初中九年级数学中考复习讲义（20讲全）

初中九年级数学培优讲义(20讲金)

目录

第1讲二次根式的性质和运算(P2----7)

第2讲二次根式的化简与求值(P7----12)

第3讲一元二次方程的解法(P13----16)

第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22)

第5讲一元二次方程的应用(P23----26)

第6讲一元二次方程的整数根(P27----30)

第7讲旋转和旋转变换(一)(P30----38)

第8讲旋转和旋转变换(二)(P38--46)

第9讲圆的基本性质(P47--51)

第10讲圆心角和圆周角(P52----61)

第11讲直线与圆的位置关系(P62--69)

第12讲圆内等积证明及变换((P70----76)

第13讲弧长和扇形面积(P76----78)

第14讲概率初步(P78----85)

第15讲二次函数的图像和性质(P85--91)

第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98)

第17讲二次函数的应用(P99----108)

第18讲相似三角形的性质(P109—-117)

第19讲相似三角形的判定(P118-----124)

第1页共131页

第20讲相似三角形的综合应用（P124-----130）

第1讲二次根式的性质和运算

考点•方法•破译

1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析;

2.掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；

3.会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.

经典•考题・赏析

【例1】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）

A.+1B.C.V8D.V27

【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有

可开尽方的数或式子.B中含分母，C、D含开方数4、9,故选A.

【变式题组】

1.⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）

A.MB.A/8C.V6D.V2

⑵①//+/；②自;③商一xy；④飞27abc,最简二次根式是（）

A.①，②B.③，④C.①，③D.①，④

【例2】（黔东南）方程|4%_8|+小尤_/_4=0,当y>0时，，〃的取值范围是（）

A.0<m<lB.m22C.m<2D.mW2

【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x-8=0,x-j

一m=0•化为y=2一机，则2一m>0,故选C.

【变式题组】

2.（宁波）若实数x、y满足而1+（〉一6）2=0,则孙的值是.

3.（荆门）若G万—J匚l=（x+y）2,则x—y的值为（）

A.-1B.1C.2D.3

J%一3

4.（鄂州）使代数式有意义的X的取值范围是（）

x-4

A.x>3B.x23C.x>4D.x23且xW4

5.（怀化）|a—2|+A/^+（C—4）2=0,则a—>一c=.

第2页共131页

【例3】下列二次根式中，与后是同类二次根式的是（）

A.V18B.^/30C.^/48D.A/54

【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一

样.A.加=3后；B.屈不能化简；C.V48=473；D.痴=3底,而庖=2指.故本题应选D.

【变式题组】

6.如果最简二次根式J3a-8与J17-2a是同类二次根式,则。=.

7.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）

A.y/3和8B.\/3和C.Ja~b和A/cibD.Ja+1和Ja-1

8.已知最简二次根式b-我和-a+2是同类二次根式,贝!Ja=,b=.

【例4】下列计算正确的是（）

A.百一百=拒B.78+72=4

C.V27=3A/3D.（1+72）（1-72）=1

a（a>0）

【解法指导】正确运用二次根式的性质①（&）2=a（aN0）；②=0（a=0）；③

-a（a<0）

箍=«・册（40,叵0）；④牛=$b、0,d>0）进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的

yjay/a

项不能合并.D.（1+应）（1一0）=1—（0）2=—1.故本题应选C.

【变式题组】

9.（聊城）下列计算正确的是（）

A.26+4忘=6占B.&=4五

C.4+省=3D.7（-3）2=-3

10.计算：（而+4）2。。7.（4—厉）2。。7=

11.（26+30）2_（26—3何=

12.（济宁）已知a为实数，那么（）

A.aB.-aC.-1D.0

13.已知a+b=6y/ab,则卷一当的值为（）

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A.'-B.2C.,x/zD.一

22

已知孙＞0,化简二次根式NJ3的正确结果为（

【例5】)

A.6B.y/-yC.—y/yD.—y[—y

【解法指导】先要判断出y＜0,再根据盯＞0知xVO.故原式x.选D.

【变式题组】

14.已知a、b、c为△4BC三边的长，则化简|a"_c|+J（a-b+c）2的结果是.

1

15.观察下列分母有理化的计算:」「=正-&,厂1厂母-四,=V4-A/3,算果

V2+V1V3+V2V4+V3

中找出规律，并利用这一规律计算:

(-7=—『+—尸++/—/)•(J2006+1)=

V2+V1V3+V2,2006+-2005

16.已知，则OVxCL则小（x」y+4T（x+与-4=

11b

【例6】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：--+-+-------其中。=亘土6=在匚

a+bba{a+b）22

A/3—A/2

(2)已知％=6+0那么代数式归+。+）'［值为.

