2024年中考数学复习重难点(全国版)：反比例函数与几何图形综合问题（重点突围）(解析版)

反比例函数与几何图形综合问题

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目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一反比例函数中K值的几何意义】....................................................1

【考向二反比例函数与三角形的综合问题】..................................................8

【考向三反比例函数与矩形的综合问题】...................................................15

【考向四反比例函数与菱形的综合问题】...................................................22

【考向五反比例函数与正方形的综合问题】.................................................32

【考向六反比例函数与圆的综合问题】.....................................................42

【直击中考】

【考向一反比例函数中K值的几何意义】

例题：（2022•辽宁盘锦•校考一模）如图，点A、C为反比例函数y=&（x<0）图象上的点，过点A、C分别

X

作/3/x轴，Six轴，垂足分别为5、D,连接。4、AC、OC,线段OC交于点E,点E恰好为OC

3

的中点，当△/EC的面积为习时，上的值为.

【分析】设点C的坐标为（加,&）,则点£（1加，4）,—）,根据三角形的面积公式可得出

m22加2加

aa

SOEC=--^=T,由此即可求出左值.

o2

【详解】

解：设点C的坐标为（"?,勺），则点答），/（》"，—）,

m22加2冽

~：S.,Pr=-BDAE=-（-m-m）.（―—）=-^c=-

AAEC22、2ni2m82'

:.k=-4.

故答案为：-4.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点C的坐标，利用点C的横坐标

表示出A、£点的坐标.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐

标特征表示出点的坐标是关键.

【变式训练】

k

1.（2023•安徽宿州•统考一模）如图，若反比例函数y=?x<0）的图像经过点4,48/无轴于8,且“08

的面积为3,则左的值为.

B\Ox

【答案】-6

【分析】根据反比例函数比例系数人的几何意义，结合图像的分布计算即可.

【详解】设

IJJlJOB=|w|=--m,AB=|H|=M,k=mn,

"08的面积为3,

OB>AB=卜同=一；rrm=3,

解得mn=-6,

k——6,

故答案为：-6.

【点睛】本题考查了根据三角形面积确定反比例函数比例系数k,熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.

k

2.（2023•广东深圳•校考一模）如图，已知N是y轴负半轴上一点，点2在反比例函数y=Jx>0）的图像上,

交x轴于点C,OA=OB,ZAOB=120°,“OC的面积为26，贝4左=.

y

2V3

过点作皿轴于点根据题意结合图形及含度角的直角三角形的性质得出；

【分析】B1xD,30BD=OB,

再由三角形面积求解即可.

【详解】解：过点2作网＞工x轴于点D,如图所示.

ZAOB=120°,ZAOC=90°,

ZBOD=ZAOB-ZAOC=120°-90°=30°,

BD=-OB.

2

又OA=OB,

:SAOBD=3S&AOC,

k—2S=2xy[3=25/3.

故答案为：2G.

【点睛】题目主要考查反比例函数与三角形面积及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是

解题关键.

3.（2022•黑龙江绥化•校考二模）如图，在A/OB中，OC平分N/O3,,反比例函数＞=幺（左＜0）图

（JD4x

象经过点A、。两点，点3在x轴上，若的面积为9,则左的值为

%

A

BOx

72

13

【分析】先利用面积关系得到*=5,利用人的几何意义得到达"=S梯形9c

,再利用ABCNSAB/M

riJVly

得到对应边的关系进一步转化即可得到左得值.

【详解】解：过点。作CN1O5,CDLOAf过点A作/M1O5,

.「。。平分//。3,

:.CN=CD,

OA5

OB4

Cs

QAOZC_

3BOC4'

.「△/OB的面积为9,

…ACO5SRCC-4

S.BOC__4

S-AOBAM91

..%v0,

由反比例函数的性质可知：S&AOM=$&CON

,S4AoM+S梯形4Mvc=S^AOC+S^CON,

-S&AOC=S梯形4vwc—5,

,：CN!IAM,

:ABCNS^BAM,

3BCNCN

3BAMAM

□△BCN16

S梯形AMVC65

.Q—IlS

…、ABCN-77、3，

65

【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是能作出辅助

线构造出相似三角形，能利用面积关系建立方程进行求解.

