2025届高考数学一轮复习讲义-空间向量与立体几何

（7）空间向量与立体几何

——2025届高考数学一轮复习一站式复习之讲义

【高考考情分析】

空间几何体在高考中的命题重点包括空间几何体的体积和表面积的计算以及与球有关的

切、接问题，题型以选择题和填空题为主.在学习备考的过程中，既要训练常规题型，还要明

晰高考命题新导向，如数学应用题、数学文化题以及多选题和双空题，做到复习全面高效.

空间点、直线、平面之间的位置关系是立体几何的基础，主要以选择题、填空题的形式出

现，命题热点：（1）平面的基本性质及应用；（2）空间线线、线面位置关系的判断；（3）求异

面直线所成的角.要注意对新题型多选题的训练.

直线、平面平行或垂直的判定及性质是高考命题的热点，主要考查直线与平面以及平面与

平面平行或垂直的判定定理和性质定理,题型既有选择题,也有解答题,在解答题中常在第（1）

问设置线、面平行、垂直关系的证明或用线、面垂直的性质定理证明线线垂直等，要特别注意

应用判定定理与性质定理时条件的完整，这是对解答题的解题规范的基本要求.

利用向量法求解空间角每年必考，命题内容主要有三个方面：（1）异面直线所成的角；（2）

直线与平面所成的角；（3）平面与平面所成的角.其中对异面直线所成的角的考查一般以选择

题、填空题的形式呈现，解题方法可以利用几何法，也可以利用向量法，对线面角与二面角的

考查常出现在解答题的第（2）问，向量法是较好的解题方法，特别是在处理探索性问题时，

向量法更具优势.要掌握并会运用向量法求解空间角和距离问题，一是要特别重视坐标系的建

立，建系的原则是简洁、清晰，便于表示相关点的坐标；二是要加强运算求解能力的训练，熟

练、准确的运算是完成解答题的基本要求，在平时的训练中要养成良好的习惯，该讲对学生的

直观想象、逻辑推理及数学运算素养要求较高.

【基础知识复习】

1.棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.一般地，表面积=侧面积+底面积.

多面体侧面展开图面积公式

1

棱柱

/;//S棱柱表=S棱柱侧+2s底

L111

（如三棱柱）111

棱锥

s棱锥表二s棱锥侧+S底

（如三棱锥）三

」'、

\

\

棱台)-----------1

11

人1s棱台表-s棱台侧+s上底+S下底

（如三棱台）

2.圆柱、圆锥、圆台的表面积

旋转体侧面展开图面积公式

底面积：S底二兀/

..<z

圆柱侧面积：S侧=2兀力

表面积：S=271r（r+/）

底面积：S底二兀产

圆锥f,2sr侧面积：S侧=兀〃

中(A，

表面积：S=7tr（r+/）

上底面面积：S上底=兀/2

下底面面积：S下底=兀，

I•1>

圆台;1I,

侧面积：S侧=兀/（r+/）

表面积：S=兀卜〃+产+，/+-/）

3.柱体、锥体、台体的体积

几何体体积公式

=Sh（S为底面面积，h为高），%柱=兀/丸（厂为底面半径，h

柱体

为高）

腺体=』S/z（S为底面面积，〃为高），七锥=」兀，丸（r为底面半径，

Ttt"3四'比3

锥体

h为高）

%体(s，，s分别为上、下底面面积，〃为高)，

台体

。介=:兀叫/2+/r+厂2)(/,外分另U为上、下底面半径，%为高)

4.球的表面积和体积

(1)球的表面积：设球的半径为R,则球的表面积为S=4兀即球的表面积等于它的大圆

面积的4倍.

(2)球的体积：设球的半径为R,则球的体积为丫=3兀7?3.

3

5.直线与直线平行：

基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.

6.等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

7.直线与平面平行的判定定理

自然语言图形语言符号语言

如果平面外一条

直线与此平面内a

aHa,bua,且

的一条直线平

abnaa.

行，那么该直线/—/

与此平面平行.

该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.

8.直线与平面平行的性质定理

自然语言图形语言符号语言

一条直线与一个

平面平行，如果过V-----------------------\

♦--\/aa,auf3,

该直线的平面与1/\/

\1/，\1//

此平面相交，那么「y

ba(3=b今ab.

该直线与交线平a/

行.

该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.

