任意角与弧度制及三角函数的概念（6题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题16任意角与弧度制及三角函数的概念6题型分类

彩题生江总

题型6:象限符号与坐标轴角的三角函数值题型1:终边相同的角

题型5：三角函数定义题题型2：角的象限问题

专题16任意角与孤度制及三

角函数的概念6题型分类

题型4：扇形计算的最值问题题型3：孤长与扇形面积公式的计算

彩先湛宝库

1、角的概念

（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；

②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.

（2）所有与角a终边相同的角，连同角a在内，构成的角的集合是5={0£=-360。+。,左eZ}.

（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就

说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

（4）象限角的集合表示方法：

象

限

角

的

集

合

2,弧度制

（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧

度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

jr1QAO

（2）角度制和弧度制的互化：180。=»八以，1°=——rad,lrad=—.

180兀

（3）扇形的弧长公式：l=\a\-r,扇形的面积公式：5=（＞=：同♦产.

3、任意角的三角函数

（1）定义：任意角a的终边与单位圆交于点尸（x,y）时，则sina=y,cosa=x,tana=-（x^O）.

X

（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点PR》，＞）是角。终边上异于顶点的任一点，设点尸到原点。的

、yxy

距离为厂,则sina=—,cosa=—,tana=—（xwO）

rrx

三角函数的性质如下表:

三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号

sinaR++——

cosaR+——+

71

tana{a\ak7t+—,k^Z]+—+—

记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

彩傩甄祕籍

（一）

终边相同的角

（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.

（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正

角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.

题型1：终边相同的角

1-1.（2024高二上・安徽合肥・学业考试）下列各角中与437角的终边相同的是（）

A.67B.77C.107D.137

【答案】B

【分析】写出与437。角的终边相同的角为8=437。+360。小，％eZ,即可得出正确答案.

【详解】与437。角的终边相同的角为6=437。+360。•鼠女eZ

当上=一1时，。=437。-360。=77。，B正确；

将A,C,D代入。=437。+360。京，ZeZ,得出％均不是整数，

即其他三个选项均不合要求.

故选：B

12（2024高一•全国•课后作业）下列与角下的终边相同的角的表达式中正确的是（）

4

A.2far+45（左cZ）B.Zr-360+*（kcZ）

Sir

C.fe-360-315（feeZ）D.加+半住eZ）

【答案】C

【分析】

根据终边相同的角的表示方法，以及角度和弧度的用法要求，分别判断各选项，可得答案.

QJT

【详解】对于A,B,2far+45（fceZ）,h360+7（左eZ）中角度和弧度混用，不正确；

对于C,因为?97r=2兀+J：r与一315是终边相同的角，

44

Qjr

故与角干的终边相同的角可表示为公360-315（fceZ）,C正确；

对于D,祈+与信eZ）,不妨取k=0,则表示的角彳与与终边不相同，D错误，

故选：C

1-3.（2024•山东）终边在，轴的正半轴上的角的集合是（）

II2JII2J

C.卜=1］+2E,左eZ,D.{x卜=-^+E,左eZ,

【答案】A

【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解

［详解】终边在y轴正半轴上的角的集合是jx||+2E,kezj

故选：A

1-4.（2024高一•全国•专题练习）若角。的终边与角粤的终边相同，则在［兀,2兀）内与角乌的终边相同的角

73

是.

・田心、347r.34

【答案】———兀

2121

【分析】根据终边相同角的表示，求得葭A二O-学TT+O半l^TT小©2,令无O-TT等Q＜2无，求得左=2,进而得到答案.

【详解】因为角。的终边与角”的终边相同，可得6=粤+2也,左eZ,

77

匚匚I”02兀2E

所以§=万+亍水£Z,

令兀<---1------<271,解得—W左<—,Z:GZ,所以k=2,

73147

所以在［兀,2无）内与角色的终边相同的角为坐.

321

故答案为：答34兀.

