2024年中考数学一轮复习：相似三角形及其应用（讲义）（解析版）

第21讲相似三角形及其应用

目录

题型15利用相似三角形的性质与判定求最

一、考情分析值

题型16利用相似三角形的性质与判定解决

二、知识建构

动点问题

考点一相似三角形的性质与判定

题型17利用相似三角形的性质与判定解决

题型01添加条件使两个三角形相似

存在性问题

题型02证明两个三角形相似

考点二相似三角形的常见模型

题型03确定相似三角形的对数

题型01A字模型

题型04在网格中判断相似三角形

题型028字模型

题型05利用相似的性质求解

题型03一线三垂直模型

题型06利用相似的性质求点的坐标

题型04三角形内接矩形模型

题型07在网格中画与已知三角形相似的三

题型05旋转相似模型

角形

考点三相似三角形的应用

题型08证明三角形的对应线段成比例

题型01测量树高

题型09利用相似三角形的性质求解决折叠

题型02测量旗杆高度

问题

题型03测量楼高问题

题型10利用相似三角形的性质判断函数图

题型04测量河宽问题

象

题型05杠杆问题

题型11尺规作图与相似三角形综合应用

题型06实验问题

题型12三角板与相似三角形综合应用

题型07九章算经问题

题型13平移与相似三角形综合应用

题型08三角形内接矩形问题

题型14利用相似三角形的性质与判定求线

段比值

考点要求新课标要求命题预测

>了解相似三角形的判定定理.相似三角形是中考数学中非常重要的一个考

相似三角形的

>了解相似三角形判定定理的证明.点，也是难度最大的一个考点.它不仅可以作为简

性质与判定

>了解相似三角形的性质定理.单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方

法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考

察.而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的

相似三角形的>

常见模型判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也

是动点问题中得到函数关系式的重要手段.需要考

生在复习的时候给予加倍的重视！

相似三角形的>会利用图形的相似解决一些简单

应用的实际问题.

题型01添加条件使两个三角形相似

I"（相似:角形的对应角相等，对应边的比相辱二）

题型02证明两个一:外形相似

Y相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比题型03确定相似」.角形的对数

题型04在网格中判断相似二角形

-（相似：.角形周长的比等于柑证。题型05利用相似的性质求解

题型06利用相似的性侦求点的坐标

"（相似三角形间积比等于相似比的平方）

/相似三角形题型07在网格中画与已知：角形相似的三角形

_（的性质与判/平行于T角形边的直线和其他两边（或其延长线）相交，\题型08证明二角形的对.应线段成比例

题型09利用相似三角形的性质求解决折叠问题

一（所构成的三角形与原三角形同初

1题型10利用相似」角形的性质判断函数图象

-（三边成比例的两个三角形相恋「）题型11尺规作图与相似三角形综合应用

题型12三角板与相似三角形综合应用

-（两边成比例并11夹角相等的两个三角形相似题型13平移与相似一角形综合应用

题型14利用相似:角形的性质与判定求线段比值

相一《两个用分别相等的两个三角形相似.）

题型15利用相似三角形的性质与判定求最值

似Y斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似题型16利用相似三角形的性质与判定解决动点问题

题型17利用相似一角形的性质与判定解决存在性问题

三

角

形（A字型）

及工8字型题型01A字模型

题型028字模型

其相似三角形}|结论。证明前］}

j（一线三等角型）题型03一线三垂直模型

的常见模型

应/<三角形内接矩形）题型（）4二:角形内按矩形模型

题型05旋转相似模型

用

旋转型

题型（）1测云树而

题型02测量旗杆高度

题型03测量楼高间.题

题型04测值河宽问题

相似三角形的应用

题型05杠杆问题

题型06实验问题

题型07九章算经问题

题型08三角形内接矩形问题

考点一相似三角形的性质与判定

・夯基・必备基础知识捺理

相似三角形的概念:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“S”，

读作“相似于”.