9.平面与平面平行的判定定理

自然语言图形语言符号语言

aua,bua,

如果一个平面内的两条相/又/

交直线与另一个平面平行，ab=P,aB,

那么这两个平面平行.bB0ap

该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.

（1）定义：已知两条异面直线a,3,经过空间任一点。分别作直线a」a,b'b,我们把"与

。'所成的角叫做异面直线。与6所成的角（或夹角）.

（2）异面直线所成的角。的取值范围：0°<0„90°.

（3）两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即。=90°时，。与〃互相垂直,

记作a.Lb.

12.直线与平面垂直的概念

定义如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线

/与平面a互相垂直，记作

直线/叫做平面a的垂线，平面a叫做直线/的垂面.它们唯一

的公共点P叫做垂足.

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边

形的一边垂直，如图所示

画法图示

过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫

点到面的距离做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平

线到面的距离面的距离.

两面间的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面

的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个

平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

13.直线与平面垂直的判定定理

自然语言图形语言符号语言

如果一条直线与一个

aua、bua,

平面内的两条相交直

ab—P，I_La,

线垂直，那么该直线

/_Lb=>/J_a.

与此平面垂直.

该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.

14.直线和平面所成的角

有关概念对应图形

一条直线/与一个平面a相交，但不与这个平面a垂/

斜线____P/

直，图中直线".

1)

斜足斜线和平面的交点，图中点A.

过斜线上斜足以外的一点P向平面a引垂线P0,

射影过垂足。和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面

内的射影.

直线与定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角；

平面所规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；

成的角一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角.

取值范

[0°,90°]

围

15.直线与平面垂直的性质定理

自然语言图形语言符号语言

ab

垂直于同一个平面的两7

aLa,b

条直线平行./

16.二面角的概念

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫

概念

做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

7,

图示

棱为/,面分别为a,，的二面角记为

记法也可在a,,内（棱以外的半平面部分）分别取点RQ,记作二面角

P-1-Q.

在二面角。-，的棱/上任取一点。，以点。为垂足，在半

平面角文字

平面a和夕内分别作垂直于棱/的射线。4和08,则这两条

射线构成的角NAOfi叫做这个二面角的平面角.

图示仁…

OAua,OBCLp,a/?=/,OeZ,OALl,OBLI,

符号

是二面角。—/—的平面角.

范围0°系以4。3180°

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是

规定多少度，就说这个二面角是多少度.

平面角是直角的二面角叫做直二面角.

17.平面与平面垂直

（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互

相垂直.平面a与平面夕垂直，记作如图

自自然语言图图形形语语言言符符号号语语言言

(1)空间向量及空间向量的模：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小

叫做空间向量的长度或模.

(2)空间向量的表示：用字母a,b,c,…表示，或用有向线段表示，有向线段的长度表示

LiuuUUU

向量的模，a的起点是4终点是B,则a也可记作卷，其模记为⑷或|A3|.

(3)零向量：规定长度为0的向量叫零向量，记为0.

(4)单位向量：模为1的向量叫单位向量.

(5)相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为-a.

(6)共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向

量叫做共线向量或平行向量.

规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量%都有0%.

(7)相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向

量或相等向量.

20.空间向量的运算律

。空间向量的加法、减法及数乘运算：

(1).a+ULbIL=OULA1U+AUBL1U=OB;

(2)a-b=UOUA-UOLUCU=UCUA;

UUumu

(3)当X>。时，初=4OA=P。；

,ULIUUUL

当X<0时，Aa=AOA=MN;

当；1=0时，相=0.

。.空间向量线性运算的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：a+(b+c)=(a+Z>)+c,九(")=(加)0；

分配律：(X+〃)a=Aa+〃〃，A(a+b)=Za+Ab,(其中％,//eR)

21.共线向量和共面向量

(1)共线向量：对任意两个空间向量a,b(%0),a//。的充要条件是存在实数晨使.=".

(2)直线的方向向量：。是直线/上一点，在直线/上取非零向量a,则对于直线/上任意一

点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数晨使得讨=20.把与向量a

平行的非零向量称为直线/的方向向量.

(3)共面向量：如果表示向量a的有向线段次所在的直线与直线/平行或重合，那么称

向量a平行于直线I.如果直线OX平行于平面”或在平面"内，那么称向量a平行于平面«.

平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.

如果两个向量a,8不共线，那么向量p与向量a,8共面的充要条件是存在唯一的有序实数对

(X,y),使p=xa+yb.