4.（2023秋•安徽池州•九年级统考期末）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数了=v（左＞0）的

X

3

图象上，NC交》轴于点8,若点B是/C的中点，-08的面积为5，则上的值为.

3

【分析】根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得4CDB=SMOB=SABCO=：，进而得出

=3,由系数上的几何意义可得答案.

【详解】解：如图，过点。作CDly轴于

/.ZCDB=AAOB=90°,

7点5是ZC的中点，

AB=CB,

在小⑶。和△BCD中,

AAOB=ZCDB

<AABO=Z.CBD,

AB=BC

.•.△C053"OB（AAS）,

/.BD=OB,

3

…S^CDB=S"OB=S^BCO二万，

-S^COD~3,

；I左1=S.COD=3,

\|眉=6,

k=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查反比例函数系数左的几何意义以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解反比例函

数系数左的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质.

5.（2023•重庆黔江•校联考模拟预测）如图，两个反比例函数＞=£（笈wO）和."=3在第一象限内的图像依次

X%

是G和Q,设点P在。上，尸CLX轴于点C,交G于点A,尸。上了轴于点。，交。2于点8,若四边形尸408

的面积为5,贝壮=.

33

【分析】根据反比例函数中k的几何意义：S、BOD=-、S“℃=-、S正方形pc”=仙由图形可知

33

S正方形PCQD=SXBDO+S^AOC+SmPAOB,根据四边形尸NOB的面积为5,得到左、+a+5=8,从而得到答案.

【详解】解：>=与左NO）；C2：y=3点P在。上，尸Cix轴于点C,交CZ于点A,尸Dly轴

XX

于点。，交。2于点3,

33

SXBOD=5'S"OC=W、SjE方形PCOD=k,

:四边形尸/。8的面积为5,

33

••k=-I---F5=8

22

故答案为：8.

【点睛】本题考查反比例函数左的几何意义，根据题中图像，数形结合得到图形面积关系是解决问题的关键.

6.（2023•湖北省直辖县级单位•校考一模）如图，矩形OZBC与反比例函数必=与（《是非零常数，x>0）

X

的图像交于点反比例函数%=$（七是非零常数，x>0）的图像交于点5,连接OM,ON.若四边

X

形OMBN的面积为3,则2&-2kl=

【答案】6

【分析】根据反比例函数中左的几何意义：反比例函数图像上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形

面积等于4,数形结合可以得到=以S矩…=匕|，根据图像均在第一象限可知

k-0,再由四边形。的面积为3,得到左2=g+g+3,即可得到答案.

【详解】解：:矩形0/2C与反比例函数必=区（匕是非零常数，x>0）的图像交于点M,N,

X

，由反比例函数中左的几何意义知，L

;矩形0/5。与反比例函数为=打（左2是非零常数，x>0）的图像交于点B,

X

由反比例函数中左的几何意义知，S矩形3BC=向，

;四边形。〃av的面积为3,

由图可知，S矩形CUBC=S"OM+S&CON+S四边形0M5N，

即左2=g+g+3,解得质-匕=3,

/.2k2-2尢=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查反比例函数中左的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用上的几何

意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键.

【考向二反比例函数与三角形的综合问题】

例题：（2022•江西抚州"校考二模）如图，在等腰三角形/O3中，点。是平面直角坐标系原点，点

力在反比例函数y=：（x>0）的图象上，已知CU=5,08=6.

⑴求反比例函数的解析式；

⑵过点“作/尸垂直。4交反比例函数的图象于点P,交x轴于点C

①求直线/C的解析式；

②求点尸的坐标.

12

【答案】⑴反比例函数的解析式为广一（x>0）；

⑵①直线NC的解析式为y=-：x+等；②点P的坐标为(g,I),

【分析】(1)利用等腰三角形的性质求出点”的坐标即可解决问题；

(2)①利用相似三角形的判定和性质求得CR即可求得C的坐标，利用待定系数法即可求得直线/C的

解析式；

②解析式联立成方程组，解方程组即可求得点尸的坐标.