彩他题祕籍

角的象限问题

在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是

图象法

第几象限角

先将已知角化为七360。+矶0。a<360。，kez）的形式，即找出与己知角终边

转化法

相同的角a,再由角a终边所在的象限判断已知角是第几象限角

注：注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角

是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.

题型2:角的象限问题

2-1.（2024高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）若a是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（）

A.90°-aB.90°+«C.360。—aD.360°+a

【答案】C

【分析】由题意，根据角的定义和象限角的概念可判断各个选项.

【详解】因为a是第一象限角，所以一。是第四象限角，

则90。-夕是第一象限角，故A错误；90。+c是第二象限角，故B错误；

360°是第四象限角，故C正确；360°+a是第一象限角，故D错误.

故选：C.

2-2.（2024高一下咛夏银川•期中）已知a是锐角，那么2a是（）.

A.第一象限角B.第二象限角

C.小于180。的正角D.第一或第二象限角

【答案】C

【分析】由题知故2ae（O,万），进而得答案.

【详解】因为a是锐角，所以所以2ac（O,;r）,满足小于180。的正角.

其中D选项不包括90,故错误.

故选：C

2-3.（2024高三上•上海静安•期末）设a是第一象限的角，则多所在的象限为（）

A.第一象限B.第三象限

C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限

【答案】C

Of

【分析】根据a是第一象限的角，求出券的范围判断即可得解.

【详解】因为。是第一象限的角，

IT

所以2kli<a<2kn+—,左eZ,

2

ryTT

所以一<kn+—,kGZ,

24

当左二2〃,〃£Z时，2〃兀<—<2〃兀+—,neZ,?■为第一象限角；

242

（yJI（7

当上=2"+l,〃eZ时，2/771+IT<一<2〃兀+兀+—,〃eZ,—为第三象限角.

242

故选：C

5冗5冗

24（2024高三上・江苏南京•阶段练习）已知角a终边上有一点Hsin^.cos▼）,贝仃-々是（）

66

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

兀

【分析】根据?5所在象限可判断点尸所在象限，然后根据对称性可得.

6

57r5jr5冗

【详解】因为当是第二象限角，所以sin?>0,cos?<0,

所以点尸在第四象限，即角a为第四象限角，

所以一。为第一象限角，所以兀-。为第三象限角.

故选：C

aaa

2-5.（2024・全国•模拟预测）已知角。第二象限角，且cos5=cos§,则角5是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】A

【分析】写出象限角a的取值范围，可求出三是第一象限角或第三象限角，再由cosg>0可得出选项.

22

冗

【详解】因为角a第二象限角，所以万+2也<1<冗+2析估eZ）,

所以：++E信eZ）,所以角券是第一象限角或第三象限角.

又因为C0Saz=C0aS7,即COaS1>0,所以角aW是第一象限角，

2222

故选：A.

（5兀3兀）

2-6.（2024高三上•北京•开学考试）已知点尸sin^as1落在角。的终边上，且北［0,2叽则。是第（）

象限角.

A.-B.二C.三D.四

【答案】C

【分析】

首先求点尸的坐标，再判断。的象限.

Y、小岳.5n.（A/23兀（吟垃

【注解】sin—=sin7i+—=----，cos—=cos71——=----,

4I4）2414）2

所以尸-彳,-三，点夕是第三象限，所以e是第三象限角.

故选：C

彩他题秘籍（二）

弧长与扇形面积公式的计算

应用弧度制解决问题的方法

（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

题型3：弧长与扇形面积公式的计算

7

3-1.（2024高三下•上海松江•阶段练习）已知扇形的圆心角为］叫扇形的面积为3叫则该扇形的周长

为.

【答案】6+271

【分析】利用扇形面积公式可得半径R=3,可得弧长为2兀，即可计算出周长为6+2兀.

【详解】设扇形的半径为R,利用扇形面积计算公式S=：x：兀笈=3兀，

可得R=3；

2

所以该扇形的弧长为/=§71X3=271,

所以周长为/+2尺=6+2兀.

