数列求和（5题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题30数列求和5题型分类

彩题如工总

彩和酒宝库

数列求和的几种常用方法

1.公式法

直接利用等差数列、等比数列的前〃项和公式求和.

⑴等差数列的前〃项和公式：

n(ai+an)n(n-l)

Sn=2।2d.

⑵等比数列的前〃项和公式：

几〃1，4=1,

Sn=\。1一41(1—q")

qWl

、\~q~\~q

2.分组求和法与并项求和法

(1)分组求和法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后

相加减.

(2)并项求和法

一个数列的前”项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如斯=(-1)7(”)类型，可采用两项合并

求解.

3.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即

可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.

4.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

常见的裂项技巧

⑴〃(几+1)nn+r

⑷5+扁•

1

11

2-

n(n~\~1)(n+l)(n+2)

【常用结论

常用求和公式

..................71(71+1)

(D1+2+3+4H------Vn=2.

(2)l+3+5+7H------l-(2w-l)=n2.

(3)12+22+32+…+4加+1y+1).

(4)l3+23+33H-----\-n3="'JD2.

分组求和

(1)若数列｛金｝的通项公式为金=斯士为，且｛斯｝,｛为｝为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列｛金｝的前

〃项和.

[an,及为奇数，

(2)若数列｛金｝的通项公式为金=,由上，其中数列｛斯｝，｛为｝是等比数列或等差数列，可采用分组

[bn,〃为偶数，

求和法求｛｝的前n项和.

题型1:分组求和

1-1.（2024・吉林通化•模拟预测）S"为数列也｝的前"项和，已知65"=%+3见-4,且a“>0.

⑴求数列｛4｝的通项公式为；

2345678910

（2）数列｛2｝依次为：^,3,«2,3,3,^,3,3,3,«4,3,3,3,3,规律是在《和知+1中间插入左（左eN*）项，

所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列也,｝的前100项的和.

【答案】⑴4=3"+1

3^+569

（）-2-

【分析】（1）利用项与和的关系即可求解；

（2）先确定数列｛%｝的前100项中含有｛%｝的前13项，含有｛3"｝中的前87项，再利用分组求和的方法即

可求解.

【详解】（1）当"=1时，6s1=6%=a；+3q-4,解得q=4（q=T舍去），

由65.=d+3a“-4得”22时，6S„_,=（%T）?+3<7„„,-4,

两式相减得6%=a；-«■_1+3a“+%_I）（%-a,--3）=0,

因为。>0,所以a“一（Vi=3,

所以｛4｝是等差数列，首项为4,公差为3,

所以aa=4+3（"-1）=3"+1：

（2）由于1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78,78+12<100,

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91,91+13>104

因此数列｛4｝的前100项中含有｛%｝的前13项，含有｛31中的前87项，

所求和为5=4x13+受任x3+生二^=里丑"

21-32

1-2.（2024高二上•全国•课后作业）在数列｛%｝中，已知。用+%=3-2",4=1.

⑴求证：｛4-2"｝是等比数列.

⑵求数列｛4｝的前力项和S“.

【答案】(1)证明详见解析

(2)5=2叫(_1)-5

〃2

【分析】(1)通过凑配法证得｛氏-21是等比数列.

(2)利用分组求和法求得S,,.

【详解】(1)由=得4+「2向+4=3-2"_2间=2",

即%「2用=-(%-2"),

所以｛为-2"｝是首项为ai-2'=-l,公比为-1的等比数列.

(2)由(1)得4一2"=(-1*(-1广=(-1)"q=2"+(-1)”.

所以S“=2+2?++2"+(-1)1+(-1)2++(-1)"

2(1-2")[-[1-(-1)"]

2向_2+(-1)“-1=2e+(-1)“一5

1-21-(-1)

1-3.(2024高三上.广东深圳•阶段练习)已知数列｛见｝的前〃项和为S,,且满足弓=1,2Sn=na„+1,„eN*.

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

⑵设数列也｝满足4=1，4=2,4+2=2%/eN*,按照如下规律构造新数列匕｝：

火加2,%力4，。5力6，%,区,,求数列｛%｝的刖2〃项和.

【答案】⑴

(2)2同+〃2-2

【分析】

(1)根据S“a”的关系即可得递推关系进而可求解,

n+1n

(2)根据分组求和，结合等差等比的求和公式即可求解.