(1)

解：作4D_L05于。

-：AO=AB,OA=5,OB=6.

：.OD=BD=3,

-AD=yloA2-OD2=J52-32=4,

■-A(314),

把/(3,4)代入产幺(x>0),可得上=12,

X

12

反比例函数的解析式为片一(x>0)；

x

(2)

解：①

是直角三角形，

\ADLOC,

：.AOAD+ADAC=90°,AOAD+ADOA=90°,

.，/D4C=/DOA,

：.Rt/\DAC^Rt/\DOA,

.ADCD

,,速―IF'

：.AD2=OD-CD,即16=3*CZ),

,rn16

25

：.OC=OD+CD=—,

25小

C(―,0),

/.设直线AC的解析式为y=ax+b,

3a+6=4

把4。的坐标代入得，25八八

——a+b=Q

I3

3

a=——

解得2：，

b=—

I4

325

二直线AC的解析式为；

■12r16

y=一r,x=一

.•.点P的坐标为(1g6,(9).

【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式,

等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求得力的坐标.

【变式训练】

1.(2022•辽宁盘锦•中考真题)如图，点4的坐标是(2,0),zk/BO是等边三角形，点3在第一象限，反

比例函数的图像经过点B.

⑴求反比例函数的解析式；

⑵坐标平面内有一点。，若以43B,。为顶点的四边形是菱形，请直接写出。的坐标.

【答案】(1»=正

⑵(1,-百)或(-1,V3)或(3,V3).

【分析】(1)过点8作轴于点及根据等边三角形的性质可得出点8的坐标，代入解析式可得出反

比例函数的解析式；

(2)由题意可知A/BO是等边三角形，根据菱形的性质可知，需要分三种情况：当CM为对角线，当OB

为对角线，当为对角线，利用平行四边形的性质可直接得出点。的坐标.

(1)

过点8作轴于点瓦如图，

是等边三角形，A(2,0),

：.OA=OB=AB=2,ABOA=ABAO=60°,

OE=AE=1,BE=6,

，B(1,百)，

,反比例函数y=2的图像经过点8(1,V3).

X

(2)

若以4O,B,。为顶点的四边形是菱形，需要分三种情况:

①当。/为对角线，有xO+x/=x8+x。，yO+yA=yB+yD,

-O(0,0),A(2,0),B(1,V3),

0+2=\+xD,0+0=V3+yD,

：.xD=1,yD=-73.

.-D(1,-V3).

②当03为对角线，有xO+xB=xA+xD,yB+yO=yD+yA,

-O(0,0),A(2,0),B(1,右)，

0+1=2+xD,V3+0=Q+yD,

.'.xD=-1,yD=百.

..£>I,V3).

③当N8为对角线，有xN+xB=xO+xD,yA+yB=yO+yD,

-0(0,0),A(2,0),B(1,V3),

.,.2+1=Q+xD,0+V3=0+yD,

.'.xD=3,yD=y/3.

.-D（3,V3）.

综上，若以4O,B,。为顶点的四边形是菱形，点〃的坐标为（1,-百）或（-1,6）或（3,V3）.

【点睛】本题属于反比例函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，菱形的性质与判定，分类讨论思

想等知识，解题关键是进行正确的分类讨论，并根据平行四边形的性质得出方程.

2.（2022•江苏苏州•统考一模）如图，在平面直角坐标系中，AONB与是等边三角形，边CM,/C在

x轴上，点、B,。在第一象限.反比例函数片&（x>0）的图像经过边08的中点M与边40的中点N,已知等

X

边4OAB的边长为4.

⑴求反比例函数的表达式；

⑵求等边△/CD的边长.

【答案】⑴反比例函数的表达式为

⑵等边△NC£>的边长为4逐-8.

【分析】（D根据等边三角形的性质以及“是。2的中点，通过作垂线构造直角三角形可求出点M的坐标,

进而确定k的值；

（2）AD=CD=AC=4a,同理求得点N的坐标为（。+4,石“），代人尸鱼，解方程求解即可.