故答案为：6+271

3-2.（2024高一下•四川南充,期中）已知扇形圆心角a=60,a所对的弧长/=6兀，则该扇形面积为.

【答案】5471

【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解.

兀11

【详解】由弧长公式可得/=6疗可r=＞尸18,所以扇形面积为5=5%=5、6兀xl8=54兀，

故答案为：54兀

3-3.（2024高一上•福建龙岩•阶段练习）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出"以径乘周

四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米,

径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为—平方米.

【答案】100

【分析】本题可通过题意中的"以径乘周四而一”得出答案.

【详解】因为径长为20米，下周长为20米，

所以由题意中"以径乘周四而一”可知，

该扇形菜田的面积仓必）20=100平方米。

故答案为：100.

3-4.（2024高三上•湖北武汉•期中）杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省

杭州市举行，本届亚运会的会徽名为"潮涌"，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象

征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇

环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的;，内环所在圆的半径为1,径长（内

环和外环所在圆的半径之差）为1,则该扇面的面积为.

19thAsianGames

Hangzhou2022

【答案】兀

【分析】根据题意求出内环圆弧所对的圆心角，并求出外环圆弧所在圆的半径，利用扇形的面积公式可求

得该扇面的面积.

【详解】设内环圆弧所对的圆心角为a,因为内环弧长是所在圆周长的：，且内环所在圆的半径为1,

12兀

所以，6<xl=JX2KX1,可得a=

因为径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1,所以，外环圆弧所在圆的半径为1+1=2,

因此，该扇面的面积为Jx与X02-12）=限

故答案为：兀.

3-5.（2024高一上•重庆北倍•期末）在东方设计中存在着一个名为"白银比例”的理念，这个比例为0：1,它

在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的"黄金分割比例"，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设

扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为工，圆面剩余部分的面积为S。，当去=夜时，扇面较为美观.那

么按"白银比例"制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为.

【答案】2（夜-1）兀

【分析】设扇子圆心角为a,则圆面剩余部分的圆心角为2兀-々，圆的半径为「，根据扇形的面积公式得到

方程，解得即可.

【详解】解：设扇子圆心角为则圆面剩余部分的圆心角为2兀-0,圆的半径为人

2

则S[=；cz/,S2=-^（27T-a）r,

S-（27t-a）r2*4S

因为诚二拒，即J-------=五,即2n一夕=0«,

1-ar1

2

所以Q=5：］=2（应—1）兀・

故答案为：2（&-1）兀

题型4:扇形计算的最值问题

4-1.（2024高一上•山西朔州•期末）若一个扇形的周长是4为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧

度数是

【答案】2

4

【分析】设扇形的圆心角弧度数为。，半径为人根据题意，〃=2,根据扇形的面积公式即可得解.

【详解】解：设扇形的圆心角弧度数为a,半径为小

…4c

贝Ij4=2r+0,••.«=--2,

S=-ar2=-r2（--2）=2r-r2=r（2-r）„（r+2-r）2=1

22r2

当且仅当2-r=r,解得r=l时，扇形面积最大.

此时a=2.

故答案为：2.

4-2.（2024高三上・安徽六安•阶段练习）已知扇形的周长为20cm,则当扇形的圆心角a=扇形面积

最大.

【答案】2

【分析】由扇形周长公式列式2厂+/=20（0</<10）,根据扇形面积公式列式并化简为二次函数形式，从而

求解得r=5时扇形面积最大，计算出弧长/,由弧长公式计算圆心角的值.

【详解】设扇形的半径为「，弧长为/,

由题意，2r+/=20n/=2。—2r（0<r<10）,

扇形的面积为S=gb=g（20-2r）r=10-r2

=-（r-5）2+25（0<r<10）,所以当r=5时，

扇形面积取最大值25,此时/=20-10=10,

所以扇形的圆心角a='=¥=2时，扇形面积最大.