【详解】(1)当〃=1时，由。1=1且2S“=〃凡+1得%=2

当时,由2s,1=（"-1）见得2%=也”+「（〃-1）%,所以&=幺（〃22）.

所以&=3=1,故%=〃（心2）,

n2

又当〃=1时，囚=1,适合上式.

所以4=〃.〃£N*

be*

（2）因为a=2,廿=2（〃eN）,

一b„

所以数列｛2｝的偶数项构成以2=2为首项、2为公比的等比数列.

故数列｛ca｝的前2〃项的和=（q+/++%,-1）+（。2+,4++邑），

+君――

所以数列｛，｝的前2w项和为2向+〃2一2.

21

1-4.（2024高三上・贵州贵阳•期末）已知数列｛%｝和也,｝满足：4=1,4=2,an+l=-an+-bn,

21

%=耳2+§”"，其中〃eN*.

（1）求证：a.+i-a“=，;

⑵求数列｛%｝的前,项和S”.

【答案】（1）证明见解析

⑵S,=?1+1

4.3"-1

【分析】（1）由已知条件可推导出数列｛%+2｝为常数列，数歹以凡-2｝为等比数列，求出这两个数列的通

项公式，可求得数列｛%｝的通项公式，即可证得%M成立；

（2）由（1）可得出数列｛q｝的通项公式，利用分组求和法可求得S“.

2121

【详解】（1）证明：因为a向=§/+§么①，②，

aba+b

①+②可得n+i+„+i=„„>且q+4=3,

所以，数列｛%+£｝为常数列，且%+2=3③,

①-②可得4+i-2+1=g（a"一"），且q-仿=-1,

所以，数列｛。“一2｝为等比数列，且该数列的首项为-1,公比为，

n—1

所以，an一勿=一I④,

③+④可得2。“=3-

所以，a-a=

n+lnTGI5⑸

31n-l

（2）解：由（1）可知,

2

2n-\

3If1311311311

贝2+++•-+

223223223223

1

n-l1--

3n3n23n3n31

---------1---------.

2..B)224

3

题型2:并项求和

2-1.（2024•河北沧州•模拟预测）己知正项数列｛%｝的前〃项和为S“，满足a“=2#；-l.

（1）求数列｛。“｝的通项公式；

⑵若bn=ancos等,求数列伊“｝的前3”+1项和T3n+l.

【答案】（1）。“=2〃-1

⑵4,+i=-'

【分析】（1）利用和与项的关系可得（见+的乂4一2）=0,由为+”“_|片。可得。“-”“_1=2,再利用等

差数列的通项公式即可求解；

（2）根据cos等的周期性，利用分组求和的方法即可求解.

【详解】（1）%=2反一1=（%+1）2=4邑,

当2时，（％—+1）2=4SM，两式子作差可得

4~$—i+261n-2aM=4%nd——2m+%_]）=。n（q+）（％一%与一2）二。

又％+%w0,所以4-。1-2=0=>4-%=2,

可得数列｛。“｝为公差为2的等差数列,

—

当〃=1时，ax=—1=>ax—2y1^+1=0=>1j=0=>〃]=l,

所以，数列｛%｝的通项公式为=Oi+（〃T）d=2〃—1.

2〃7T2〃JU

（2）bn=a“cos^-=（2〃_l）cos^-，B〃+i=b{+b2+b3++b3n_2+b3n_x+b3n+b3n+l,

&+i=1x+3xI+5x1++（6n-5）x+（6〃-3）x+（6n-l）xl

+（6n+l）xI

〃（1+6〃-5）几（3+6〃-3）几（5+6〃-1）

xl+（6〃+l）x

2I22I

3〃23》11

--------Fn--------F3n+2几一3〃----=——

2222

所以，数歹U｛2｝的前3”+1项和与角=一；

22（2024・河南・三模）在等比数列何｝中，%=网，且;。2，%-4,%T2成等差数列.

（1）求｛%｝的通项公式;

⑵设优=（-1）"1吗见，数列出｝的前〃项和为小求满足圜=20的左的值.

【答案】（1）%=2""；

（2）40或37.

【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合等差中项的意义求出公比及首项作答.