相似三角形的判定方法：

1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

2）两个三角形相似的判定定理：

①三边成比例的两个三角形相似；

②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

③两角分别相等的两个三角形相似.

④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.

相似三角形的性质：

1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

3）相似三角形周长的比等于相似比.

4）相似三角形面积比等于相似比的平方.

判定两个三角形相似需要根据条件选择方法.有时条件不具备，需从以下几个方面探求：

1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；

2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；

3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；

4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例.

1.判断网格中三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长度，再看对应边的比例是否相等.

提升-必考题型归纳

题型01添加条件使两个三角形相似

【例1】（2023•河北邢台•统考一模）如图，在四边形4BCD中，AADC=ABAC,则添加下列条件后，不能判

定和ABAC相似的是（）

A.G4平分/BCDB.ADAC=AABCC.—=—D.丝=叱

BCACABAC

【答案】C

【分析】可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等或两组对角相等来证明两个三角形相似.

【详解】解：A、由C4平分NBCC可得NBC4=N4CD,结合"DC=NBAC,可以证明△4BC。人配故

此选项不符合题意；

B、由ND4C=AABC,结合N4DC=Z.BAC,可以证明4ABC八DAC,故止匕选项不符合题意；

C、由蔡结合N4DC=NB4C,不可以证明△力BCSADAC,故此选项符合题意；

D、由丝=生，结合/ADC=NB4C,可以证明AABCSADAC,故此选项不符合题意；

ABAC

故选C.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键.

【变式1T】（2023•黑龙江齐齐哈尔•校考三模）如图，要使△4CD〜A/IBC,则需要添加的条件是

（填一个即可）

【答案】ZXCD=乙B（答案不唯一）

【分析】由图可得△4BD与AaCB有一个公共角NC,再根据相似三角形的判定方法即可得到结果.

【详解】Vz/1=/.A,4ACD=LB

△ACD~AABC.

故填：/.ACD=LB

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似.

【变式1-2］（2023•江西赣州・统考一模）如图，己知*=当=鼠请再添加一个条件，使△ABC“△AC。,

ACAD

你添加的条件是（写出一个即可）.

【答案】言=k^BAC=2LCAD

【分析】根据相似三角形的判定定理即可进行解答.

【详解】解:添加四=k,

,.AB_AC_BC

AC-AD~CD

△ABC〜XACD；

添力口NBZC=£.CAD,

V—=—=fc,ABAC=/.CAD,

△ABCs&ACD；

故答案为：g=k^BAC=^CAD.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握：三边分别成比例的两个三角形相似;

两边成比例，夹角相等的两个三角形相似；有两个角相等的两个三角形相似.

题型02证明两个三角形相似

【例2】（2022.广东茂名•统考二模）如图所示，点4D、C、E在同一直线上，满足N4BC=90。，BD1BE,

且CB=CE.求证：AABD—AEB.

【答案】见解析

【分析】先根据同角的余角相等，得UBD="BE,再根据“等边对等角“可得然后根据“两角

相等的两个三角形相似”得出答案.

【详解】证明：,：^ABC=90°,Z.DBE=90°,

:.乙ABC-乙DBC=4DBE-乙DBC,

"：BC=CE,

/.Z-CBE=Z-E,

/.Z-ABD=乙E..

又,・Z=乙4,

C.LABD-△AEB.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键.即两角相等的两个三角形

相似.

【变式2-1］（2023•陕西西安•校考二模）如图，在AABC中，NB4C=2NB.请用尺规作图法，在BC边上求

作一点M,使△CMAsACAB.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】作NB4C的平分线，交BC边于点M,止匕时NCM4=NC4B.

【详解】解：点M即为所作，

A

•.,AM平分NB4C,

：.^BAM="AM,

,/^BAC=24B,

:.乙B=/.CAM,

/.MCA=AACB,

；.△CMA-△CAB.

【点睛】本题考查了作角平分线，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键.

【变式2-2](2023•浙江杭州•统考二模)如图，在△ABC中，AB=AC,BC恰好是乙4BD的角平分线.

