三角恒等变换（十一大题型）（讲义）（解析版）-2025高考数学一轮复习（含2024年高考试题+回归教材）

第02讲三角恒等变换

目录

01考情透视目标导航............................................................2

02知识导图思维引航............................................................3

03考点突破题型探究............................................................4

知识点1：两角和与差的正余弦与正切............................................................4

知识点2:二倍角公式...........................................................................4

知识点3:降次（幕）公式.......................................................................5

知识点4:半角公式.............................................................................5

知识点4:辅助角公式...........................................................................6

解题方法总结...................................................................................7

题型一：两角和与差公式的证明..................................................................8

题型二：两角和与差的三角函数公式.............................................................12

题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形................................................14

题型四：利用角的拆分求值.....................................................................16

题型五：给角求值..............................................................................18

题型六：给值求值..............................................................................20

题型七：给值求角..............................................................................22

题型八：正切恒等式及求非特殊角...............................................................25

题型九：三角恒等变换的综合应用...............................................................27

题型十：辅助角公式的高级应用.................................................................30

题型十一：积化和差、和差化积公式.............................................................32

04真题练习•命题洞见...........................................................35

05课本典例高考素材...........................................................36

06易错分析答题模板...........................................................39

易错点：不会应用辅助角公式...................................................................39

答题模板：三角关系式的化简求值...............................................................40

1/41

考点要求考题统计考情分析

三角恒等变换位于三角函数与数学变换

2024年I卷第4题，5分的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运

（1）基本公式2024年II卷第13题，5分算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性

作用，以及会有一些它们在数学中的应用.

（2）三角恒等变换2024年甲卷第8题，5分

求值2023年II卷第7题，5分这就需要同学熟练运用公式，进一步提

年卷卷第题，分高运用联系转化的观点去处理问题的自觉

（3）辅助角公式2023III85

2022年II卷第6题，5分性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、

2021年甲卷第U题，5分方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的

作用.

复习目标：

（1）会推导两角差的余弦公式

（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式

（3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用

（4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等

变换

2/41

3/41

,老占空硒-躺理操空L、

知识固本

知识点1：两角和与差的正余弦与正切

①sin((z±0)=sinacos/3±cosasin/?；

@cos(cr±=cosacosyff+sincrsin13；

③tan(a±0=里吧加目;

1+tanatan0

tan11°+tan19°

【诊断自测】

tan11°tanl9°-1

【答案】一百

33

［解析］tanl：+tan|9。tan11°+tan19°

-tan(ll°+19°)=-tan30°

tan11tan19-11-tanlftanl9°T

故答案为：-走

3

知识点2：二倍角公式

①sin2a=2sinacosa；

②cos2a=cos2-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；

③tan2a=屈*

1-tana

71I，则馍5(m5兀+27］的值为(

【诊断自测】已知sin-----a)

126

24c£7

A.—B.-----D.

252525

【答案】D

【解析】cosf^+2aUcos5兀+a。一1

=2cos2

1212J

4/41

=2sin21-1=27

展1=-25

故选：D.

知识点3：降次（幕）公式

.1.c.2l—cos2al+cos2a

smocosa=-sm2o;sina--------------;cos2a---------------

222

【诊断自测】已知函数/(x)=2sinA:cosx+2^/3cos2x-y/3.

（1）求/'（X）的最小正周期和单调区间;

⑵若/(«)=1，求cos(2a+W的值.

【解析】(1)因为/(x)=2sinxcosx+26cos—-/=sin2x+@cos2x=2sin2x+

77r

可得/（无）的最小正周期T=T=

TTjrjr57rjr

令2kjt—<2x+—<2kji+—,kGZ,解得ku----<x<ku---，左EZ；

2321212

qrqr3ITJT77r

令2E+—<2x+—<2左兀+——*eZ,解得EH---<x<kn-\----,kGZ；

2321212

所以/（尤）的单调递增区间为+#eZ,单调递减区间为也+3而+9,keZ.