（2）由⑴的结论求出£,再分奇偶求和作答.

【详解】（1）设｛%｝的公比为q,由%=8%,得。应3=8%,解得夕=2,

。3-4,4-12成等差数列，得2（〃3-4）=<%+。4一12,即2（4q-4）=q+8q—12,解得%=4,

由2%,

所以数列｛%｝的通项公式是4=4x2"—=2用.

212

(2)由(1)知，6“=(-l)"log2%=(-L)"(〃+l),b2n_x+b2n=(-I)-.2«+(-l)"(2n+l)=1,

当％为偶数时，Tk=(Jyx+b2)+(Jbi+b^++(4_]+4)='|,令圜=g=20,得％=40；

当人为奇数时，(=隼「鸳=等一("2)=-审，令圜=与=20,得k=37，

所以左=40或37.

23(2024•江西.模拟预测)记S“为等差数列也,｝的前”项和，已知出+%=8,55=25.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)记%=(-1)"S”,求数列｛bn｝的前30项的和T30.

【答案】⑴

(2)465

【分析】(1)根据等差数列的通项公式和求和公式列式求出生和d,可得通项公式；

(2)先求出再利用并项求和法与等差数列的求和公式可得结果.

fci,+d+q+2d=8

【详解】(1)设公差为d,则;,解得4=1,d=2,

+10fl=25

所以。“=1+(〃T>2=2n-l.

力c一n(l+2n-T)_

(2)S——n2,

2

所以2=(T)"S"=(T)""2,

所以金=-^+22-32+42+-292+302

=(2-l)-(l+2)+(4-3)-(3+4)++(30-29)-(29+30)

=l+2+3+4+,+29+30

30x(1+30)“公

2

2-4.(2024高三•北京海淀•专题练习)已知数列｛〃“｝的前”项和为Sn,an+l+(-iyan=2〃-1,则纵=

【答案】36

【分析】根据条件分奇偶项讨论得%+2+%=2,计算求和即可.

【详解】由题意可得“为奇数时,an+l-an=2n-1,an+2+an+l=2n+l,

两式相减得。“+2+4=2；

"为偶数时，«„+1+an=2n-l,an+2-an+1=2n+l,两式相加得“会+%=4〃，

故5g=(q+4+%+%)+(&+%+4+4)=(2+2)+(8+24)=36.

故答案为：36

彩能甄淞籍

(二)

错位相减法求和

(1)如果数列｛出｝是等差数列，｛d｝是等比数列，求数列｛0力〃｝的前〃项和时，常采用错位相减法.

(2)错位相减法求和时，应注意：

①在写出“SJ与"qS/'的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“5〃一

”的表达式.

②应用等比数列求和公式时必须注意公比g是否等于1,如果q=l,应用公式

题型3:错位相减法求和

3-1.(2024•广东东莞三模)已知数列｛4｝和也｝,4=2,----=1,an+1=2bn.

"nan

⑴求证数列是等比数列；

⑵求数列的前〃项和人

【答案】(1)证明见解析

2

(2)Tn=n+n-2+^-

【分析】(1)通过题中关系，可得二--1],进而可得数列[上-4是以-1为首项，公比为白的

«n+i2(%)J22

等比数列.

(2)由(1)可得bn=2n-,贝IJ7=2〃-下，可利用分组求和与错位相减求和解题.

11.21

【详解】⑴由。1=2,-------=1,%+[=2或得-------=1,

anan+\an

整理得工-1=[,_],而,-1=一；片0,

。用2gl42

所以数列],-1，是以-;为首项，公比为g的等比数列

(2)由(1)知工一1=一，(，],Aan=-

an2{2J2""2"

,12"n2"+1-l-n

,,b=-di,.=——,—=TI---------=2rl,

nn+1

22-lbnXX

、几012n.1o12n

设S"=]+级++F)贝mi仁臬=修+级++萍'

1

两式相减得gs〃=g+:+1n2n-1〃+2

+2"~T^~一产-1-2角

n+2

从而y=2—

2n

〃(2+2〃)§2-〃+2

=n+n-2-\-------

2T

3-2.(2024■西藏日喀则•一模)已知数列｛《,｝的前〃项和为S“，且q+2a2+3/++nan=(n-1)Sn+2n.