(1)求证：AAPCsADPB；

(2)若AP=8P=1,AD^CP,求DP的长.

【答案】⑴证明见解析；

(2)x=—

【分析】(1)由等腰三角形得NC=ZXFC,由角平分线得41BC=NCBD,进而可得4c=乙CBD,证得力C||BD,

结论得证；

(2)由〜△DPB得募=黑，构建方程求解.

【详解】(1)证明：•「ZB=ZC

・•・"=/-ABC

平分4480

:•乙ABC=Z.CBD

:,乙C=lCBD

：.AC\\BD

:•乙C=LDBP,乙CAP=

：.△APC-△DPB

(2)设尸O=x

•:PC=AD

：.PC=1+x

•：AAPCfDPB

.AP_CP

DP-BP

,1_x+1

••X一1

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练相关判定方法是解题的关键.

【变式2-3］（2023•浙江杭州•杭州育才中学校考一模）如图所示，在等腰三角形ABC中，Z8=AC,点石,

厂在线段上，CE=BF,点。在线段上，S.AE2=AQ-AB.

求证：

⑴乙乙4E=2LBAF；

（2）AACE〜XAFQ.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）利用SAS证明△?!（：£1三△ABF即可；

（2）根据AaCE三AABF得出4E=4F,L.CAE=^BAF,if^AE2=AQ-AB,AC=AB,得出竺=生,

AQAF

利用相似三角形的判定得出结论即可.

【详解】（1）证明：'：AB^AC,

Z.B=Z.C,

AC=AB

在△4CE和△ABF中，乙C=,

CE=BF

：.△ACE三△ZBF(SAS),

：./LCAE=^BAF；

A

证明：\'^ACE=^ABF,

：.AE=AF,ACAE=Z.BAF,

"：AE2=AQ-AB,AC=AB,

.AEABpriAEAC

••--=---,即--=---,

AQAEAQAF

△ACEAFQ.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关

判定定理和性质定理是解题的关键.

题型03确定相似三角形的对数

【例3】（2023•黑龙江齐齐哈尔•统考三模）如图，在△ABC中，/.ABC=M=乙BDC=乙4ED=72。.则图中

相似三角形共有（）

【答案】C

【分析】首先算出三角形中角的度数，即可得到答案.

【详解】解：•・•乙ABC=£C=乙BDC=AAED=72°,

.•・乙4=180°-乙ABC-Z.C=180°-72°-72°=36°,

••・^ADE=180°-AA-/-AED=180°-36°-72°=72°,

••・乙DBC=180°-ZC-乙BDC=180°-72°-72°=36°,

•••Z-AED=乙ABC,

・•.ED//BC,

・•.Z.EDB=乙DBC=36°,

・•・乙BED=180一乙EBD一乙EDB=180-36°-36°=108°,

・•・乙DBC=180°-ZC-Z.BDC=180°-72°-72°=36°,L.ADB=Z.ADE+乙EDB=72°+36°=108°,

•・•Z.AED=乙ABD,Z.ADE=Z.ACB,

AED〜AABC,

Z.AED=Z-C,Z,ADE=乙BDC,

AED-△BCD,

Z-ABD=Z-C,Z-ACB=乙BDC,

BCD—△ABC,

•・•Z.A=乙EBD,Z.ADB=2BED,

•••△EBD~ADAB.

故相似的三角形对数为4对：

故选：C.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

【变式3-1］（2022・广东江门•校考一模）如图，BD和CE是AABC的高，在不添加其它字母情况下，则图中

相似三角形共有（）

A.2对B.3对C.4对D.5对

【答案】A

【分析】利用相似三角形的判定方法可判定A/lBDsAACE,AADE-ABC,即可求解.