(2)因为/"(«)=25诒(2£+1]=《，即sin(2a+1]=得

7157i4兀

且a£贝lJ2a+§e

所以cosf2cr+-^-j=cos(2a+j^=cosf2a+0c4+sin(2a+?sin曙海1

6jI3)6I3)626

知识点4：半角公式

5/41

asinaI-cosa

tan—=-----------=------------

21+cos。sin。

【诊断自测】(2024•高三•河北•期末)已知tang=2,则广匕-广匕的值为

21-cos61+cos0

【答案】-j3

ee

2sin—cos—2sin—cos—

sin。sin32222

【解析】(法，—Ose

1+cos。1(2。

1-cos—-sm—1+cos—-sm—

I22JI22J

e_.993.9

2sm—cos2sin—cos—cos—sin—

_2222_221e

0・2。.e0e2

2sm—2cos2sin—cos—tan—

22222

649口2x24

(法二)因为tang=2,所以tane=---------彳==_

21-tan20I3

2

sin。sin。2sin0cos2sin0cos02sincos2cos62

Ijlll----------------------------=-------------------------------=-----------------=-----------------=---------=------

、」l-cos。1+cos0(l-cos0)^+cos6,)1-cos20sin20sin。tang

3

故答案为：一万.

知识点4：辅助角公式

22ab、

asina+bcosa=yja+bsin(。+cp)(其中sin9=.,coscp=~/—,tancp——)•

心+/g+/a

【诊断自测】当％时，/(x)=2sinx+co&x取最小值，求sina的值—

【答案】_走巨石

55

【解析】由/(x)=2sinx+cosx=j^sinx+；=cosx，\^sin卜+夕)，

其中sin6=^^,cos。=，

52"5

又当x=a时，/(x)取最小值,

6/41

贝ija+6=2左兀一m，左£Z,且/(a)=V^sin(a+8)=—逐,

所以sina=sin^2kn-=-cos0=-

故答案为：-垣.

解题方法总结

1、两角和与差正切公式变形

tana±tan(3=tan(a±/?)(1+tanatan/?)；

_1tana+tanBtana-tanB1

tana-tanp=l-------------------=--------------------1.

tan(cr+tan®-B)

2、降塞公式与升嘉公式

.l-cos2a2I+cos2a.I.

sin2a=------------；cosa--------------；sinacosa=—sin2a；

222

I+cos2a=2cos2a；l-cos2a=2sin2a；I+sin2a=(sina+cosa)2；l-sin2a=(sina一cos6z)2.

3、其他常用变式

.c2sinacosa2tana入cos2«-sin2aI-tan2aasinal-cosa

sin2a=——----------—=---------—;cos2a=-----------—=---------—；tan—=------------=—-------

sin6Z+cosal+tanasina+cosal+tana2l+cosasma;

fy1

4、拆分角问题：①a=25；a=(a+B)-B;②a=〃一(£-a)；@a=—[(a+/3)+(a-]3)]；

|-T-T-q-r

④£=3(a+£)-("£)]；⑤]+a=5-(1a).

注意：特殊的角也看成已知角,如"”,办

5、和化积公式

a+Ba-B

sina+sinp=2sin------cos.......-

22

a-p

sina-sinp=2cossin

2

cosa+cosp=2coscos———

22

a+B.a-(3

cosa-cosp=-2sin------sin

22

7/41

6、积化和公式

a+/?)+cos(a

cosa-cosp二_0]

cos(a-£)-cos(a

sina•sinp二+m]

题型一：两角和与差公式的证明

【典例1-1】阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有

sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin/?①，

sin(tz-y0)=sinacos/3-cosasin/3②，

由①+②得sin(a+/)+sin(a—/)=2sinacos〃③.

A0AODHrlA+BA—B、/日,.nc•A+BA—B

令a+。=A,a-B=B,则°=-----,Bn=--------,代/Li入③得SHL4+sm5=2sm--------cos--------.

2222

(1)利用上述结论，试求sinl5o+sin75。的值；

J_R

(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos^-cosB=-2sinsin.

,的上C/1、・y。・ru。15°+75°15°-75°V6

【角牛析】(1)sinl5+sin75=2sin-----------cos------------=——;

222

(2)证明：根据两角和与差的余弦公式，有

cos(a+〃)=cosacosp—sinasin#①，

cos(a-P^=cosacos/3+sinasin/3②，

由①-②得cos(a+〃)-cos(a-0=-2sinasin/?③.

人oAnr>nilA+BA-B八、、厂\/口/A.-\-B.A—B

令a+B=A,a-P=B,则0=-------,Bn-----,代入③得cos/-cosB=-2sm--------sm--------.

2222

【典例1-2]如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点当左〃+尸(左EZ)时，以x轴非负半轴

为始边作角a,B，它们的终边分别与单位圆相交于点6(cosa,sina),0(cos尸,sin/?).