(1)求弓,°2,并求数列｛%｝的通项公式;

⑵若2=%•log?a,,求数列出｝的前〃项和&

【答案】⑴4=2；出=4；an=2"

(2)7；,=2n+1(n-1)+2

【分析】(1)将"=1、"=2代入求49，根据a”'关系及递推式可得S“=2a”-2(〃22),再次由七,3关

系及等比数列定义写出通项公式；

(2)应用错位相减及等比数列前〃项和公式求结果.

【详解】(1)由题意q+2%+3/++叫,=(〃—1)Sa+2〃①，

当〃=1时q=2；当〃=2时/+2az=S2+4=/+/+4=>g=4；

当〃22时，4+2%+3%++(〃—+2(几一1)②，

①一②得啊,=(九-1)E,-5-2)S"_1+2=S“+-2)a,+2nSn=2%—2N2),

当〃=1时，4=2也适合上式，所以S“=2a”-2,所以〃22时5鹏=2%--2,

两式相减得%=2%T(〃22),故数列｛4｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以。"=2”.

(2)由(1)得勿=〃2,.

(=1x21+2x22++(〃—l)2"T+〃2"③，

27；=1X22+2X23+-1)2"+"2向④，

③—④得：_(=2i+22++2"_"2"+I=-^----^—“2向=2向(1-")一2，

1—2

所以7；=2向(〃—1)+2.

3-3.(2024高三上•山东济南•期末)设数列也｝的前〃项和为S“，且么,=2-2S"；数列｛(｝为等差数列，且

a5=14>%=20.

(1)求数列也,｝的通项公式.

⑵若c,=aj6"(”eN*),求数列｛%｝的前〃项和7；.

2

【答案】⑴2=下

【分析】(1)利用前〃项和和通项公式的关系来解.

(2)使用错位相减法解数列前〃项和.

2

【详解】⑴当“=1时，仿=2-24，得

当"22时，b„=2-2Sn,%=2-2s,一两式相减有包一"―=一2⑸一S-)=-22

即地=%.

因为伉RO,所以数列｛2｝是以［为首项，公比为g的等比数歹

贝场=2x\『=2.

「⑶3"

所以数列｛2｝的通项公式为a='.

（2）在等差数列｛%｝中，设首项为用公差为d,

%=%+4d—14刀/日jq=2

则%=%+64=20解得储三3

所以4=2+3（〃-1）=3〃-1.

2

则％=。也=（3〃-1）/

：1=22-1+5-^+8-^+...+（3ra-l）-y①

|=22：+5.\+…+（3n-4）.：+（3"l）.击②

所以①一②得|北=22T+3-1+3-：+…+

即=231+3・:+3-，+…+3・：一:一（3〃-1）•击］.

解得看=.曜高

3-4.（2024高三下•广东茂名•阶段练习）已知数列｛%｝满足%=2a,T+2'-l（〃22）且q=5

（1）若存在一个实数力,使得数列，4^41为等差数列，请求出2的值；

⑵在（1）的条件下，求出数列｛%｝的前"项和S”.

【答案】（1）2=-1

⑵S“=〃（2用+1）.

【分析】⑴根据等差数列的定义,得出喑-f=l-詈必为与〃无关的常数,即可求解;

（2）由％=2%+2"-1,且）=5,结合（1）求得数列的通项公式,再利用“乘公比错位相减法”和等差数

列的性质，即可求解.

【详解】（1）假设存在实数P符合题意，则4兽-4若4必为与〃无关的常数.

22

因为为+4%+%=册―24〃T一-=2〃-］-2二］1+4

、T2"T-T~T~T'

要使4y-^是与〃无关的常数，

则黑=°，可得力=-L

故存在实数2=-1,使得数列为等差数列.

（2）由％=2。〃_］+2〃—1,且4=5,

由（1）知等差数列［祟1的公差d=l,

所以票="+（"-1）="+1，即。“=5+1>2"+1,

所以S”=%+%+〃3++%

=（2X2+1）+（3X22+1）++［（〃+1）2+1］

=2X2+3X22++（”+1>2"+”

记：［=2x2+3x22++（n+l）-2,!,

有21=2x22+3x23++分2"+（九+1）-2向，

两式相减,得北=小2向，

故邑=l2油+〃=/（2向+1）.