【详解】解：和CE是△力BC的高，

：.^AEC=4ADB=90°,

'：Z.A=/.A,

△ABD~^△ACE,

■:乙BEC=乙BDC=90°,

・••点3,点C,点。，点E四点共圆，

：.^ACB+^BED=180°,

9：^BED+^AED=180°,

J.Z.ACB=/-AED,

又・・・44=匕4,

△ADE~△ABC9

...相似三角形共有2对，

故选:A.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关知识，掌握相似三角形的判定是解题的关键.

题型04在网格中判断相似三角形

【例4】(2019•浙江•校联考三模)如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶

A.①和②B.②和③C.①和③D.①和④

【答案】D

【分析】设小长方形的长为2a,宽为a.利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断.

【详解】由题意可知：小长方形的长是宽的2倍，

设小长方形的宽为a,则长为2a,

...图①中的三角形三边长分别为2a、7(2a)2+(2a)2=2夜a-7(2a)2+(4a)2=2V5a；

图②中的三角形三边长分别为2a,J(2a)2+(3以=ga,J(3a)2+(4以=5a；

图③中的三角形三边长分别为2a，7(2a)2+(4a)2=2小a-J(4a)2+(4a)2=4V2a；

图④中的三角形三边长分别为J(2a)2+(a。=V5a,^/(a)2+(3a)2=V10a>-J(3a)2+(4a)2=5a,

①和②图中三角形不相似；

..2a工\fl3a丰5a

*2a2V4y[2a

...②和③图中三角形不相似；

,,2a2\[2a2y/5a

2a2\[Sa4^j2a

...①和③图中三角形不相似；

..2d_2V2Q_2y[Sa_2^5

•V5aV10a5a5

二①和④图中三角形相似.

故选：D

【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.

【变式4-1](2021•辽宁抚顺・统考一模)如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①AABC；②ACDB；③X

DEB；其中能与△4BC相似的是.(△ABC除外)

【答案】③SDEB)

【分析】分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答.

【详解】解：根据网格可知：AB=1,AC-V12+I2=A/2,BC=V12+22=V5,△ABC的三边之比是AB：

AC：BC=1：V2：V5,

同理可求：②△CDB的三边之比是CDBC：BD=l：V5：2企；

③ADEB中DE：BD：BE=2：2VL24=1：A/2：V5.

...③6DEB）与△ABC相似，

故答案为：③ADEB.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解题关键.

题型05利用相似的性质求解

【例5】（2023•陕西榆林•校考三模）如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,"上，^ADE=60°,若4。=

4,啜=j则DE的长度为（）

CE2

48

A.1B.-C.2D.-

33

【答案】D

【分析】利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论.

【详解】解：为等边三角形，

.•・=cC=60°.

・•.Z.ADB+乙BAD=180°一乙B=120°.

•••Z.ADE=60°,

・•.AADB+乙EDC=180°-^ADE=120°,

Z-ADB+乙BAD=乙ADB+乙EDC,

•••Z-BAD=Z-EDC,

•••△BADCDE,

.BD_AD

••CE-DE'

4_3

DE2

・•.DE=

3

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角

形的判定与性质.

【变式5-1］（2023•浙江杭州•校联考二模）如图，AaBC中，DE||BC,若蔡=|，那么下列结论中，正确

【答案】D

【分析】由*=|得到*=：通过证明△40EABC,ADOECOB,得到*=*=裳=：，喙=

DLJ*3AD5ADAC<BC5BC

^=1，即可判断A、B、C,再根据三角形的面积比等于相似比的平方即可判断D.

【详解】解：•；DE||BC,

•••Z-ADE=Z.ABCfZ.AED=乙ACB,乙EDC=2BCD,乙DEB=Z-CBE,

•••△ADE-'AABC,△DOE-'ACOBf

AD_AE_DEDE_DO

"AB-AC~BC'BC-CO'

。_

…,A=—2，

BD3

AD_2

,t,——，

AB5

谭若喑/冷冷1，故A、B、C错误，不符合题意

••・褰=（金T了/故口正确，符合题意，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解

题的关键.