X

（1）

解：1,等边△CU3,

1.AB=BO=AO=4,Z_ABO—/_BOA-Z045=60°,

•.•点〃■是02的中点，

：.0M=BM=2,

过点初作血田，CM,垂足为凡

y

：.OF=I,FM=6

.,.点Af的坐标为（1,G），代人尸"得：k=y[^,

X

反比例函数的表达式为产3；

（2）

解：过点N作垂足为瓦

y

：.AD=CD=AC,/_ADC=/_DCA=ZCAD=60°,

：.^AD=CD=AC=4a,

•.•点N是/〃的中点，

:.AN=DN=2a,

同理，得：AE=a,NE=43a,

OE=a+4,

点N的坐标为（a+4,百q）,代入片如得：

x

^3a（6Z+4）=-\/3,

整理得：a2+4a-l=0,

解得：a=若-2或-石-2（负值，舍去），

:.等边△48的边长为475-8.

【点睛】本题考查等边三角形的性质、反比例函数的图象和性质，正确求出点的坐标和函数的关系式是解

决问题的关键.

3.（2022・四川雅安・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形N5。的直角顶点/的坐

Q

标为［m,2）,点2在x轴上，将△/BO向右平移得到△£）££使点。恰好在反比例函数y=—（x>0）的

X

⑴求m的值和点D的坐标；

⑵求。厂所在直线的表达式；

⑶若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G,求SAEFG.

【答案】⑴山=-2,。（4,2）

⑵直线的解析式为：y^-x+6.

（3）SvEkG=8.

【分析】⑴如图，过A作NH18。于〃，利用等腰直角三角形的性质可得/〃=3〃=2,从而可得加

的值，再由平移的性质可得。的纵坐标，利用反比例函数的性质可得。的坐标；

（2）由4（-2,2）,。（4,2）,可得等腰直角三角形向右平移了6个单位，则尸（6,0）,再利用待定系数法求解

一次函数的解析式即可；

（3）先联立两个函数解析式求解G的坐标，再利用三角形的面积公式进行计算即可.

【详解】⑴解：如图，过A作于"

\/（一2,2）,即〃?=一2,

由平移的性质可得：yD=yA=2,

\x°=|=4,即。（4,2）,

（2）由/（-2,2）,。（4,2）,

•••等腰直角三角形向右平移了6个单位,

\尸（6,0）,

设口尸为y=kx+b,

、\4k+b=2\k=-\

,解得:

16k+b=0]b=6

直线DF的解析式为：y=-x+6.

（3）如图，延长阳交反比例函数于G,连结EG,

y=-x-^-6

,8,

y=-

IX

=2x=4

t=4,）,=2'经检验符合题意；

\G（2,4）,

QEF=BO=4,

\SVEFG=；仓质%=扣44=8.

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，坐标与图形，反比例函数的图象与性质，函数的交点坐标

问题，一元二次方程的解法，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练是求解G的坐标是解本题的关键.

【考向三反比例函数与矩形的综合问题】

例题：（2022春•河南南阳•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=4x>0）的图像和

X

矩形/3C。都在第一象限，平行于x轴，且』8=1,2,点/的坐标为。,4）.

⑴直接写出B,C,。三点的坐标；

⑵若将矩形向下平移，矩形的两个顶点4C恰好同时落在反比例函数的图像上，请求出矩形的平移距离和

发的值.

【答案】⑴8(1,3),C(3,3),D(3,4)

⑵平移的距离为彳5，k=g3

【分析】(1)根据矩形性质得出/8==1,AD=BC=2,即可得出答案；

(2)设矩形平移后N的坐标是(1,4-x),C的坐标是(3,3-x),得出左=1(4-x)=3(3-x),求出x,

即可得出矩形平移后4C的坐标N(1,：),C(3,；),从而求得平移距离与h

22

(1)

解：1,四边形/8CD是矩形，4D〃x轴，且N8=l,ND=2,点/的坐标为(1,4),

:.AB=CD=1,AD=BC=2,

B(1.3),C(3,3),D(3,4)；

(2)

解：设矩形平移后/的坐标是(1,4-x),。的坐标是(3,3-x),

・•・/、C落在反比例函数的图像上，

.'.k=\(4-x)=3(3-x),解得x=g,

即矩形平移后/(1,|),C(3,I),

二平移的距离=4-：3==5，^=lx31=31.