,孙一（x+y）~

【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求孙、x+y的值，再代入求值.

,vab+a(a+b)+b~(tz+b)~a+b.A/5+1.y/5—1.rz

【解】⑴原式=----------------=-------=----,当。=------,b=------时，ab=l,a+b=y/5,

ab(a+b)ab(a+b)ab22

原式=布.

Vl+100101

⑵由题意得：xy=\,x+j=10,原式=

VT-ioo99

【变式题组】

17.（威海）先化简,再求值：（a+Z＞）2+（a—b）（2a+b）—3a之，其中a=-2-也,b=退-2.

2।。A

18.（黄石）已知。是4-右的小数部分，那么代数式（:"―+^^＞伽__）的值为.

a+4〃+4〃+2aa

【例7】已知实数x、y满足(x-6-2008)(y-正一2。。8)=2008,则3/—2/2+3x—3y—2007的值为

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（）

A.-2008B.2008C.-1D.1

【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出“、》的关系，再代入求值.

解:•.•（尤-2008）（）-7/-2008）=2008,

/.（%-J尤2—2008）=——/=y+-2008,

y-7/-2008,

（y-J/-2008）=——/=x+&—2008,由以上两式可得x=j.

'X-VX2-2008

二（X--2008）=2008,解得x2=2008,所以3x2-2j2+3x-3y-2007=3x2-2x2+3x-3x-2007=x2

-2007=1,故选D.

【变式题组】

19.若”>0,b>0,且&（后+扬）=3萌（6+5病），求2a+3b+把的值.

a-b+yJab

演练巩固-反馈提高

01.若m=回-4,则估计机的值所在的范围是（）

A.l<m<2B.2<m<3C.3<m<4D.4cm<5

02.（绵阳）已知J12-〃是正整数,则实数〃的最大值为（）

A.12B.11C.8D.3

03.（黄石）下列根式中，不曷最简二次根式的是（）

A.A/7B.A/3C.D.A/2

04.（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（）

A.0B.V6C.瓜D.V10

05.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.712B.6+3C.

（常德）设。，=则“、从、、按由小到大的顺序排列正确的是（

06.a=26=（-3）2,c=V9,d=（g）\cd）

A.c<a<d<bB.bVdVaVcC.aVcVdVbD.b〈cVa<d

07.（十堰）下列运算正确的是（）

A.V3+V2B.拒义五=瓜

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C.（舁1）2=3-1D.V52-32=5-3

08.如果把式子（1-a）J--1—根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）

V1-a

A.—aB.y/ci—1C.-Ja—1D.—s]l—a

09.（徐州）如果式子J（x+1）：+,―2|化简的结果为2%—3,则x的取值范围是（）

A.xWlB.x》2C.KW2D.x>0

x

10.（怀化）函数y=7二中自变量的取值范围是.

11.（湘西）对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算。※6=叵2=百.那么12X4=.

3-2——

a?—1〃+]I~

12.（荆州）先化简，再求值：―—其中

13.（广州）先化简，再求值：（a—6）（。+逝）—a（a—6）,其中。=6+工.

2

培优升级

01.（凉山州）已知一个正数的平方根是3x—2和5x+6,则这个数是.

02.已知。、5是正整数，且满足2（是整数，则这样的有序数对（a,b）共有..对.

/人可、'Ft+/_2/_g2_a+2

03.（全国）设〃----,则------------------------

2a-a

1

04.（全国）设％=，“是x的小数部分,方是x的小数部,则a3+b3+3ab=

V2-1

05.（重庆）已知y=、三二士工+2,则.

V5x-4V4-5%

06.（全国）已知4a-2^2-A/6,a-y/6-2,那么a、b、c的大小关系是（）

A.aVbVcB.bVaVcC.c〈b<aD.cVaVb

07.（武汉）已知y=J有+/^（x,y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）

A.^6—3B.3C.A/5—3D.^/6—yf3

08.（全国）已知非零实数〃、。满足12〃-4|+物+2|+,（〃-3）/+4=2〃,则0十）等于（）

A.-1B.0C.1D.2

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09.（全国）2&-2血+，17-12及等于（）

A.5-40B.40-1C.5D.1

10.已知x—2^/^+y=0(x>0,y>0),则的值为（)

1123

A.-B.-C.-D.-

3234

11.已知a+b——4A历=5=3j^—工。一5,求a+B+c的值.

2

12.已知9+JR与9'的小数部分分别是a和8,求a%—3a+45+8的值.