8/41

(1)叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；

(2)利用两角差的余弦公式与诱导公式.证明：sin(a-/?)=sinacos/?-cosasin/?.

(附：平面上任意两点片(巧,必)，P]8,%)间的距离公式唱=一w)2+(%一%)

【解析】(1)两角差的余弦公式为：cos(a-P)=cosacos+sinasin/?.

证明：作角a-6的终边与单位圆相交于点尸(cos(a-0),sin(a-£)).

连接。出,。尸，

若把扇形尸绕着点。旋转，角，则点尸分别与点2记重合.

根据圆的旋转对称性可知，0?与砺重合,

从而触=砺，所以。尸=24.

根据两点间的距离公式，得

[cos(a-/?)-1]2+sin2(6z-y5)=(cosa-cos时+(sina-sin/?)2

化简得cos9—〃)=cosacos,+sinasin0.

当a=2左乃+，(左EZ)时，容易证明上式仍然成立.

(2)证明：由诱导公式可知，sin(a—£)=—cos^+a-4

=几0

而cosl—+a-/)=cos工+acos夕+sinl-1+a卜in夕

12

=-sinacos/3+cosasin夕，

故sin(a-£)=-1-sinacos夕+cosasin(i\=sinacoscosasinP.

即证结论.

【方法技巧】

推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数

量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.

【变式1-1]如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点尸(cosa,sine),

Q(cos尸,sin/?).

9/41

(1)请分别利用向量而与丽的数量积的定义式和坐标式，证明：cos(tz-/?)=cosacos/?+sinasin/?.

(2)已知(1)中的公式对任意的a,7?都成立(不用证)，请用该公式计算cosl5°的值，并证明：

sin(a+/?)=sinacos0+cosasin，.

【解析】(1)证明：根据两个向量的数量积公式可得

OPOQ=cosacos户+sinasin(3，

再根据两个数量积的定义

OPOQ=|(?P|-cos(P~a)=cos(/7-a)=sin(a-/?),

/.cos(a-P)=cosacos£+sinasin0.

(2)由(1)可得cosl5°=cos(45°-30°)

=cos45°cos30°+sin45°sin30°

V2V3V21V6+V2

=x--1--x—=-----.

22224

,71

sin(a+,)=cos--(«+/?)

=sinacos/3+cosasin/3,即证.

【变式1-2】在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上

可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：

cos（cr一,）=cosacos/?+sinasin0.

具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOr内作单位圆O,以Ox为始边作角。,力.它们的终边与单位

圆。的交点分别为48.

10/41

则OA=（cosa,sina）,08=（cos夕,sin/7）,由向量数量积的坐标表示，有OA-OB=cosacos+sinasin/3.

设。砺的夹角为8,则04。8=|04卜|。而cos9=cos8=cosacos，+sinasin，，另一方面，由图（1）可

知，a=2kji+/3+0；

由图（2）可知戊=2左"+,一6,于是。一夕二2左乃士仇左EZ.

所以cos（a-夕）=cos。,也有cos（a-/?）=cosacos/?+sinasin£；

所以，对于任意角M仅有：cos（«~P）=coscos/?+sinasinp［Ca_p）.

此公式给出了任意角a,夕的正弦、余弦值与其差角a-/的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简

记作Cai.有了公式Q.夕以后，我们只要知道cosa,cos/?,sina,sin/的值，就可以求得cos（a-6）的值了.

阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中M是45的中点），采取类似方法（用其他方法解答

正确同等给分）解决下列问题：

⑴判断］=志而是否正确？（不需要证明）

a+Ba-B

(2)证明：sina+sin/?=2sin-------cos--------

22

一1一_k

【解析】（1）因为对于非零向量巩而几是［方向上的单位向量，又|反|=1且两与反共线,

11/41

所以反=4正确；

\OM|

(2)因为M为45的中点，贝

从而在AOAM中，|。河|=|OA|.cos#2a=cos」2a，

又前二产L两衣二(cos*2,sin"2],

\OM\I22J

又・•・〃■是48的中点

.痂产产g,包等叼,二回3？

.a+B1(sina+sin尸、八八

所以2a-BI2J，化间得，sina+sin/?=2sin------cos--------.

cos......-v722

结论得证.