22.空间向量的夹角：已知两个非零向量a,b,在空间任取一点。，作次=a,OB=b,贝IJZA08

叫做向量a,8的夹角，记作3力.如果〈。,力=',那么向量a,8互相垂直，记作4

23.空间向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a|g|cos〈a,力叫做防。的数量积,记作a).

即a1=|a||b|cos〈a,6〉.特别地，零向量与任意向量的数量积为0.

由向量的数量积定义,可以得到:albC^ab-0;a-a=\a\\a\cos<a,«>=|a|2,

24.空间向量数量积的运算律：(湎小=痴小)，2eR；ab=ba(交换律)；a(b+c)=ab+ac

(分配律).

25.空间向量基本定理

(1)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在

唯一的有序实数组(x,y,z).使得p=m+y/>+zc.

(2)如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是

｛p[p=m+M+〜，x,yzwR｝.这个集合可看作由向量°,b,c生成的,我们把｛a,b,c｝叫做空

间的一个基底，a,b,c者B叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

(3)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1,那么这

个基底叫做单位正交基底，常用｛i,j,4｝表示.

(4)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解

26.空间向量及其运算的坐标表示

(1)空间直角坐标系

在空间选定一点。和一个单位正交基底｛i,j,肩.以点。为原点，分别以i,j,左的方向

为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时

我们就建立了一个空间直角坐标系。叫做原点，i,j,左都叫做坐标向量，通过每两条

坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为。孙平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个

部分.

(2)空间向量运算的坐标表示

空间向量运算的坐标表示：设。=(%,出，。2)，)=(4也也)，则

°+力=(4+4M2+，。3+4)，

a—〃=—4,々2一，夕3一4)，

Aa=(Xq,Aa2,Aa3),2GR,

ab=01bl+a2b2+a3b3.

空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示：

当BW0时，a》oa=26o6=，a,=Ab2,%=Ab3(2eR)；

a-L6oa-6=0oa四+a2b2+a3b3=0；

|a|=yjaa=+a1+a^；

a-b+ab+a3b3

cos(a,b)=22

\a\\b\+城+°；击:+照+,

空间两点间的距离公式：设。(占，必，4),£(%，%，Z2)是空间中任意两点，则

他=|附|=依一占了+(%一/)2+g-ZD?.

27.用空间向量研究直线、平面的位置关系

(1)空间直线的向量表示式

取定空间中的任意一点。，可以得到点P在直线/上的充要条件是存在实数/,使OP=Q4+S①,

将AB=a代入①式，得。尸=。4+M2②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,

空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.

(2)空间平面的向量表示式

取定空间任意一点。，可以得到，空间一点P位于平面A3C内的充要条件是存在实数x,使

OP=OA+xAB+yAC③.我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知，空间中任意

平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

(3)空间中直线、平面的平行

①直线与直线平行：设％,%分别是直线4，/2的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两

条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这

两条直线也平行，所以/—/zO%使得"1=%%.

②直线与平面平行：设"是直线/的方向向量，〃是平面夕的法向量，则

③平面与平面平行：设项,%分别是平面二，万的法向量，则。Bon[n232GR,使得

nx-An2.

(4)空间中直线、平面的垂直

①直线与直线垂直：设直线4，的方向向量分别为％,%,则(_L[o%_L%o%.%=0.

②直线与平面垂直：直线/的方向向量为“，平面"的法向量为〃，则/n<x>326R,

使得u-An.

③平面与平面垂直：设平面e,〃的法向量分别为4,%，则c_L/?="[_1_%=7%=。.

28.点到直线的距离

向量AP在直线/上的投影向量为A。，设AP=a,则向量AP在直线/上的投影向量AQ=(e〃)".

在Rt^AP。中，由勾股定理，得尸Q=J|AP|2_|AQ|2=4_(”.研.

29.点到平面的距离

已知平面a的法向量为n,A是平面a内的定点，尸是平面a外一点.过点P作平面a的垂线I,

交平面。于点Q,则n是直线/的方向向量，且点P到平面a的距离就是AP在直线I上的投影

向量。尸的长度.因此尸。=AP.==答=空处.

