内角4,B,C的对边分别为“，b,c.

sin(^-B)_a-b

(1)求证:

sin4+sin8c

TT

(2)若“3C是锐角三角形，A-B=-,a-b=2,求c的范围.

【解析】(1)由两角差的正弦公式，可得钙上空_sinAcosB-cosAsinB

sinZ+sm6sin/+sin5

又由正弦定理和余弦定理，可得

a2+c2-b2,b2+c2-a2

sinAcosB-cosAsinB-----------------b----------------

2QC26C

sin/+sin5

a+b

2a1—2b2(“+6)(。-6)a—b

2c(a+b)c(a+b)c

sin(力-5)_a-b

所以

sin/+sin8c

11/91

,,(a-Z?)(sinA+sinB)4..八、

(2)由(1)知c=--------1,“———^=F(zsm/+sm8)

sm(A-S)V3

TTTCTC

因为“5C是锐角三角形，mA=B+-＜-,W0＜，＜-,

又由4+5>乌，可得8+工+B>工，所以3>乙，所以工<8+工〈工，

23212463

所以—,RT2A/2<c<2-\/3>符合c>a—6=2.

26J2

所以实数C的取值范围是(2®,26).

【变式3-1](2024•山东潍坊•一模)在①tarMtanC-V^tanJ=l+/：anC;②(2c-6a卜os_8=^/§'bcoM；

③卜-+csinC=bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.

问题：在“3C中，角4SC所对的边分别为a,6,c,且.

(1)求角8的大小；

(2)已知c=b+l,且角A有两解，求6的范围.

【解析】(1)若选①：整理得1-121闻a11。=-6何必+1@110，因为/+5+C=〃，

所以tan3=-tan(/+C)=_taM+tanC=赵，因为840/),所以3=?；

,7l-taiL4tanC36

若选②：因为(2c-GJcosH=J5bcos4,

由正弦定理得(2sinC—J^siM卜os5=J^sin5cosZ,

所以2sinCcosB=gsin(4+5)=JJsinC,sinC〉0,所以cosB=@,因为5£(0,万)，所以6=菅；

若选③：由正弦定理整理得/+c2-62=eqc,所以=

2ac2

即COSB=5,因为Be(O/),所以B=a；

(2)将c=b+l代入正弦定理上=—得刍=空，所以sinC=M，

smnsineSinnsinC2b

jr1

因为8=套，角A的解有两个，所以角。的解也有两个，所以5<sinC<l,

12/91

即一<----<1>又b>口,所以b〈b+l<2b,解得

22b

【变式3-2］在“台。中，a,b,。分别为角4,B,。所对的边，b=20

（2c-q）sinC=（b1+c2一叫丁

⑴求角B;

⑵求2a—。的范围.

【解析】（1）（2c—Q）sinC=仅2+。2一叫^^=（2。一。）。=/+。2一。2+〃2一〃=〃。，又

cosB=a+c—b，所以COSB=L因为5£（0,»）,所以5=2.

lac23

b_a_c_2^/3_

（2）在A245c中,由（1）及b=2百,得sin8sin4sinC百,

T

故。=4sin4c=4sinC,2〃一。=8sin4-4sinC=8sin"4sin（与一=8sin4-26cos4-2siM

=6sin^-2A/^COSA=4^sin（4一,

因为0<4〈女，则—工<4—四〈生，

3662

一sin（4一看］<1,一26<46sin（4一小<48.

所以2Q-c的范围为「2百,4班）.

【变式3-3］（2024・重庆•模拟预测）在中，内角4,B,。所对的边分别为匿b,c.已知

⑴求角力的大小；

Q）若丽=同,且b+c=2,求/尸的最小值.

【解析】（1）在“BC中，由正弦定理-=—^—，可得“sinB=bsin/

sinAsinB

_,_2171.BB知竺竺二

又由b7=2Z7JCOS---------65sin—cos—2asincosb,

U22J2222

即〃sinB=bcos[E_4J，得bsin/=bcosj得sin/=cos（t-/）=ECOs/+5sin4,

得lsin/=―-cos^4,所以tan/二百；

22

13/91

又因为Ze(O/),所以Z=].