题型二：两角和与差的三角函数公式

【典例2-1】(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知sinasin[a+/]=costzsinK-a],则tan12a+：

()

A.2-V3B.-2-V3C.2+V3D.-2+百

【答案】B

【解析】由题意a+'sinacosacos2a--sinacosa,BP^-cos2a=—sin2a,

222222

兀

r一23

(\tan2a+tan一_V3+1

即tan2a=6，所以tan2a+—=-----------------

I4Jl-tan2crtan—-1-V3-2

4

故选：B.

【典例2-2】（2024•浙江•三模）若5亩（。-/）+（：0$伍一/?）=2也81111-：，11/?，则（）

A.tan(6Z-y0)=-lB.tan(or-/?)=l

C.tan(a+/?)=—lD.tan(cr+/?)=l

【答案】C

【解析】因为sin(a-£)+cos(a-/?)=2Rin|a-；Fin/?,

12/41

兀・兀)•々

所以sinacos/3-cosasinJ3+cosacos/3+sinasin0=6ZCOS——cos«sin—sinp,

44)

即sintzcosp-cosasin夕+cosacos夕+sinasin夕=2sinasin尸一2cosasin夕,

即sinacosf3+coscrcos/?=sinasinP-cosasin〃,

两边同除cosacos4可得tana+1=tanatan(3-tan/7,

所以taMa+用当*

-1

1-tanatanp

故选：C

【方法技巧］

两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用。，夕的三角函数表示。±6的三角函数,

在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.

【变式2-1］（多选题）下列选项中，值为三的是()

A.2cos215°B.sin27°cos3°+cos27°sin3°

tan22.5°

C.2sin15°sin75°D.

l-tan222.5°

【答案】BCD

选项A：2cme83。。="^'故选项A不符合题意;

【解析】

选项B：sin27°cos3°+cos27°sin3。=sin30°=-,故选项B符合题意;

2

选项C：2sin15sin75°=2sinl50cosl5°=sin30°=—,故选项C符合题意;

2

tan22.5°12tan22.5°1.11心、小用厂•人口占*

选项D：匚高EF匚而4予=5.45。=5,故选项c付合题忌.

故选：BCD.

jr

【变式2-2］（多选题）已知0<a<〃<5，且1211%12116是方程252_10；1+1=0的两根，下列选项中正确

的是（）

A.tan(a+Q)=gsin(a+〃)6

•COS(6Z-/J)11

4--7T

C.tan(a-0)=-D.6Z+2/7——

【答案】AD

7T

【解析】1@11£推114是方程252-10_¥+1=0的两根，又0<a<£<5,

解得tana='tan夕=—,

73

13/41

11

—+—

tan…=更”型哒二

73A选项正确;

1-tanatan/1।——1x-1

73

sin(a+/?)sinacos/3+cosasin°tana+tan0

B选项错误;

C0S(6T-/?)cosacos尸+sinasin[31+tanatan/?

11

tangm=tana-tan"7~32

C选项错误;

1+tanatan/

-7L)TT

0<a</3<Q,tan(a+Q=g贝ij0<a+尸<万,有0<a+2,<兀，

11

—I—

tan(a+〃)+tan,23

tan(cr+2/?)=tan[(a+，)+£]=二1,

l-tan(a+〃)tan〃

1——1x-1

23

TT

a+2/?=—,D选项正确.

4

故选：AD.

题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形

【典例3-1】(2024•高三•陕西商洛•期中)已知戊，，满足(l+tana)(l—tan〃)=2,贝I］夕—a=___.

【答案】GZ)

【解析】因为(1+tana)。-tan#)=1+tana—tan/7—tanatan，=2,

gptana-tanfi=1+tanatan13,整理得匕”“=一1,即匕"/?-。)=一1,

1+tanatanB

IT

所以分一。=一1+左兀(左£Z).

故答案为：一：+左兀(左wZ).

【典例3・2】计算：tan730-tan1930-V3tan73°tan13°=___.

【答案】G

【解析】由题意tan73°-tanl3°-6tan73°tanl3°=tan。3°-13°)(+tan73°tanl30+#tan73tan13=枢.

故答案为：百.

【方法技巧】

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用

14/41

和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.

【变式3-1】cos(a+30°)cosa+sin(a+30°)sina=__.

【答案】立

22

【解析】因为cos(a+30°)cosa+sin(a+30°)sina=co](a+30)-句=cos30°,

故答案为：叵.

2

32

【变式3-2］(2024•江西•模拟预测)已知cos(a+/7)=《，cos(7cos/?贝!Jcos(2a—2，)=.