第2讲二次根式的化简与求值

考点•方法•破译

1.会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.

2.会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.

3.会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.

经典•考题・赏析

【例11(河北)已知6+3=2,那么」——------J———的值等于___________

JxVx2+3x+1Vx2+9x+l

【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用x+工表示或化简变形.

X

解：两边平方得，xHF2=4,xH—=29两边同乘以x得,%2+1—2x:/+3x+1=5x,

XX9

【变式题组】

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1.若aH—=4（OVa<l）,则—~r=—

ayja

2.Vx=-j=->/a,贝！|，4%+%2的值为（）

7a

111

A.ci----B.CLC.dH---D.不能确定

aaa

【例2】（全国）满足等式％Jy+yJx—j2003x—j2003y+,2003孙

=2003的正整数对（x,y）的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.

解：可化为而（4+打）—〈2003（6+6）+。2003（而—42003）=0,

；•（而-72003）（Vx+6+V2003）=0

VV^+77+A/2003>0,.•.而-j2003=0,则孙=2003,且2003是质数,

...正整数对（x,y）的个数有2对，应选R

【变式题组】

3.若a>0,b>0,且&（后+4扬）=3斯（6+2扬），求2"+3"彦的值.

a-b+yjab

【例3】（四川）已知：«=6+—1（0<。<1）,求代数式

7a

%2+%—6%+3%—2+A/%2—4x,,金

---------.-----------/-的值・

xx—2%x-2-y/x2-4x

【解法指导】视x—2,“2—4”为整体,把&=y[a+,移项用含〃的代数式表示X—2,x2-4x,注意

0<«<1的制约.

解：平方得,x=ci-\----1~2,***x—2=aH—9―4%+4=a?H——+2,

aaa

f—4%—a2-）-----2,

a

•化简原式一（x+3）（x—2）,x（x—2）x—2+Jd—4x

‘xx+3x—2—6—4x

[aH---1-（—a）

=（a+与——=a2+2

a„,1zl八

【变式题组】

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x+31九一35

4.（武汉）已知求代数式二*2）的值.

x+2一百+0+1'

5.（五羊杯）已知根=1+0,n=l-也,且（7/r—14瓶+。）（3/—6〃—7）=8,则a的值等于（）

A.-5B.5C.-9D.9

【例4】（全国）如图，点A、C都在函数丁=之叵（x〉0）的图像上，点B、。都在x轴上，且使得△043、

X

/\BCD都是等边三角形，则点O的坐标为.

【解法指导】解：如图，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为E、足设

0E=a,BF=b,则AE=6a,CF=y/3b,所以，点4、C的坐标为(a#a)、

6a°=3A/3a=A/3

(2a+b,拒b),所以<LL，解得

y/3b(2a+b)=3s/3b=A/6—>J3

因此，点。的坐标为（2#,0）

【变式题组】

6.（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.

在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:

5_5x73_5A/3V6

(-)（二）

V3-V3xV3-3'

2_2X(守—1)_

V3—1；

V3+l-p3+lp3^1)-（三）

2

以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简:

'V3+1

23-1

=6-1；（四）

V3+1-V3+1-V3+1一V3+1

2

（1）请你用不同的方法化简

V5+V3'

2

①参照（三）试得:；（要有简化过程）

V5+V3

2

②参照（四）试得:；（要有简化过程）

V5+V3

1111

（2）化简:

如+l+也+#>+币+后++y/2n+l+y/2n-l

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【例5】（五羊杯）设a、b、c、d为正实数，a<b,c<d,bc>ad,有一个三角形的三边长分别为而我,

扬+储,yl（b-a）2+（d-c）2,求此三角形的面积.

【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积（为什么?），J-+c2的几何意义是以“、c为直角边的直角

三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.

解：如图，作长方形ABC。，使43=》一”，AD=c,延长ZM至E,使OE=d,延长OC至F,使。尸=心

连结EF、FB.EB,贝!JBF=yja1+C1,EF=扬+废，

22

BE=yl(b-a)+(d-C),从而知△3EF就是题设的三角形，而SABEF=S长方形

11,、

ABCD+SABCF^~SAABE-SADEF—(b—a)C+—(d-c)(Z)—a)一—bd——kbe—ad)

222

【变式题组】

7.（北京）已知a、方均为正数，且a+Z（=2,求［7=Ja2+4+1

演练巩固-反馈提高

V3+V2靠'那么代数式及二值为

01.已知x=

V3-V2

02.设。=近一1,贝!!34+12〃—6a—12=()