1«11«11«1

30.异面直线所成的角

若异面直线4，4所成的角为6,其方向向量分别是"，V，则cos6=|cos〈“,v〉|=—=『.

|H||V||w||v|

31.直线与平面所成的角

直线A3与平面〃相交于点3,设直线A3与平面々所成的角为0,直线A3的方向向量为“，

平面a的法向量为n,则sind=|cos〈“,"〉|=""J".

Iu||n||u||n|

32.二面角

若平面a,6的法向量分别是％和%,则平面C与平面刀的夹角即为向量”［和内的夹角或其补

角.设平面＜z与平面P的夹角为。，则COS6=|COS〈"|,"2〉I=""

I%lln21

【重点难点复习】

1.柱体、锥体、台体的体积

几何体体积公式

腺体=S/z（S为底面面积，h为高），%柱=兀/人（厂为底面半径，h

柱体

为高）

/体=J5/1（S为底面面积，h为高）,4锥=1口2丸（厂为底面半径，

年怦■3因年3

锥体

。为高）

匕体=，/z（s'+V^+s）（s',s分别为上、下底面面积，力为高），

台体

0台=!兀乂/2+/「+/）（/,厂分另1J为上、下底面半径，〃为高）

2.球的表面积和体积

（1）球的表面积：设球的半径为H,则球的表面积为S=由求2,即球的表面积等于它的大圆

面积的4倍.

（2）球的体积：设球的半径为则球的体积为丫二3兀收.

3

3.异面直线所成的角：

（1）定义：已知两条异面直线a",经过空间任一点。分别作直线a'a,b'我们把储与

//所成的角叫做异面直线。与6所成的角（或夹角）.

（2）异面直线所成的角。的取值范围：0°<6>„90°.

（3）两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即。=90°时，a与〃互相垂直,

记作aLb.

4.直线和平面所成的角

有关概念对应图形

一条直线/与一个平面a相交，但不与这个平面a

斜线

垂直，图中直线".

/i

斜足斜线和平面的交点，图中点A.

/A/—7

4-------7)/

过斜线上斜足以外的一点。向平面a引垂线PO,

射影过垂足。和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面r

内的射影.

直线与定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角；

平面所规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；

成的角一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角.

取值范

[0°,90°]

围

5.二面角的概念

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫

概念

做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

图示

棱为/,面分别为a,，的二面角记为

记法也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点P,Q,记作二面角

P-1-Q.

平面角文字在二面角。的棱/上任取一点0,以点。为垂足，在半

平面a和，内分别作垂直于棱/的射线OA^OB,则这两条

射线构成的角NAOB叫做这个二面角的平面角.

图示

1二

(Mua,OBcz[3,a\J3=1,0el,OALl,OBLI,

符号

是二面角a-/-/7的平面角.

范围0°麴kAOB180°

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是

规定多少度，就说这个二面角是多少度.

平面角是直角的二面角叫做直二面角.

6.空间中直线、平面的平行

①直线与直线平行：设%,%分别是直线4，4的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两

条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这

两条直线也平行，所以4“4%OmNwR,使得“]

②直线与平面平行：设"是直线/的方向向量，〃是平面a的法向量，lua,则

I。0〃_1_〃0〃=0.

③平面与平面平行：设叫，％分别是平面，的法向量，则aAo/。/om/ieR,使

得?I]=An2.

7.空间中直线、平面的垂直

①直线与直线垂直：设直线/1,，2的方向向量分别为"1，"2，则（，，2O"1，"2O"1"=°・

②直线与平面垂直:直线/的方向向量为“，平面a的法向量为〃，则/Leo“n<=>32eR,

使得〃=

③平面与平面垂直：设平面a,，的法向量分别为〃1，%，则■尸=0.

8.点到直线的距离

如图，向量AP在直线/上的投影向量为AQ,设AP=a,则向量AP在直线/上的投影向量

AQ=(au)u.在RtzXAPQ中，由勾股定理，得=-1•二次一⑹".

9.点到平面的距离

如图，已知平面a的法向量为“，A是平面a内的定点，P是平面a外一点.过点P作平面a

的垂线/,交平面a于点。，则"是直线/的方向向量，且点P到平面a的距离就是AP在直

线/上的投影向量QP的长度.因此PQ=AP.g卜片胎=专「.

10.异面直线所成的角

若异面直线/,所成的角为°,其方向向量分别是“，v,则cose=|cos〈“#〉|=」±=IW.

——

n.直线与平面所成的角

直线A3与平面a相交于点3,设直线A3与平面a所成的角为。，直线A3的方向向量为”,

平面a的法向量为n,则sin。=|cos〈〃,"〉|=""J".