【答案】/

..32

【解析】因为cos(a+尸)=cosacos/?-sinasin/7=—,cosacos/?=—,

］_

所以sinasin/?=一

5

所以cos(a-/7)=cosacos/?+sinasin〃,

23

所以cos(2a-2/?)=cos2(a-/?)=2cos2(a-/7)-l=-w.

故答案为：-||.

【变式3-3]已知0,；,sin/?+sin/=sina,cosa+cosy=cos/,贝!JP~a=

【答案】-j

［解析］由sin/?+sin/=sina,cosa+cos/=cos夕,

可得sin/=sina—sin#,cos/=cos，-coscr,

2

两式平方相加，可得：1=(sina-sin尸y+(cos/?-coscr)=2-2(sin/sina+cosf3cosa)=2-2cos(尸-a),

即cos(/7一a)=；,

又由7可得sin/=sina-sin夕〉0,所以sina>sin£,所以力

因为a,尸且cos(〃-a)=；,所以0-£=-*

故答案为：-三.

71

【变式3-4］设cosa+cos4=—,sina-sin4,则sin2022(a+/?)+cos2022(a+/?)=.

15/41

【答案】1

【解析】由cos。+cos/?=j=>cos2cr+cos2/7+2cos6Zcos/7=—(1),

11

sina-sin/7=《=sin2a+sin2/?-2sinasin4=-(2),

(1)+(2),得2+2cos(a+〃)=2=cos(a+〃)=0,

所以sin2(a+夕)=1-cos2(a+1)=1,

故sin2022(a+/)+cos2022(a+0=1.

故答案为：1

题型四：利用角的拆分求值

【典例4-1]（2024•辽宁•模拟预测）已知sin[a+e]=],则sin（2a+詈）=.

7

【答案】-/0.875

8

【解析】因为sin[c+《]=：,则

sm=sm

7

故答案为：—.

O

【典例4-2】已知a,月均为锐角，sinfa-好，sinf-J/7]=巫，贝i]cos"2的值为（）

I2J512J102

.41「V2r.逝

----DR.----

221010

【答案】B

717TKu”分/兀兀、a。/兀兀

【解析】因为月均为锐角，即0<a<—,0</?<—,所以。一不£（—后不），-y+/?e（--,-

乙।乙乙1乙

七2a+,「/B、(a0、、/B、(a0、.(B、.，a°、

所以cos-------=cos[(a-----)+(------F£)]=cos(6r-----)cos(------FB)-sin(a-----)sin(------F,)

2222222

16/41

故选：B.

【方法技巧】

常用的拆角、配角技巧：2tz=(e+£)+(e-£)；a=(a+4)一夕=(a—£)+£；

」+邛；YL°AL。__o7V7C|7C|

Ja-B)15=45-30；——\-a=-----------a

42<4J

等.

【变式4-1](2024•山东•模拟预测)已知cos(adcoscz=合，则sin|2a+—]=()

<J/JVo)

77

A.——B.——(—D.--

25252525

【答案】B

【解析】由

(兀、471..714兀.兀4

cosa——-coscr=—=>coscrcos—+sincrsin--coscr=—=>coscrcos——sinasm—=——=

I3j5335335

cos[a+工]二一±

I3j5

所以cos(2a+g]=2cos2(a+[一]=.,

=cos

LUsin^2a+^=cos-^2a+^j]^2a]=-cos(2a+^-\=一--.

)I3J25

故选：B

【变式4-2】已知3sin6+走cos6=l，则cos(5=()

22

1d-4

A.—B.--(

33

【答案】c

【解析】因为』sin6+走cos6=1,

22

所以6*ine+；cos“=l,

所以sin[e+F]=g,

Xcos^y+20^=l-2sin2^+^,

17/41

所以cos(兀1+2“=g,

3

故选：C.

【变式4-3］若a为锐角，且sin［a—e］=|,则cos2a=(

242477

A.B.C.D.

25252525

【答案】A

［解析］：a£(09，.二戊一^^一刁,%

sin(2a-^-)=2sin(a-；)cos(a-^-)=2x|-xy=-^-,

TTTT24

则cos2a=sin(--2a)=-sin(2a--)=--

故选：A.

题型五：给角求值

2sin18°f3cos29°-sin29°-ll

【典例5-1](2024•重庆-模拟预测)式子-------------广---------化简的结果为()

cos6°+V3sin6°

A-IB.1C.2sin