彩他题秘籍(二)

裂项相消法的原则及规律

(1)裂项原则

一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.

(2)消项规律

消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项.

题型4：裂项相消法求和

24高二下•云南临沧•期中)设数列｛”“｝的前〃项和为且S,="6；%),%=I2.

4-1.(20

(1)求。“；

⑵记。“二——，数列圾｝的前〃项和为北，求人

nan

【答案】⑴4=2〃+4

*-4(2〃+3

九+1)(〃+2)

【分析】(1)当场22时，利用4=5“一%推出2%=%+%,由等差中项法得｛%｝为等差数列，根据%与

%求出公・差，可得通项公式；

居bn=\[-一-二]进行裂项求和可求出结果•

(2)

⑴由

【详解】

n2

N6=S]=^^,解得4=6,

当〃=1的

丁，S「("1)(6+%-),

当〃22日

_n[6+an)(»-1)(6+«„_1)

所以4=5-1—cc，

22

整理得：(〃-2)%+6=(〃-1)%1，①

所以有(7i-\)an+x+6=nan,②

①-②可彳-争2%=%7+%+1，

所以｛凡｝为等差数列，

6吗=12,所以公差为告江=2,

因为4=

所以4,=2〃+4.

,1::11)

(2)，bn

nc1n〃(2〃+4)〃+2广

『1」1+仕」1+1+仕」1+

\3J(24J(35J(46)(〃n+2)\

If.1__J_____

二一1+-

412n+1n+2J

_32〃+3

一/4(〃+1)5+2).

4-2.(2024•山东德州•三模)已知S"为数列｛a.｝的前”项和，ax=2,Sn=an+i-3n-2.

⑴求数列｛4｝的通项公式为；

2〃1

⑵设勿=------，记也｝的前〃项和为证明：Tn<~.

aa

n-n+l5

【答案】(D%=5x2i-3

(2)证明见解析

【分析】

(1)根据数列递推式可得51=巴—3(〃-1)-2,(“22),采用两式相减的方法可得%+|=2%+3,(〃22),从

而构造数列，可求得｛%｝的通项公式；

2"

(2)由(1)的结论可得勿=------的表达式，利用裂项求和法，可得答案.

a„-an+l

【详解】(1)当"=1时，岳=4=。2-3-2,则%=7,

因为S”=«„+1-3/7-2,

所以5小=为一3(“一1)—2,(〃之2),

两式相减得：o„+i=2a.+3,(n>2),

所以q,+i+3=2(%+3),(n>2),

%=2,q+3=5,“2+3=10,则为+3=2(q+3),即〃=1也适合上式，

所以｛%+3｝是以5为首项，公比为2的等比数列，

故：%+3=5x2j

故%=5x2-3；

（2）由（1）得2=---------

（5X2"T-3）（5X2"-3）

211__1_]

5（5X2"T-35x2"-3j

故(=4+4+/+...+2

2f111111)

5(277175x2"-1-35x2"-3)

一2(11]

~5\25x2"-3j，

1211

当〃eN*时，——>0,故(<£彳=£.

4-3.(2024高三・全国•专题练习)在数列｛%｝中，已知'=/—+；,4=4.

an+l"n乙

⑴求。“；

⑵若勿=靖-。,，s"为或的前〃项和,证明：12Vs“<15.

【答案】⑴见=懑三

Z—3

(2)证明见解析

【分析】⑴构造新数列，构造等比数列可得工-1=-1化］，计算可得%.

an4⑵

(2)先根据(1)得出么,再根据2=＞。得出一侧边界，最后放缩后应用裂项相消计算证明即得

111

，a12a1

【详解】⑴=-------F—n+in5'"〃+151为L

%+12azi2

-1＜)

而，T=-J,,4—=＜，...是公比为J首项为•的等比数列

442〔凡J24

%4

n—\

1312n+1-3

------X+1=〃

422+i

2〃+i

2〃+i2,+i(2,1+12"+13

⑵册-1______x_______

2"i-32"+1-3l2,,+1-32"+1-32用-3'