_,—»1—.1—►

(2)由3P=PCk，^AP=-AB+-AC,

所以/丁口方+_L就］"J万〜工元,+工商.就

U2J442

111111

=—c92+—b92+—becosA=—c92+—b92+—bc

442444

当且仅当[：=c即6=c=l时等号成立，故NP的最小值为4i.

[b+c=22

【变式3-4](2024•安徽亳州•高三统考期末)在锐角A43c中，角A,B,C的对边分别为6,。，已

矢口«sinC=CCOS^T!-^.

(1)求角A的大小；

(2)设以为AABC的垂心，且/8=1,求B〃+C〃的范围.

【解析】⑴由asinC=ccos[/q],结合正弦定理得

sin/=cosA--,

I6J

整理得5布(/-m=0,

又A为锐角，故/=会

(2)由A/L8C是锐角三角形，则垂心77必在A48c内部，

不妨设NBAH=a,则£€(0,小.

JT

由〃为A45C的垂心，贝！]//5〃=//。"二一.

6

在44BH中使用正弦定理得,

AH

---------,整理得：BH=2sina.

sin/ABHsin/BAH

同理在A4CH中使用正弦定理得，S=2sina

71

BH+CH=2sina+2sin——a=2sin

3

14/91

结合］中,2

可得+(省,2］

题型四：转化为角范围问题

【典例4-1】在锐角A48C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且

(a+/))(sinA-sinB)=(c-b)sinC.

(1)求A；

(2)求cos5-cosC的取值范围.

【解析】(1)因为(〃+勾卜1曲—sin5)=(c—b)sinC,

222

所以(a+6)(a—Z?)=(c—b)c,即a=b+c-be.

因为a?=从+C2-2左(《/，所以cos/=5.

2

因为Re］。,胃,所以/R

(2)由(1)知cosB-cosC=cosB-co：

=cosB+—cosB-sinB=—cosB-smB=gc(QS叫.

2222

八2〃八%

0<------B<—

32rriu7171

因为，,所以二<8〈式,

cn兀62

0<B<—

2

因为+所以+

363<6/122/

所以cosB-cosCG

即cosB-cosC的取值范围是---.

122J

【典例4・2】已知的内角A、B、。的对边分别为。、b、c,且a—6=c(cosB—cos/).

⑴判断^ABC的形状并给出证明；

(2)若a】b,求sin/+sin8+sinC的取值范围.

【解析】(1)为等腰三角形或直角三角形，证明如下：

15/91

由a-6=c(cosB-cos/)及正弦定理得，sin/-sinB=sinC(cosB-cosA),

即sin(3+C)—sin(4+C)=sinC(cosB-cos4),

即sinBcosC+cos5sinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCcosB-sinCcosA,

整理得sinBcosC-sinAcosC=0,所以cosC(sin8-sin4)=。，

故sin4=sin5或COSC=0,

又A、B>。为的内角，所以。=b或。=/，

因此为等腰三角形或直角三角形.

(2)由(1)及合人知“为直角三角形且不是等腰三角形，

且/+8=工，C=g故_8=工—4,且力+生,

2224

所以sin4+sin8+sinC=sin/+sinB+1=sin4+cosA+l=如in1,

7171

因为力‘故""

Z'万

、

得］力+?V2

sinG,所以0sin

2

7

【变式4-1]（2024•山西•模拟预测）钝角。中，角4民。的对边分别为“，b,c，若acosB=csmA,

则sinA+V2sinB的最大值是.

【答案】：

【解析】因为acosB=csin4,由正弦定理得sin/cos3=sinCsin/,

TTIT

又因为ZE(0,兀)，可得sinZwO,所以sinC=cos5,则。=5—6或C=—+5.

22

当C=、-B时，可得N=5,与“3C是钝角三角形矛盾，所以C=]+B,

717r7T

由〈一,则4=——25>0,可得0<5<一,

224

A+B+C=71

所以sin/+V2sin5=sin(S+C)+6sinB=cos2B+A/2sinB

16/91

12、

--2sin2B+V2sin+1=-2sin8----+—,

I4J4

/75

所以当sin5=7-时，sin/+后sin5的最大值为a.

故答案为：--.

4

【变式4-2】在中，角4,B,。所对的边分别是Q,b,c.已知〃=l,b=VL

（1）若求角/的大小；

⑵求cos/cos,+3的取值范围.