【变式5-2］（2023•云南红河・统考二模）如图，△>!£）£〜AACB,DE=5,S-QE：S四边形BCEP=%16,则BC

为（）

2025

A.8B.—C.—D.10

33

【答案】c

【分析】根据S—DE：S四边形HCED的比，可得S—DE：S“CB的比，利用面积比是相似比的平方，可得If，从而

可得答案.

【详解】解：,「SziaDE：S四边形BCEO=9：16,

•,^LADE'■^i^ACB~9：25，

故选：C.

【点睛】本题考查了形似三角形的性质，解题的关键是掌握面积比是相似比的平方.

【变式5-3］（2023•福建南平・统考二模）在等边三角形48C中，点。，E分别是边4B,AC的中点，若AZBC的

周长为12,则AADE的周长为（）

A.3B.4C.6D.9

【答案】C

【分析】利用中位线定理，得到三角形相似，运用周长之比等于相似比计算选择.

【详解】设三角形的周长用C表示，

:点D,E分别是边AB,4C的中点，

：.DE||BC,DE=-BC,

2

/.△ADEABC,

・♦△■4DE_丝_1

C^ABCBC2'

•CLADE_1

••—―,

122

,•CMDE=6，

故选C.

【点睛】本题考查了中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键.

【变式5-4］（2023•甘肃武威・统考三模）已知△ABCDEF,且乙4=30°,乙E=30。，则“的度数是C）

A.120°B.60°C.90°D.30°

【答案】A

【分析】根据相似三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，进行求解即可.

【详解】解：•••△480△£>£1/,/.E=30°,

.­./.ABC=NE=30°,

•••ZX=30°,

Z.C=180°-/.A-/.ABC=120°,

故选A.

【点睛】本题考查相似三角形的性质、三角形的内角和定理.熟练掌握相似三角形的对应角相等，是解题

的关键.

题型06利用相似的性质求点的坐标

[例6](2023・四川宜宾・四川省宜宾市第二中学校校考二模)如图，已知点A、B的坐标分别是(0,1)、(0,3),

点C为x轴正半轴上一动点，当乙4cB最大时，点C的坐标是()

【答案】B

【分析】过点4、B作OP,点。P与x轴相切于点C时，利用圆周角大于对应的圆外角得到此时乙4cB最大,

连接R4、PB、PC,作PHLy轴于H,如图，利用垂径定理得4”==1,则。"=2,再根据切线的性

质得PC1%轴，则四边形PC0H为矩形，所以PC=0H=2,贝UP4=2,在RSPAH中，利用勾股定理计算

出PH=,,于是可得到C点坐标为(V5,0).

【详解】解：过点4、B作OP,点OP与x轴相切于点C时，乙4cB最大，

连接PA、PB、PC,作PH_Ly轴于H,如图，

•.•点4、B的坐标分别是(0,1)、(0,3),

•••OA=1,AB=3-1=2,

PH1AB,

•••AH=BH=1,

：.OH=2,

1••OP与x轴相切于点c,

PC1x轴，

••・四边形PCOH为矩形，

PC=0H=2,

PA=2,

在RtAPAH中，PH=y/PA2-AH2=V22-I2=V3,

C点坐标为(百，0).

故选:B.

【点睛】本题考查了圆的综合题，熟练掌握垂径定理、圆周角定理，勾股定理,坐标与图形，掌握相关定理

性质是解题的关键.

【变式6-1](2023•江西九江•统考三模)如图，在平面直角坐标系中，己如4(1,0),8(2,0),C(0,l),在坐

标轴上有一点P,它与4c两点形成的三角形与A/IBC相似，贝UP点的坐标是.

【答案】(3,0)或(0,2)或(0,3)

【分析】分两种情形：当点尸在无轴上时，△PAC-△以IB时，当点P'在y轴上时，△P'CA-△BAC^LP"AC〜

XBCA,分别求解即可.