故答案为：2

4-3.（2024高一下•浙江温州•期中）已知扇形A03的周长为8,则扇形A03的面积的最大值是—,此时弦

长AB=—.

【答案】44sinl

【分析】设扇形A08半径为「，贝IJ弧长/=8-2厂，扇形面积5=3“=-/+4厂=-（-2）2+4解得答案.

【详解】由题意，可设扇形半径为「，则弧长/=8—2r,圆心角a=殳3=»-2,

rr

扇形面积s=g〃=一/+4'=一（r一2）2+4,

所以当r=2时，有Sm「4,止匕时弦长”|=rsin&AOB]=2sinl

故答案为4和4sinl

【点睛】本题考查了扇形面积的最大值和弦长，意在考查学生的计算能力.

4-4.（2024高一下•辽宁大连•阶段练习）已知某扇形的面积为3,则该扇形的周长最小值为（）

A.2B.4C.2退D.4-

【答案】D

【分析】设扇形的弧长为/,半径为人由题意可知"=6,再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值.

【详解】设扇形的弧长为/，半径为「，

所以扇形的面积为，/"=3,所以>=6,

又扇形的周长为/+2r,所以/+2r22/i7=4指，当且仅当七一2：，即/=2r=2石时，取等号.

[lr=6

故选：D.

4-5.（2024高三上•江西鹰潭•阶段练习）已知一扇形的圆心角为a,半径为，，弧长为/,若扇形周长为20,

当这个扇形的面积最大时，则圆心角夕=弧度.

【答案】2.

【分析】由题意得到/=20-2人求得扇形的面积S==-（一5）2+25,结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，扇形的圆心角为a,半径为广，弧长为/,且扇形周长为20,

可得/+2r=20,BP/=20—2r,

则扇形的面积S=；/r=；(20-2/)»=(10-厂)"=-产+10厂=-(—5)2+25,

当r=5时，扇形面积取得最大值，此时。='=*=2.

r5

故答案为：2.

彩健题海籍

(四)

三角函数定义题

(1)利用三角函数的定义，已知角a终边上一点尸的坐标可求a的三角函数值；已知角a的三角函数值，

也可以求出角a终边的位置.

(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定

所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.

题型5:三角函数定义题

5-1.(2024高三上•广东深圳•期末)已知角a的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边与单位圆交于

点A,若点A沿着单位圆顺时针旋转巳到B点，且.则cosa=________.

【答案】1二1

6

【分析】由三角函数定义得sin|a-：)=子,8$］夕一:)=：

应用和角余弦公式求目标函数值.

【详解】由三角函数定义知sin、-：)=竿,cos|a-£|=：

r

rmIY兀、兀］(兀、兀.(九、.兀0-4

贝Ucosa=cosa——+—=cosa——cossina——sin

LI4)4」I4j4I4；4-6

故答案为：也心

6

尸(％,1)为其终边上一点，且cosa=；九，则

5-2.(2024高一上•天津武清•阶段练习)设。是第二象限角，

tana=_______.

【答案】-正/—亚

44

【分析】由三角函数的定义及角所在象限、终边上的点列方程求参数，进而求正切值.

X111

【详解】由题设则士二：且XVO,可得力=—20，

，x+13x+19

所以tana=—=-^-.

x4

故答案为：

4

53（2024高三・全国•专题练习）已知角。的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点

P（2班,一2）,则cos8=（）

AD111「小

A.b.-C.U.----

2222

【答案】A

【分析】根据题意，由三角函数的定义，代入计算，即可得到结果.

【详解】回角〃的终边过点尸（2"-2）,回.2石，尸一2,2灼2+（_2）2=4,

由三角函数的定义知cosO=±=，L

r2

故选：A.