2"+13

MeN,,2n+1-3>0,.-.&„=______x_____>_0_,.-.S„>S=/7=12,

2向-32"+1-311

〃

2n+132+ix—^—=611

b=——;x——<——n__ni_

2升1—32n+1-32n+1-3T-3232+3

24

「.S2=4+4=12+石<15,

/.nGN*,n>3,

1

---4+----」++

（23-324-324-325-32〃-3

1C24,11=12+空+9=12+色

=12+——+6<15,

2523-3-2n+1-325525

4-4.(2024•宁夏石嘴山,一模)已知S"是数列｛%｝的前"项和，且邑=2向-2("wN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式;

,2〃

⑵若"(e)(D’求数列也｝的前"项和

【答案】(1)4=2",〃eN*

⑵北=1-m匕

【分析】(1)根据。“与S”的关系求解即可;

(2)利用裂项相消法求解即可.

［详解］(1)〃=1时，4=51=22—2=2,

“N2时见=S“-Si=（2向一2）—（2"-2）=2",

经验证n=l时满足an,

/.an=2",〃eN*；

b2〃_11

（2）1l）（2〃+i—1厂2〃—12角-1'

.11111111

T=------------1-------------------1---------PH--------------------=14-----------

"2'-l22-l22-l23-l23-l2"-l2"+1-12"+1-l

4-5.(2024•海南省直辖县级单位•模拟预测)已知数列｛4｝的前〃项和SR=加+加(a,>eR),且电=3,4=11.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

（2）求数列[詈的前〃项和T,.

[H+iJ

【答案】⑴氏=2〃-1

n2+2n

(2)7；=

5+1)2

【分析】（1）由和与项的关系求得。，=2的-a+匕，进而判断数列｛%｝是等差数列，从而利用等差数列的通

项公式即可求解；

（2）由⑴求得%=2"+="0+；-1）=",进而品=京$=。一消/，最后利用裂项相消

求和法即可求解.

【详解】（1）当〃=1时，q=Q+b,

当2时，氏=S〃-S〃T=an2+bn-^a（n-V）2+b（＜n-l^=2an-a^-b,

因为=2。〃-〃+”对n=l也成立.

所以q-=2a〃—a+b-2a（〃一l）+a-6=2a,所以数列｛%｝是等差数列，

则公差d=与二生=产=2,

6-24

a〃=3+2（〃—2）=2〃—1,

⑵因为“2〃+1.=必”二总

所以=2〃+1=J---------1_

所以S“S,+|"5+1）2"（"+1）2'

…[11）C1）+「11111=r+2”

故3力匕-#p-（^iFr"（w7iFo2w-

彩他题祕籍

（四）

倒序相加法

将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时

可用倒序相加法（等差数列前"项和公式的推导即用此方法）.

题型5:倒序相加法

5-1.(2024.黑龙江哈尔滨.三模)设函数/(x)=2+lnF，a[=\,

eN*,”22).则数列｛an｝的前n项和S,=

【答案】n2-n+1

由题设/(》+/(—)=讨论〃的奇偶性求｛凡｝的通项公式，再求

【分析】4,S”.

由题设，f(―)+/(-~-)=4+ln(n-l)+ln^—=4,

【详解】

nnn-1

叫T+，2(n-l),n=2k,keN*

所以&=<

—1

4x^—=2(〃-1),〃=2左+1,左£N

即4=2(〃—1)且〃22,

当〃=1时，5=1,

当时，S〃=l+2+4+…+2(〃-1)=1+/一〃,

所以3〃=几2-几+1,nGN*

故答案为：n2—n+1.

2

5-2.(2024高三.全国.课后作业)设函数/(%)=鼻，利用课本中推导等差数列前〃项和的方法，求得

2+1

/(—5)+/(T)++/(0)++/(4)+/(5)的值为.

【答案】11

【分析】注意到/(%)+/(-x)=2,后可用倒序相加法求得答案.

222(2工+2、2)

【详解】因/⑴+/(_%)=--------1---------=2,

2，+1Tx+\2工+2-'+2

设S=/(-5)+/(-4)++/(0)++/(4)+/(5),则

2S=/(-5)+〃5)+/(Y)+〃4)++2/(0)++/(4)+/(^)+/(5)+/(-5)=22,故S=1L

故答案为：11

5-3.(2024・广西玉林•三模)已知函数/(力=b一=,若函数Mx)=〃x-4)+x,数列｛。“｝为等差数列,

q+出+%+…+G1=44,贝！|“(o1)+/Ma2)H----^“(41)=

【答案】44

【分析】先求得然后利用倒序相加法求得正确答案.