2222

【点睛】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式、矩形的性质及坐标与图形的变化-平移，熟知反

比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

【变式训练】

1.(2022秋•湖南永州•九年级统考期中)如图，矩形/8CO的两边3C=4,CD=6,E是CD的中点，反比

例函数夕=4的图象经过点及与交于点尸.

X

(1)若点8点的坐标为(-6,0),求:的值;

(2)连接若4F=4E,求反比例函数的表达式.

【答案】(1)k=-6；(2)y=--.

尤

【分析】(1)根据点8坐标为(-6,0),BC=4,CD=6,E是CD的中点，即可求出点E的坐标，进而

求得依

(2)根据=结合⑴利用勾股定理可得/£=5,进而得"=1,设点E3,3),得点尸3-4,

1),利用了•>=左列方程即可求得。，进而求得反比例函数的表达式.

【详解】解：(D点8坐标为(-6,0),

:.OB=6,

:BC=4,

：.OC=2,

:CD=6,K是CD的中点，

:.DE=CE=3,

■■-E(-2,3),

•••反比例函数y=勺的图象经过点E,

:.k=-6；

连接AE,

,•・四边形/BCD为矩形,

：.AD=BC=4,

■:DE"CD=3,

根据勾股定理，得AE=YIAD2+DE2=5,

\AF=AE=5,

：.BF=AB-AF=1,

设点E点的坐标为(a,3)

则点尸的坐标为(。-4,1),

k

■：E,尸两点在函数y=上的图象上，

X

「.a-4=3a,

解得6Z=-2,

•.E(-2,3)

/.k=-2x3=—6,

.•.反比例函数的表达式为y=-

【点睛】本题考查反比例函数的解析式，熟练使用尤•y=左是解题的关键

4

2.(2023春•辽宁大连•九年级专题练习)已知M、N为双曲线y=-(x>0)上两点，且其横坐标分别为J

x

a+2,分别过W、N作V轴、x轴的垂线，垂足分别为C、A,交点为3.

⑴若矩形CU8C的面积为12,求。的值；

⑵随着。的取值的不同，W、N两点不断运动，判断M能否为8C边的中点，同时N为中点？请说明理

由；

⑶矩形CM3C能否成为正方形？若能，求出此时。的值及正方形的边长，若不能，说明理由.

【答案】⑴。=1

⑵能，理由见解析

(3)能，a=-l+V5,正方形的边长为6+1,祥见解析

【分析】(1)用含。的代数式表示OC、OA,因为矩形0/3C的面积=CM-OC=12,得出含。的方程即可;

(2)当初为3c边的中点时，即a+2=2a,计算验证此时N是否为N3中点即可；

(3)当矩形。48c为正方形，即OC=。/,用含。的代数式表示OC、建立含。方程，求解检验即可.

【详解】(1)解：因为M、N横坐标分别为。，a+2,

4

所以OC=—,OA=a+2,

a

由矩形的面积为12得：OAOC=12

4

即—(“+2)=12,

a

解得：4=1.

(2)解：若河为边的中点，根据题意有：〃+2=2〃,

解得，。=2,

则"的坐标为(2,2),此时N的横坐标为4+2=4,

44

则纵坐标为一-=-=1,即4N=1,

a+24

而43=2,即N是45中点，

故当。=2时M为边的中点同时N是45中点.

(3)解：若矩形CM3C为正方形，则OC=CU,

4

因为。。=一，CM=Q+2,

a

.4c

..—=Q+2,

a

整理得：6z2+2(2-4=0,

...2+@+S=T+B/=2@+16-_追(舍去)，

22

故°=-1+右时矩形。NBC为正方形，

正方形边长为a+2=75+1.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，关键要掌握用代数的方法解决几何问题技巧，把几何问题转化为

方程求解问题.

3.(2023•全国•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，矩形O48C的顶点8的坐标为(8,4),OA,OC

分别落在x轴和y轴上，将ACMB绕点。逆时针旋转，使点2落在y轴上，得到AODE,OD与C8相交于

点、F,反比例函数y=；(x>0)的图象经过点凡交于点G.