5-4.（2024高三上・北京•阶段练习）己知角a的终边为射线y=x（xW0）,则下列正确的是（

A.a=B.cosar=C.tan^tz+—=-1D.sin^a+—=1

【答案】C

【分析】

由题知角a的集合为|a•=?+2A乃次ez1,再结合诱导公式依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：因为角。的终边为射线y=40）,

57r

所以，角ae[Q2句时，a=—,

4

所以，角a的集合为｛。|[=亨+24况左ez1,故A选项错误；

所以，cosa=cos^^+2Z：7r^=-^-,故B选项错误；

tan^a+^=tan^^+2^+^=tan^=-l,故C选项正确；

sin[tz+?j=sin[与+2%r+3）=sin与=-1,故D选项错误.

故选：C

彩健题淞籍.

（五）

象限符号与坐标轴角的三角函数值

正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；.

余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；.

正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负.

题型6:象限符号与坐标轴角的三角函数值

6-1.（2024・四川达州•一模）写出一个同时满足下列两个条件的角。=.（用弧度制表示）

①兀），②cosOWO.

【答案】m（答案不唯一，符合共弓,兀）即可）

【分析】由题意求出e的范围即可.

【详解】因为夕«0㈤,且cosOWO,

所以eegj,

JT

所以d可取不

2

故答案为：g.（答案不唯一，符合即可）

2L，/

6-2.（2024高一上•北京大兴•阶段练习）己知sintzcO,costz>0,则。是第象限角.

【答案】四

【分析】由三角函数的正负，判断角所在的象限；

【详解】sina<0,角a在第三，四象限和y轴非正半轴；

cos<z>0,角a在第一，第四象限和无轴非负半轴；

综上可知，满足sina<0,且cosa>0,则a是第四象限.

故答案为：四

6-3.（2004•北京）己知sin（e+7t）<0,cos（e-7t）>0,则下列不等关系中必定成立的是（）

eeee.ee.ee

A.tan—<cot—B.tan—>cot—C.sin—<cos—D.sin—>cos—

22222222

【答案】B

【分析】根据题设得sin。>0,cos。<0,即可确定e范围，进而求?，即可得答案.

2

【详解】由题设sind>0,cos©<0,故。为第二象限角，0e[2E+],2E+7tJ且左dZ,

匚匚…o（7i兀）口77Me9H.eo,,才士

所以二£E+：,fai+大且左eZ,故tan—>cot—,而sin—,cos一大小不定.

2V42）2222

故选：B

13兀

6-4.（2024局二,全国,对口IWJ考）若a=:，则（）

A.sina>0且cosa>0B.sina>0且cosa<0

C.sina<0且cosa>0D.sina<0且cosa<0

【答案】C

【分析】根据弧度判断角所在象限，进而确定对应函数值符号即可.

13兀7T

【详解】由。=丁=2兀-三，即。为第四象限角，

77

所以sin二v0且cosa>0.

故选：C

媒习与梭升

一、单选题

1.（2024•全国）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的"会圆术",

如图，是以。为圆心，。4为半径的圆弧,C是A3的中点，D在AB上，"会圆术”给出48的

弧长的近似值s的计算公式：s=AB+C±.当O4=2,NAOB=60。时，s=()

OA

A11-3"11-473D"4G

Rc9-3八

--2-2•--2-

【答案】B

【分析】连接OC,分别求出AB,OC,C£>,再根据题中公式即可得出答案.

【详解】解：如图，连接0C,

因为C是A3的中点，

所以OC_LAB,

又CD_LAB,所以0,C,。三点共线，

即8=04=03=2,

又NAO8=60°,

所以AB=OA=OB=2,

则。c=5故CD=2-6，

所以s=4B+空=2+9一班）2=11Z^1.

0A22

故选：B.

2.（2024高三上•安徽合肥•阶段练习）已知扇形的圆心角弧度为2,所对弦长为6,则该扇形的面积为（

3939

sin2sin22sinlsin2l

【答案】D

【分析】由扇形的弧长和面积公式求解即可.