AOA=OC=1,OB=2,AB=OB-OA=1,

.,.AC=V2,

当点「在苫轴上时，APAC〜△CAB时，

.AC_AP

••—，

ABAC

.^2_PA

••三=正'

：.PA=2,

：.0P=3,

，P(3,0),

当点P'在y轴上时，xFCAsXBAC,

'：AC=CA,

：.AB=CP'=1,

：.0P'=2,

.”(0,2).

当〜ABS时，有第=券，

...cp"=空=2,

AB

：.OP"=1+2=3,

；.P"(0,3),

综上所述，满足条件的点P的坐标为(3,0)或(0,2)或(0,3).

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会与分类讨论的射线思考问题.

【变式6-2](2023•陕西西安•校考模拟预测)已知抛物线y=a--m乂+c与x轴交于4(一1,0)、B(4,0),与

(2)连接4C,点尸为抛物线上一点，且在y轴右侧，过点尸作PQL无轴于Q,若△PAQsAAC。，请求出点

P的坐标.

【答案】(l)y=|x2-|x-2

(2)(5,3)或者(3,-4)

【分析】(1)利用待定系数法即可作答；

(2)设P(%*久2一|%一2),且％>0,即有Q(%0),可得QO=X,PQ=假/一|工一2卜求出℃=2,40=1,

即4Q=AO+OQ=1+%,根据△PAQs△ACO,有丝=—,可得?="-p即：\x2—3%—4|=1+X,

4。PQ1-X2--X-2

解方程即可求解.

【详解】(1)将/(一1,0)、8(4,0)代入y=a/一|%+c,可得：

(ax(-1)2-|x(-1)+c=0

Iax42-|x4+c=0

解得：［a=L

Ic=-2

即抛物线解析式为：y=|%2-|%-2；

(2)如图，

设P^x,^x2—|光一2),且％>0,

〈PQ_L%轴,

；・Q(x,0),

：.QO=x,PQ=||x2-|%-2|,

当久=0时，y=-2,即C(0,—2),

：.OC=2,

•・N(-L0),

：.AO=1,即ZQ=ZO+OQ=1+%,

,:&PAQ〜bACO,

.CO_AQ

••—，

AOPQ

.2_1+x

即：|x2—3%—4|=1+x,

当—3x—4>。时，%2—3x—4=1+%,

解得：％=5(x=-1舍去)，

HP：P(5,3),

当——3%—4<0时，—/+3x+4=1+x,

解得：x=3(x=-1舍去)，

即：P(3,-4),

综上：点尸的坐标为：(5,3)或者(3,-4).

【点睛】本题考查了待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，解一元

二次方程等知识，掌握相似三角形的性质以及解一元二次方程的方法是解答本题的关键.

【变式6-3](2023•江西赣州•统考一模)如图，直线y=ax+2与x轴，y轴分别相交于力，B两点，与双曲

线y=g(x>0)相交于点P,PC1K轴于点C,且PC=4,点4的坐标为(—4,0).

(1)求一次函数和双曲线的解析式；

(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且轴于“，当AAB。〜ACQ"时，求点Q的坐标.

【答案】(l)y=|乂+2,y=g

(2)Q(8,2)

【分析】(1)4的坐标为(-4,0),代入直线y=a久+2待定系数即可求解；进而根据PC=4,即点P的纵坐

标为4,代入y=^x+2得：P(4,4),进而代入反比例数解析式即可求解；

(2)设HQ为X,贝UCH=2x,根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】(1)解：的坐标为(―4,0),代入直线、=4%+2

0=—4a+2,解得a=：

.,.y=-%+2,

)2

•••PC=4,即点P的纵坐标为4,代入y=|x+2得：

，4=%+2

2

解得：%=4,

即P(4,4),

将P(4,4)代入y=久%>0)

.*.4=解得k=16

4

(2)当AAB。-ACQH时

.AOCH

••—=—=Ln

BOHQ

设HQ为x,则C”=2%

.,.Q(4+2%,%)代入反比例解析式久=

4+2%

.・・解得％=一4或2

Vx>0

.*.%=2

■,•(2(8,2).