【解析】（1）由正弦定理得：sin/=U"=1,

b2

（>../兀一P5兀

•••0<4<兀，4二一或-一,

66

当4=三57r时，止匕时4+8〉兀，所以4=5三7r舍去，所以4二j二r.

666

.1.J

(2)cos/cos14+g卜cos/A——sinA

2

7

24)-；sin24

+COS

（或者用积化和差公式一步得到Lcos（2/+?]+且）

216；4

■.-a<b,：.A<B,所以/为锐角，又sin/=^@Ov变，

b2

所以北（0,曰，所以2/-弓

I4313o

17/91

题型五：倍角问题

【典例5-1］（多选题）在锐角“6C中，角4瓦。所对的边分别为a,6,c,且c=6+26cos/,则下列结论

正确的有（）

A.A=2BB.8的取值范围为修3

C.:的取值范围为（行,G）D.匕--+25^4的取值范围为3

btan5tanA13）

【答案】ACD

【解析】因为。=b+26cos/,所以由正弦定理得sinC=sin5+2sin5cos力，

又因为sinC=sin（/+5）,所以sin（%+5）=sin5+2sirLScos2,

即sin4cos5+sin5cos/=sinB+2sin5cos/,

整理得shb4cos5—sinScos/=sinB,即sin（力-B）=sinB

对于A项，因为/、B、。均为锐角，所以4-5=8,即4=25,故A项正确；

对于B项，因为4=25,4+5+。=兀，所以。=兀一35,

八,兀

0<A<—0<2B<-

22

冗

因为/、B、C均为锐角，所以，0<B<-即W0<8，解得

9264

JT

0<C<-

[2[2

所以3的取值范围为［，：］，故B项错误.

对于C项，由正弦定理得?=当=里里=2COS3，8€（£，1），

bsiiwSinn64

所以cosBe停，务所以,=2cos3e（"回故C项正确.

兀兀7171

对于D项，由A项知，A=2B,由B项知，一＜B＜一,所以一＜A＜一,

所以

11“taib4-tan53./sirUcos5-siaScos^C./sin(/-5).

——--------+2sin4=---------------+2SIIL4=-----------------+2SIIL4=——------+2SIIL4=

tan5tan/tan5taiL4sinSsiMsinSsiM

.——F2sirb4=+2SIIL4,Ai(—,—),

siaSsirUsiib432

令t=sin/,贝！所以---5―-+2sin^=-+2?,ze(—,1),

,2tan5tan/tv2

18/91

令”0）=1+2/,»e（g,l）,则”⑺=-：+2=壬2>0,所以〃⑺在（一■」）上单调递增，

又吟）=当,〃⑴=3,所以的）€（孚,3）,即熹-高+2sin%范围为（手,3）,故D项正确.

故选：ACD.

【典例5-2］（多选题）（2024•河北•三模）已知"3C内角N、B、C的对边分别是0、b、c,A=2B,则

（）

A.〃=c（6+c）B.2+j的最小值为3

cb

C.若AABC为锐角三角形，则*€（1,2）D.若a=2屈,6=3,贝Uc=5

【答案】BCD

【解析】由/=28,sin24=sinIB=2sinBcosB,

22_72

由正弦定理得a=26cos8,由余弦定理得。=26・色——----,

2ac

贝（］（c-b）（a2-62-6c）=0,当bwc时，$-护-bc=Q,即/=6（6+c）,

当b=c时，B=C,又A=2B,所以么=90。,8=。=45。，

所以a=同，所以。2-62-左=（">『-从_6.6=0,

所以/=6e+°）,故选项A错误；

,।,27/7,\ba2bb2+bcbc

由。=b[b+c）,则miI—+记=一+——=-+-+l>3,当且仅当b=c时，故选项B正确;

在“5C中，sinBwO,由正弦定理,

c_sinC_sin（25+5）_sinIBcosB+cos2BsinB2sinBcos2B+{1cos25—1卜inB

=4cos2B—1，

bsinBsinB3sinB5sinB

7Tjr

若“8C为锐角三角形，又A=2B,则,C=7r-3S<-,故

26

兀兀山…DV3

所以，所以cosBE,则COS2BG

65