【详解】因为扇形的圆心角弧度为2,所对弦长为AB=6,。为圆心，如下图,

取的中点。，连接0。，则OD_LAB,贝ijsinNAO。=sinl,

33

则扇形的半径〃=「，所以扇形的弧长，=2x—

sin1sinl

o1369

2sinlsinlsin1

A

D

OB

故选：D.

3.（2024高三・全国•专题练习）在平面直角坐标系xOy中，角a的顶点为原点。，以x轴的非负半轴为始边,

终边经过点PQm）5<0）,则下列各式的值恒大于0的有（）个.

①sm"；②cosa-sina；③sinacosa；（4）sina+cosa.

tana

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据三角函数定义得到sina<0,costz>0,tana<0,再依次判断每个式子得到答案.

.m1

【详解】sina="y[<°,cosa=.>0,tan<z=m<0,

y/l+m+m

①sm0>0；②cosa—sina>0；③sinacosa<0；④sina+cosa符号不确定.

tana

故选：C.

4.（2024•新疆•一模）已知集合A=[sin3％eN,且0W上44、则集合A的元素个数为（）

A.3B.2C.4D.5

【答案】A

【分析】将左的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合A,即可得集合A的元素个数.

【详解】当％=0时，sin一=sinO=0,

4

、[471n-f-•.兀

当左=1,sin一=sin—=——，

442

当左=2时，sin—=sin—=sin—=1,

442

jQn-|-•kit.37r

z=lK=Jnj,sin—=sin—=---，

442

、1/7n-J-4兀.八

刍左=4A时*,s•ink—ll=s.in—=sm7i=0,

44

故A=1o,9,l],共三个元素.

故选：A.

5.（2024高三上•浙江•阶段练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了〃割圆术〃，刘徽认为圆的内接

正〃边形随着边数九的无限增大，圆的内接正“边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率兀的近

似值.如图当〃=6时,圆内接正六边形的周长为6『，故"彳即X.运用“割圆术”的思想，下列估算

B.九=12时，7i«6sinl5

D.几=12时，7i«24cosl5

【答案】A

【分析】求出正十二边形的周长L,可得出几。当，即可得解.

2r

【详解】设圆的内接正十二边形被分成12个如图所示的等腰三角形，其顶角为30,即NAO3=30,

作。"于点则H为的中点，且NAOa=15,

AHAH

因为。4=O3=r,在RtZkAOH中，sinZAOH=——,即sinl5=——

OAr

所以，AH=rsinl5,则A8=2AH=2rsinl5,

J94〃Qin15

所以，正十二边形的周长为L=12x2rxsinl5=24rsinl5，所以，兀b—=---------=12sinl5.

2r2r

故选：A.

6.（2024高三上•河北邢台•期末）已知锐角。的顶点在原点，始边在龙轴非负半轴，现将角。的终边绕原点

逆时针转三后，交以原点为圆心的单位圆于点则cosa的值为（）

八3^3+4_4^/3+3.4\/3_3-3,\/3—4

A.--------D.----------------c.----------D.----------

10101010

【答案】D

【分析】判断尸在第二象限，求出y=],即可得cos（a+g,sin（a+5）的值，将cosa化为

cos[(a+g)-泰，利用两角差的余弦公式，即可求得答案.

【详解】由题意得角。的终边绕原点逆时针转三所得角为a+g,

IT4

a为锐角，故。<1+§<无，且P点横坐标为-1<0,

则尸(一*,在第二象限，则丫=^,

TT4713

r^cos(a+—)=-—,sin(cr+—)=—,

Erl兀、7T-.r/兀、兀./7l\.7l

贝!]cosa=cosLrz(cir+—)——J=cos[(a+—)cos—+sin(6Z+—)sin—

413>/33抬-4

=-------X------1-----X--------=------------------，

525210

故选：D

7.(2024高三上•辽宁•阶段练习)2023年8月8日，第31届世界大学生夏季运动会(成都世界大学生运动

会)完美收官.在倒计时100天时，成都大运会发布了官方体育图标一一"十八墨宝这组"水墨熊猫"以大

熊猫"奇一"为原型，将中国体育与中国书画、中国国宝的融合做到了极致."十八般武艺"造就"十八墨宝",

花式演绎十八项体育竞技，代表了体操、游泳、羽毛球等18个成都大运会竞赛项目，深受广大人民喜爱.其

中，射箭的水墨熊猫以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为2cm,

弦长为8cm,则弓形的面积约为(参考数据：sin74°®0.96,无=3.14)()