A.24B.25C.4^+10D.45+12

03.(天津)计算(G+1)2°°1—2(6+1)2°°°—2(6+1)1999+2001=

04.(北京)若有理数x、y>z满足4+Jy-1+Jz-2=g(x+y+z),贝!](x-yz)2=

05.(北京)正数机、nm+4y/jnn-2yfm-4A/H+4n-3=0,则+=_________

+2y/n+2002

06.(河南)若x=0+l,则三―(2+6)/+(1+2百)》—6+5的值是()

A.2B.4C.6D.8

07.。知实数a满足|2000—a|+Ja—2001=a,那么a—ZOOO'的值是()

A.1999B.2000C.2001D.2002

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08.设a=而+J两，6=+J丽，c=271000,则a、b、c之间的大小关系是（）

A.a〈b<cB.c<b<aC.c〈a<bD.a<c<b

09.已知]_"（>_1）2=xf化简Jx?+a—X+Jx?+a+x

培优升级

01.（信利）已知X=l+G,那么一L+------—=

x+2x--4x-2

02.已知+4+y/a—1—5,则^6—2y[a=

03.（江苏）已知（尤+J尤2+2002）（y+抄+2002）=2002,则V—3孙一4/—6x—6y+58=

04.（全国）77X2+9X+13+V7X2-5X+13=7x,则x=

73-72V3+V2那么点X

05.已知尤=

V3+V2y

06.（武汉）如果a+〃=&/2002G,=772002^2,13+03卜匕3一03,那么一°3的值为（）

A.200272002B.2001C.1D.0

07.（绍兴）当x=l+?002时,代数式（4d—2005为一2001）2°°3的值是（）

A.0B.-1C.1D.-22003

08.（全国）设“、氏c为有理数，且等式a+40+cG=55+2遥成立,则2a+9990+1001。的值是（）

A.1999B.2000C.2001D.不能确定

09.计算;

（1）1+46+3行

（丁+G）（行+行）

710+714+^+721

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1111

---------1---------------1----------------1--I---------------------

3+G5G+367际+5疗49A/47+47A/49

(4)73-272+75-2A/6+j7-2g+79-2720+711-2730+J13-2屈

+715-2756+717-2772

10.已知实数a、8满足条件|a-同=2<1,化简代数式2,将结果表示成不含％的形式.

aab

,]+〃2八依｛x+2—4x—2

11.已知％=----(a>0),化简：[——,

aJx+2+J%—2

12.已知自然数X、y、z满足等式，X-2后-^^+6=0,求x+y+z的值.

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第3讲一元二次方程的解法

考点■方法•破译

1.掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；

2.掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；

3.会应用一元二次方程解实际应用题。

经典•考题・赏析

【例1】下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）

A.（m_2）x2_2x_l=0B.lcx+5k+3=0

C.-\/3%2—x—2=0D.3%2H----4=0

3x

【解法指导】A、8选项中的二次系数可以为0,不是；。的分母中含字母，不符合.故选C

【变式题组】

1.（威海）若关于x的一元二次方程J+（妙3）广上0的一个根是-2,则另一个根是.

【例2】如果m、"是两个不相等的实数,且满足机2-2加=1,〃2-2〃=1,那么代数式2病+4/-4"+1998=.

【解法指导】本题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次.

解：由题意，2/=4»/+2,4"2=8”+2,则原式=（4nz+2）+（8"+2）-4/i+1998=（4»i+4"）+4+1998,又由根与系数关系

得机+"=2,二原式=2010.

【变式题组】

2.（南昌）若3/-.-2=0,则5+2“-6/=.

3.（烟台）设“、8是方程9+厂2009=0的两个实数根，则d+2a+8的值为（）

A.2006B.2007C.2008D.2009

［例3］关于x的一元二次方程（/71-3）9+4%+/-9=0有一个根为0,m的值为.

【解法指导】方法1：将x=0代入；方法2：有一个根为0,则常数项为0.

解：依题意苏-9=0,.•.m=±3,根据方程是一元二次方程得机r3,综合知机=-3.

【变式题组】

4.（庆阳）若关于x的方程/+2"上1=0的一个根是0,则b.

5.（东营）若关于x的一元二次方程（雨-1）9+5"/_3机+2=0的常数项为0,则m的值等于（）

A.1B.2C.1或2D.0

【例4】（连云港）解方程：f+4x-l=0.

【解法指导】解：

解法一：Va=\,b=4,c=-l,二x=7-,4-4xlx（-l）.即x=_2土石..•.原方程的根为

2x1

Xy=-2--^5,X］—-2+-^5.

解法二：配方，得（x+2）z=5,直接开平方，得x-2=±&,二原方程的根为％=—2—6,9=—2+岔.