【详解】由题意，可得/2(x)=f(x-4)+x=e｛T)—ei+x,

设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，公差为d,

贝S“=1=11(4+5d)=11/=44,解得保=4，

则〃(%)=瓜4)=e-(4-4)-e4-4+%=%=4,根据等差中项的性质，可得―24=8,

4aiI-4)ail4

则，2(4)+/2(4])=白"'-町-e"「+q+e^-e_+an

14a44a4

=■^77+凯-4-卜"+e")+fl]+«n=­葭+3©+e"^+at+atI=at+an=8,

同理可得，k(a2)+/i(a10)=8,/i(a3)+/i(a9)=8,+=8,+=8,

•二/1(4)+/2(生)~^---n/z(q])=5x8+4=44.

故答案为：44

B

一、单选题

1.（2024高二上•陕西西安•阶段练习）数列9,99,999,...的前n项和为

A.y（ion-l）+nB.ion-l

C.—（10n-l）D.—（10n-l）-n

99

【答案】D

【详解】试题分析：数列各项加1后得到的数列为10,100,1000,构成首项为10,公比为10的等比数列，

所以通项公式为%=10"-1,S“=故选：D

2.（2024高二下•湖北•阶段练习）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有"数学王子"

之称.小学进行1+2+3+L+100的求和运算时，他这样算的：1+100=101,2+99=101,50+51=101,

共有50组，所以50x101=5050,这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前〃项和的方法正是借助了

高斯算法.已知正数数列｛见｝是公比不等于1的等比数列，且4%>23=1，试根据以上提示探求：若

则“4）+/（。2）++7（a2023）=（）

A.2023B.4046C.2022D.4044

【答案】B

【分析】

根据倒序相加法，结合等比数列的下标性质进行求解即可.

【详解】根据等比数列的下标性质由4•。2023=1n«2024-„=1，

2

/444+4xA

+

回函数+1-1+x2,

1।-¥J-'9"

X

令7=/(q)+/(。2)++/(«2023)>则7=/(%023)+/(«2023)++/(«1).

02T=/(a1)+/(a2O23)+/(cz2)+/(a2O22)++/(a2ffi3)+/(cz1)=4x2023,07=4046.

故选：B

3.(2024高三下,江西•开学考试)已知数列^^]的前〃项和为(，若对任意的“eN*,不等式

[4〃+4〃一3J

67；<3〃一。恒成立，则实数。的取值范围是()

A.1一口,+°°)B.(-QO,-1]g'+s]

21(2\八、

C.--,1D.I-x,--l|J(l,+co)

【答案】A

【分析】先利用裂项相消法求得7.，再由对任意的“eN*,不等式6,<3/一。恒成立求解.

【详解】解：由后三1O_______

以2〃-12n+3)

则W1

5372n-\2n-l2〃+3

11

2〃+12〃+3

1

<-

3

因为对任意的"N*,不等式67；<3/_。恒成立,

所以6x工43〃2一〃,

3

2

解得或

故选：A

4.（2024•浙江）已知数列｛%｝满足卬=1，。用=二号个（“€?4*）.记数列｛4｝的前;1项和为5“，则（）

399

A.—<S100<3B.3<5100<4C.4<S100<—D.—<S100<5

【答案】A

【分析】显然可知，4。>],利用倒数法得到二一=，+4==」，再放缩可得

2%a„也（也2J4+17ali/

由累加法可得。工春,进而由%=命局部放缩可得酢，*,然后利用累乘法求得

6

a<----------------,最后根据裂项相消法即可得到H。。<3,从而得解.

n(〃+1)(〃+2)

3

【详解】因为0=1〃向=[乐nGN：

，所以%>0,sm>-2.

、2

111111

由4+i=>---_—__^__I_+__―________

%ana[M2J~4

111111

，即——j=<—

也+1而2

yn—1n+1/八11+1

根据累加法可得,而<1+〒=丁(心2)，当〃=1时一/==亏，

W2

1n+1

贝U而三，当且仅当“T时等号成立，

4