A.8.2cm2B.9.1cm2C.11.1cm2D.4.1cm2

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出弓形弧所对圆心角的大小，再求出扇形、三角形面积即可得解.

【详解】依题意，弦中点为£),弧AB的中点为C,CD=2cm,AB=8cm,AD=4cm,如图,

A

设圆的半径为R,ZAOC=0,0。<0<90。，在△49。中，7?2=(7?-2)2+42,解得R=5cm,

43

sin6^=-,cos0=-.显然sin6>cose,贝1」45。<8<90。，90°<20<180°,

55

24

sin2。=2sin6cos8=—,于是2。穴180°-74°«1.85rad,

25

因此扇形的面积S1=gxl.85x52。23.1cm)而AO3的面积S2=gx8x3=12cm2,

所以弓形面积约为S「S2=ll.lcm2.

故选：C

TTTT

8.（2024高三•全国•专题练习）集合〈aE++无eZ中的角所表示的范围（阴影部分）是（

【分析】对左分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可

【详解】当左=2ri（neZ）0寸，2n7t+—<a<Imt+—,neZ,此时a表示的范围与&WaV火表示的范围一样；

4242

'11

当k=2"+l（"eZ）时，2〃无+兀+—4a<2mt+n+—,neZ,此时a表示的范围与一+无4a4—+兀表示的范围

4242

一样，

故选：C.

9.（2024・四川绵阳•模拟预测）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为"敦煌八景"之一，得名"月泉晓

澈"，因其形酷似一弯新月而得名.如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成

是.ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分,若ZACB=，,AB的长约为20石，则该月牙泉模型的面

O

A.30073-50^-B.120万+150』

C.100^+18073D.120^+18073

【答案】A

【分析】由正弦定理求出，ABC外接圆的半径为R,得出弓形部分所对的圆心角，求出弓形面积后由半圆面

积减去弓形面积即得.

cAB206仆6

【详解】设ABC外接圆圆心为0,如图，半径为R,贝U-同―一3^一，R=20^=AB,

sin——

6

因此ZAO2=g,ABC中弓形面积为S-立R2=-X（20V3）2-—X（20^）2=200%-300上,

36464

从而阴影部分面积为S'=5万•（10立了-S=30073-50万.

故选：A.

A

10.（2024高三上•重庆•阶段练习）"莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特

殊领域发挥了超常的贡献值."莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这

三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）.现以边长为4的正三角形作一个"莱洛三角形"，贝趾匕"莱洛三角形”

的面积为（）

A.87I-8V3B.8TC-12A/3C.1671-873D.167C-4T3

【答案】A

【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积.

【详解】正三角形的面积为:乂4*吟=46，

圆弧的长度为/=晓4=与故一个弓形的面积为底4/-46=4班，

故"莱洛三角形"的面积为3-4可+=8兀-8A

故选：A

11.(2024高三上•河北承德•期中)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，圆锥的

高分别为幅和忆侧面积分别为际和S乙，若萨=2,则*=()

S乙。乙

A.2B.y/5C.710D.—

4

【答案】D

【分析】设出母线长、圆心角及底面半径后计算即可得.

【详解】设甲、乙两个圆锥的母线长都为/,底面半径分别为仆4,

侧面展开图的圆心角分别为a、P,则a+尸=2兀，

r.—al2

贝尸=^---=7=2,故c=2〃，

s乙/

即有a=t，〃=

al2

2nr\=al,艮|34=—=-l,

2TI3

同理2叫=m,即力=2L=L