⑴求k的值.

⑵连接尸G,则图中是否存在与△FBG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行

证明；若不存在，请说明理由.

（3）点M在直线QD上，N是平面内一点，当四边形是正方形时，请直接写出点N的坐标.

【答案】⑴左=8

⑵存在，XOCFsXFBG、XODEsXFBG,/\BCO^/\FBG,AOAB^FBG-,证明见解析

⑶（11,7）或（5,-5）

【分析】⑴根据矩形及旋转的性质得出再由相似三角形的判定和性质得出点尸的坐标

为（2,4）,代入解析式求解即可；

（2）根据题意得出相似三角形，再由相似三角形的判定证明即可；

（3）由（2）及正方形的判定得当,=尸6时，四边形GFW是正方形，分两种情况分析：当点M在点尸

上方时，当点M在点尸下方时，分别利用全等三角形的判定和性质确定点M的坐标，再根据正方形的性质

即可求出点N的坐标.

【详解】（1）解：1,四边形。43c为矩形，点2的坐标为（8,4）,

AOCB=ZOAB=ZABC=90°,OC=AB=4,OA=BC=S.

■：AODE是A048旋转得到的，

/\ODE^/\OAB,

：.ACOF=AAOB,

ACOFMAOB,

CFOC口“CF4

——=——，即——=-,

ABOA48

解得CF=2,

二点月的坐标为（2,4）,

•.”=：（x>0）的图象经过点£

.k

4=一

一21

解得k=8.

（2）△OCFsAFBG,/\ODE^/\FBG,A5CO-AF8G,△OABMFBG.

选△OCFsG.

证明：1.点G在A8上，

.,.点G的横坐标为8,

二点G的坐标为（8,1）,

AG=1.

・;BC=OA=8,CF=2,AB=4,

/.BF=BC-CF=6,BG=AB-AG=3,

•_42CF2

,PCCF

NOCF=NFBG=90。,

XOCFs2FBG.

（3）由（2）知△OC尸s△加G,

NOFC=NFGB,

.//BFG+NFGB=9V,

:ZBFG+ZOFC=90°,

ZOFG=90°,

当月〃=/G时，四边形GWIW是正方形，

当点河在点尸上方时，如图所示：过点刊作必/lx轴，交BC于点、L,

/.ML1BC/MLF=90。,

'：ZMFG=90°,NMFL+NFML=9G0,NMFL+NBFG=9。。,

/.NFML=ZBFG,

FG=MF,

：.^FLM^GBF,

:.ML=BF=6,FL=BG=3,

:.CL=CF+FL=5,MH=ML+LH=6+4=XQ,

点M（540）,

..0=2,AB=A,

."（2,4）,

•・・点G的坐标为（8,1）,

设点N（x,y）,

,x+25+8y+41+10

22―2，

解得：X=ll,y=7,

;.N（11,7）；

当点M在点尸下方时，如图所示：过点“作MHLx轴，交3c延长线于点L

同理可得△①产，

：.ML=BF=6,FL=BG=3,

CL=FL-CF=1,MH=ML-LH=6-4=2,

，点M（T-2）,

■:CF=2,AB=4,

，尸（2,4）,

•・•点G的坐标为（8,1）,

二设点N（x,y）,

.x+2-1+8y+41-2

T:2'=F，

解得：x=5,y=-5,

;.N（5,-5）,

综上可得：点N的坐标为（11,7）或（5,-5）.

【点睛】题目主要考查正方形的性质及反比例函数的确定，相似三角形及全等三角形的判定和性质，坐标

与图形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.

【考向四反比例函数与菱形的综合问题】

例题：（2022.江苏常州.常州实验初中校考二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形N3CD的顶点C与原点

。重合，点2在V轴的正半轴上，点/在反比例函数y="（x>0）的图象上，点。的坐标为（4,3）.

X

(1)求上的值及所在直线的函数表达式；

(2)将这个菱形沿x轴正方向平移，当顶点。落在反比例函数图象上时，求菱形平移的距离.