【变式题组】

6.（清远）方程丁=16的解是（）

A.x=+4B.x=4C.x=-4D.x=16

7.（南充）方程（x-3）（x+l）=x-3的解是（）

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A.x=0B.x=3C.x=3或x=-lD.x=3或x=0

8.（咸宁）方程3x（x+l）=3x+3的解为（）

A.x=lB.x=_1C.xi=O,X2=_1D.xi=l>X2=-1

9.（温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法和公式法.请从以下一

元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.

@X2-3X+1=0；②（XT）2=3；（3）X2-3X=0；@X2_2X=4.

【例5】（山西）解方程：6x-x-12=0

【解法指导】为便于配方可先化二次项系数为1,解：方程两边都除以6,移项得X2-1X=2,配方得

6

289,17、213n1,17.34

（一）2,即厂一=土一,•・X1-------,X2--------•

【变式题组】

10.（仙桃）解方程:X2+4X+2=0.

11.（武汉）解方程：X2-3X-1=0.

12.（山西）解方程：X2-2X-3=0.

演练巩固-反馈提高

01.（宁德）方程d-4x=0的解是.

02.（十堰）方程（x+2）（x-l）=0的解为.

03.（大兴安岭）方程（”-5）（厂6）二l5的解是（）

A.x=5B.产或x=6C.x=7D.户5或x=7

04.（太原）用配方法解方程丁-2k5二0时，原方程应变形为（）

A.（X+1）2=6B.（X-1）2=6C.（X+2）2=9D.（x-2）2=9

05.（云南）一元二次方程59-2户0的解是（）

bn

06.（黄石）已知a、&是关于X的一元二次方程f+"x-l=0的两实数根，则式子一+上的值是（）

ab

A.n+2B.-n+2C.n-2D.-n-2

07.（毕节）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数

为（）

A.8人5.9人C.10人O.11人

08.（台州）用配方法解一元二次方程J-4x=5的过程中，配方正确的是（）

A.（x+2）z=lB.（x-2）=lC.（x+2）=9D.（x-2）=9

09.（义乌）解方程J-2x-2=0.

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10.（兰州）用配方法解一元二次方程：2f+l=3x.

11.（新疆）解方程：（x-3）4以（”-3）=0.

12.（梧州）解方程：（X-3）2+2X（X-3）=0.

13.（长春）解方程：X2-6X+9=（5-2X）2.

y-%=1①

14.（上海）解方程:<

2炉—xy-2=0(2)

培优升级

01.（鄂州）已知。、£为方程/+4/2=0的两个实根，则。%14£+50=.

02.已知x是一元二次方程比2+3厂1=0的实数根，那么代数式:x-3十二+2-—5=）的值为____________.

3X2-6Xx-2

x~—x+2^/3

03.（苏州）若丁一犷2=0,则（f_x）匚1+石的值等于（）.

A.空B.昱C.后D.6或B

333

04.（全国）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx+cx+a=Q,cx+ax+b=G,恰有一个公共实数根，

2J22

则^--1----1--的值为（）.

becaab

A.0B.1C.2D.3

474

05.（全国）已知实数小,满足：——-r=3,则下+丁4的值为（）.

XXX

I+A/137+V13

A.7B.---C.——--D.5

22

06.（全国）已知mn=l-y/2,且（7苏T4瓶+〃）（3〃2-6〃-7）=8,则。的值等于（）.

A.-5B.5C.-9D.9

07.（毕节）三角形的每条边的长都是方程9-6“+8=0的根，则三角形的周长是.

08.（滨州）观察下列方程及其解的特征：

⑴—=2的解为M=X2=1；（2）xH—二—的解为工产2,X2=—；（3）xH———的解为的=3,X2=—；...

xx22x33

解答下列问题：

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⑴请猜想：方程工+4=竺的解为；⑵请猜想：关于x的方程x+^=的解为Xj,X2=-（a

x5xa

20）；⑶下面以解方程兀+1=竺为例，验证⑴中猜想结论的正确性.

x5

解：原方程可化为59-26户-5.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）

4

09.（泸州）如图，Pi（xi,ji）,P（X2,山），…P”（x“，j„）在函数y=—（x>0）的图象上，APiOAi,△

2X

P2A1A2,3A2A3,…〃都是等腰直角三角形，斜边041、44、42A3、…都在x轴上.

⑴求Pi的坐标；

⑵求Jl+j2+j3+***+jl0的值.

第4讲根的判别式及根与系数的关系

考点•方法•破译

1.掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；

2.理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值.

经