I"11〃II«II«I

12.二面角

若平面a,，的法向量分别是々和〃2,则平面a与平面，的夹角即为向量多和%的夹角或其

补角.设平面a与平面，的夹角为。，贝Ucose=|cos〈"|,〃,〉|="%.

I»,II«21

【基本方法与技能复习】

1.求空间几何体的表面积的方法

(1)求多面体的表面积：只需将它们沿着棱''剪开"展成平面图形，利用求平面图形面积的

方法求多面体的表面积.

(2)求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，

但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.

(3)求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出

这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.

2.求空间几何体体积的常用方法

（1）直接法；对于规则的几何体，利用相关公式直接计算.

（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规划的

几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.

（3）等体积法：通过转换底面和高来求几何体的体积，即通过将原来不容易求面积的底面转

换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高进行求解、

常用于求三棱锥的体积.

3.有关几何体的外接球、内切球计算问题的常用求解方法

（1）与球有关的组合体问题有两种：一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明

确切点和接点的位置，确定有关“元素”间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正

方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的

顶点均在球面上，正方体的体对角线等于球的直径.

（2）对于球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题；对于球与多面体的组合，通过多面

体的一条侧棱和球心（或“切点”“接点”）作出截面图解题.

4.求异面直线所成角的方法

（1）平移法：平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点（线

段的端点或中点）作平行线平移；③补形平移.

（2）向量法：设异面直线a,6的方向向量分别为a,b,则异面直线a,6所成角的余弦值等

于|cos<a,5>|,再结合异面直线所成角的范围，得到异面直线所成的角.

（3）坐标法：建立空间直角坐标系求解.

5.求直线和平面所成角的基本思路

（1）可先判断直线和平面的位置关系，若直线与平面平行，则所成角为0°；若直线与平面

垂直，则所成角为90°.

（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤分析问题：

①作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，将空间角（斜线与平面所成的角）转化为平面角

（两条相交直线所成的锐角），作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，

注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，这样才能便于计算.

②证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.

③计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.

6.证明直线与平面平行的常用方法

(1)利用线面平行的定义.

(2)利用线面平行的判定定理：关键是在平面内找与已知直线平行的直线，可先直观判断题

中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形

的对边平行或过已知直线作一平面，找两平面的交线进行证明.

(3)利用面面平行的性质定理：①直线在一平面内，由两平面平行，推得线面平行.

②直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，则这条直线与另一平面平行.

7.判定平面与平面平行的方法

(1)利用定义，常用反证法完成.

(2)利用面面平行的判定定理.

(3)利用面面平行的判定定理的推论.

(4)面面平行的传递性.

(5)利用线面垂直的性质.

(6)用向量法证明平面与平面平行.

8.证明线面垂直的常用方法

(1)利用线面垂直的判定定理.

(2)利用面面垂直的性质定理.

(3)利用面面平行的性质.

(4)利用垂直于平面的传递性.

9.证明面面垂直的常用方法

(1)面面垂直的判定定理：此方法将面面垂直问题转化为线面垂直问题，一般找到其中一个

平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面平行.

(2)只要证明两个平面所构成的二面角的平面角为90。即可.

(3)面面垂直的性质定理

10.利用空间向量证明平行问题的方法

(1)线线平行：证明两条直线的方向向量共线.

(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向

量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向

量线性表示.

(3)面面平行：①证明两个平面的法向量平行；②转化为线线平行、线面平行问题.

1L利用空间向量证明垂直问题的方法

(1)线线垂直：证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零.

(2)线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量共线；②证明直线的方向向量与平面

内的两条相交直线的方向向量都垂直.

(3)面面垂直：①其中一个平面与另一个平面的法向量平行；②两个平面的法向量垂直.

12.向量法求角问题的解题步骤

(1)识图：分析几何体，找出确定几何体底面和高的条件，根据所学知识，理清图形中的数

量关系；

(2)建系设点：寻找题目中有三条直线两两垂直的特征，建立空间直角坐标系，从而确定点

的坐标；

(3)求向量坐标：用终点坐标减去起点坐标写出所需要的向量坐标；

(4)计算或证明：利用证明两个非零向量垂直的充要条件和向量夹角的余弦公式进行计算和

证明.