【答案】⑴左=32,尸33+5；⑵菱形/BCD平移的距离为20

【分析】(1)根据点。的坐标为(4,3),即可得出DE的长以及。。的长，即可得出/点坐标，进而求出

人的值；

(2)根据。尸的长度即可得出。点的纵坐标，进而利用反比例函数的性质求出。产的长，即可得出答案.

【详解】⑴作。£，3。，。尸，x轴于点尸，

O|(QFF'x

:点。的坐标为(4,3)

：.FO=4,DF=3

:.DO=5

：.AD=5

■'-A点坐标为：(4,8)

.,.孙=4x8=32

.,.左=32

由菱形的性质得到8(0,5)

j3

,、f4a+6=8a=—

设直线的方程为：y=ax+b{a^0),则解得4

y[b=5

所在直线的函数表达式：y=；x+5

（2）•将菱形/BCD向右平移，当点。落在反比例函数y=：（x>0）的图像上

:.DF=3,D'F'=3

点的纵坐标为3

二菱形48czl平移的距离为：—

【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及菱形的性质，根据已知得出/点坐标是解题关键.

【变式训练】

1.（2022•贵州安顺•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形N3CD的顶点。在了轴上，A,。两

点的坐标分别为（4,0）,（4,机），直线C。：尸依+6（”0）与反比例函数y=?左wO）的图象交于C,

网-8,-2）两点.

⑴求该反比例函数的解析式及用的值；

⑵判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由.

【答案】⑴>=£俏=4

X

⑵点8在该反比例函数的图象上，理由见解答

【分析】（1）因为点2-8,-2）在双曲线>=£上，所以代入P点坐标即可求出双曲线夕=上的函数关系式，又

因为点C（4,m）在y=幺双曲线上，代人即可求出m的值；

（2）先求出点3的坐标，判断即可得出结论.

【详解】⑴解：将点尸(-8,-2)代入y=—中，得后=-8x(-2)=16,

X

•••反比例函数的解析式为y=-,

X

将点C(4,⑼代入了=3中,

X

，曰16,

得加=丁=4；

4

(2)解：因为四边形Z5CD是菱形，44,0),C(4,4),

：.m=4,5(8,-m),

「•5(8,2),

由(1)知双曲线的解析式为y=收；

X

72x8=16,

•・•点B在双曲线上.

【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用加表示出点。的

坐标.

2.(2022•辽宁锦州•中考真题)如图，平面直角坐标系xOy中，四边形O/3C是菱形，点/在y轴正半轴上,

点B的坐标是(-4,8),反比例函数y=勺(x<0)的图像经过点C.

X

⑴求反比例函数的解析式；

CD3

⑵点。在边CO上，且过点。作。EIIX轴，交反比例函数的图像于点瓦求点E的坐标.

DO4

12

【答案】⑴"-一(x<0)；

x

(2)(-7,y)；

【分析】⑴过点8作8FU轴，垂足为凡设点/为(0,，")，根据菱形的性质和勾股定理求出OA=BC=AB=5,

然后求出点。的坐标，即可求出解析式；

(2)作DGLv轴，轴，垂足分别为G、H,先证明△ODGsaOCa求出OG=7,DG=—,然

后得到点D的纵坐标，再求出点E的坐标即可.

【详解】(1)解：根据题意，过点3作8/，了轴，垂足为尸，如图：

,四边形Q43C是菱形，

设点/为(0,m),

OA=BC=AB=m,

•••点2为(一4,8),

:.BF=4,AF=%-m,

在直角尸中，由勾股定理，则

AB2=BF2+AF2,即机2=42+(8-加>,

解得：m=5,

OA=BC=AB=5,

.•.点C的坐标为(-4,3),

k

把点。代入歹=一，得左=—4x3=—12,

x

12

.•.反比例函数的解析式为》=——(x<0)；

x

(2)解：作。轴，CHLx^,垂足分别为G、H,如图,

CD3

,而一"

OD_4

'~OC~71

：DGIICH,

:.丛ODGs丛OCH,

.OGDGOPA

''OH~~CH~~OC~7,

•・•点。的坐标为（-4,3）,

二.OH=4,CH=3,

OGDGA

一才一亍一亍

八厂1612

CJCr=——,DG=——，

77

.••点。的纵坐标为牛12,

•・•O£||x轴，

.•・点£的纵坐标为12?

1212后…

­'■—=——,解得x=-7,

7x

t12

二点E的坐标为（-7,—）；

【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识,

解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，从而进行解题.

3.（2022•广东广州•统考二模）如图，一次函数了=姑+1的图象与反比例函数y=§的＞。）的图象相交于A

3两点，点C在x轴正半轴上，点。（1,-2）,连接04、OD、OC,AC,四边形Q4CD为菱形.

⑴求一次函数与反比例函数的解析式;

⑵设点P是直线AB上一动点，且Sgp=gs菱形04cB，求点P的坐标.

【答案】⑴一次函数的解析式为夕=x+l;反比例函数的解析式为歹=*;

X

⑵点尸的坐标为(-3,-2)或(5,6).

【分析】(1)由菱形的性质可知4。关于x轴对称，可求得N点坐标，把/点坐标分别代入两函数解析

式可求得人和心值；

(2)根据菱形的性质可求得。点坐标，可求得菱形面积，设尸点坐标为｛a,。+1),根据条件可得到关于

。的方程，可求得尸点坐标.

(1)

解：如图，连接40,交x轴于点及

y八

•四边形40DC是菱形，

：.ADLOA,AE=DE,EC=0E,

-D(1,-2),

:.OE=1,ED=2,

：.AE=DE=2,EC=OE=1,

■-A(1.2),

将/(1,2)代入直线y=hx+1可得4i+1=2,

解得h=1,

将/(1,2)代入反比例函数了=占可得2=与，

X1

解得：左2=2；

・・.一次函数的解析式为y=x+1；反比例函数的解析式为歹=24；

X

(2)

：OC=2OE=2,4D=2DE=4,

:.S藕OACD=3OC・AD=4,

-：SAOAP==S菱/OACD,

：.SAOAP=2,

设尸点坐标为(。，a+1),与>轴相交于凡

则下(0.1),

:.OF=1,

mcu尸=；xixi=y,

当尸在/的左侧时，SAFOP=Y(-a)-OF=-^-a=SAOAP-ShOAF=2-^=-,

2222

••ci=-3,tz+1=-2,

•.P(-3,-2),

当尸在/的右侧时，SAFOP=ga・OF=ga=SAO”+SAO4F=2+：=-,

2222

.,.4=5,4+1=6,

-P(5.6),

综上所述，点尸的坐标为(-3,-2)或(5,6).

【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，待定系数法求函数解析式，坐标与图

形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握反比例函数性质是解本题的关键.

4.(2022春•湖北恩施•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，菱形/8C。的顶点。在y轴上，A,

。两点的坐标分别为(2,0),(2,〃?)，直线CD：yi=ox+b与双曲线：芹=上交于C,尸(-4,-1)两点.

X

⑴求双曲线H的函数关系式及加的值；

⑵判断点8是否在双曲线上，并说明理由；

(3)若A4的延长线与双曲线芹=白交于另一点E,连接CE,DE,请直接写出△CDE的面积.

X

4

【答案】⑴»2=—;m=2

x

⑵点8在双曲线上，理由见解析

⑶2

【分析】⑴连接NC,8。相交于点瓦先求出£(2,3"),从而求出点D(0,1加)，B(4,；加),

2a+b=m

则有，b=；m，计算求解a,b,加的值，从而求出点C的坐标，进而可求出反比例函数解析式；

一4。+6=-1

(2)根据(1)求出点8的坐标即可得到答案；

(3)求出直线AB的解析式，从而求出点E的坐标，即可得到S△侬=4cw+5.四=gxlx2+；xlx2=2.

【详解】(1)解：连接NC,3。相交于点瓦

,•・四边形/BCD是菱形，

:.DE=BE,AE=CE,ACLBD,

轴,

二点D(0,；加)，8(4,；加)，

1.点C(2,m),D(0,；机)，P(-4,-1)在直线上,

2a+b=m

71

/.b=—m,

2

一4。+b=-1

解得：m=2,a-^,b=l,

点。(2,2),

1,点C在双曲线V2=X上，