13.解决立体几何中探索性问题的技巧

(1)涉及线段上点的位置的探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，所求点

多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识找点，求解时注意三点共线条件的应用.

(2)借助空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示出来，将几何对

象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组.若方程或方程组有满足题

设要求的解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组没有满足题设要求

的解，则表示满足题设要求的几何对象不存在.

【典型例题复习】

1.【2024年新课标I卷】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为石，

则圆锥的体积为（）

A.2屈B.3扃C.67371D.9后

2.【2024年新课标H卷】已知正三棱台ABC-A与G的体积为三，AB=6,4用=2，则AA与

平面ABC所成角的正切值为（）

A.-B.lC.2D.3

2

3.【2023年新课标I卷】（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体

容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

4.【2023年新课标H卷】（多选）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,A3为底面直径，

ZAPB=120°,上4=2,点C在底面圆周上，且二面角尸—AC—O为45。，则（）

A.该圆锥的体积为KB.该圆锥的侧面积为4百兀

C.AC=272D.ZXB4c的面积为G

5.【2023年新课标I卷】在正四棱台ABCD-A4GR中，AB=2,4旦=1,A4,=0,则该

棱台的体积为.

6.【2024年新课标I卷】如图，四棱锥P-ABCD中，上4,底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,

AB=6

p

(1)若ADLPB,证明：AD〃平面P3C；

(2)若AD，。。，且二面角A—CP—£＞的正弦值为县，求AD

7

7.【2024年新课标H卷】如图，平面四边形A3CD中，AB=8,CD=3,AD=5y/3,ZADC=90°,

.91

ZBAD=30°,点、E,R满足AE=—AD,AF=-AB,将△AEF沿ER翻折至△PEF,使得

52

(1)证明：EF±PD：

(2)求平面PCD与平面P3R所成的二面角的正弦值.

答案以及解析

1.答案：B

解析：设圆柱和圆锥的底面半径均为「，因为它们的高均为百，且侧面积相等，所以

2兀”小=兀川(我2+),得户=9,所以圆锥的体积丫=37^2x6=3，^,故选B.

2.答案：B

解析：设正三棱台ABC-A5cl的高为〃，三条侧棱延长后交于一点P,作平面A3C于

点。，尸。交平面于点。J连接。4,。|4，如图所示.由A3=3从耳，可得尸Q=g丸，

2

P。=斗,又S“C、=；X22—=6,SAABC=1X6X^=9^/3,所以正三棱台A3C-4的

的体积V=K=」x9百—，义君义工”=工，解得丸=递，故尸0=。/1=26.

广一MOLr—3232332

由正三棱台的性质可知，0为底面ABC的中心，则OA=2x，62—32=2百,因为P0,平面

3

pn

ABC,所以NPAO是4A与平面ABC所成的角，在RtZ\PAO中，tanZPAO=—=1,故选B.

B

3.答案：ABD

解析：对于A选项，正方体内切球的直径为1m,故A符合题意;

对于B选项，如图①，正方体内部最大的正四面体棱长为网=收111,V2m>1.4m,故B

符合题意;

圆柱可看作长度为L8m的线

段.如图②，正方体的体对角线为AG=6m<1.8m,故C不符合题意；对于D选项，圆柱高

为0.01m,可忽略不计，底面直径为1.2m,圆柱可看作直径为1.2m的圆.如图③，E,F,G,

/为各棱的中点，六边形…为正六边形,其边长为其内切圆直径

2

图③

4.答案：AC

解析：对于A,依题意，圆锥母线长/=%=依=2,PO=B4cos60°=l,

AO=BO=PA-sin60°=J3,所以底面圆的半径厂=6，圆锥的体积为^兀乂逐了」=兀，故A

正确；对于B,该圆锥的侧面积为兀厂/=兀-3'-2=2百兀；故B错误；

对于C,如图，取AC的中点M,连接PM,则OM±AC,又因为B4=PC,所以，AC,

故NPMO为二面角尸—AC—O的平面角，即/尸MO=45。，所以tan45Q=〜=1,即OM=1,

OM

所以AC=2VI3r方庐=2x万1=2夜，故C正确；

对于D,由选项C可知，AC=242,PMLAC,PM=JPA2-f-AC1=74^2=72,所以

5.答案：巫

6

解析：如图，连接AC,BD交于点O,连接AQ,BR交于点a，连接OOl,过点4作AXH1AC

于点H,则0a为正四棱台ABCD