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

题型07在网格中画与已知三角形相似的三角形

[例7](2023•吉林延边•统考一模)如图是由边长为1的小正方形组成的6x8的正方形网络，每个小正方形

的顶点称为格点，△ABC的顶点A,B,C均在格点上，在给定的网络中，只用无刻度直尺，按要求作图，

不要求写画法.

(1)在图①中，作ADEF,使△DEFmAABC,且点。、E、尸均在格点上.

(2)在图②中，作ACGH,使△CG/fsAABC,点G、”均在格点上，且相似比不为1.

(3)在图③中，作NAMB,使=

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)利用网格的特点和三角形全等的判定方法SSS进行作图即可；

(2)根据相似三角形的判定方法和网格的特点作图即可；

(3)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到力M=BM=CM=加,贝此MAC=NC,由三

角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可得到乙4MB=2乙C,满足题意.

【详解】(1)解：如图，ADEF满足题意，

(2)如图，ACGH满足题意,

(3)如图，N力MB满足题意,

【点睛】此题考查全等三角形的判定、相似三角形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，根据网格特

点正确作图是解题的关键.

(1)在图1中，作一个格点△DEF,使得ADEF与AABC相似(相似比不等于1),且

(2)在图2中，作一个格点使得APQR与AaBC全等，且每条对应边都互相垂直.

注：图1,图2在答题卷上.

【答案】(1)见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据相似三角形的判定画出图形即可（答案不唯一）;

（2）根据全等三角形的判定，画出图形即可（答案不唯一）.

【详解】（1）解：如图，ADEF即为所求；

D

F

或者，满足即可:

E

FD

（2）解：如图，即为所求;

P

或者，满足ABJ.PQ,BC1PR,力CJ.QR即可:

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解

题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题.

【变式7-2X2023•安徽安庆・安庆市第四中学校考二模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，

△力8C的顶点及线段MN的端点均在格点（网格线的交点）上.

(1)作出ATIBC关于直线MN对称的AAiBiCi；

(2)画出一个格点△EFC,使△EFCsAABC(相似比不为1).

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)先作出点A、B、C关于直线MN的对称点，再一次连接即可;

(2)连接点C和4tBi中点凡连接CM,连接MF,AMFC即为AEFC,点E和点M重合.

【详解】(1)解：如图所示：AABiG即为所求；

(2)解：如图所示：AEFC即为所求.

【点睛】本题主要考查了轴对称的作图，以及作相似三角形，解题的关键是熟练掌握轴对称的作图方法,

以及相似三角形对应边成比例，对应角相等.

题型08证明三角形的对应线段成比例

【例8】(2020•河北唐山・统考一模)如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC=2：3,连

接AE、BD,且AE、BD交于点F,贝UDF：BF等于()

D.__E

F

AB

A.2：5B.2：3C.3：5D.3：2

【答案】A

【分析】利用平行四边形的性质可得出AB〃CD且AB=CD,结合DE:EC=2:3可得出界=|,由AB〃CD

可得出△DEF八BAF,再利用相似三角形的性质即可求出DF:BF的值.

【详解】解：:四边形ABCD为平行四边形，

・・・AB〃CD,且AB=CD.

VDE:EC=2:3,

・DE_DE_2_DE

•・DCDE+EC5BA*

•「AB〃CD,

/.△DEFs、BAF,

._D—F__D—E—2

''BFBA5•

故选：A.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质,利用平行四边形的性质结合DE：EC=2：

3找出DE：BA的值是解题的关键.

【变式8-1］（2020.安徽合肥.统考二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH

上一点，且/BGC=90。，延长BG交CD于点E,延长CG交AD于点F,当CD=4,DE=1时，则DF的长

A.2B.-C.V5D.-

25

【答案】A

【分析】延长AD,BE相交于点M,可得ADFGSZ\HCG,ADMGsAHBG,根据相似三角形的性质可得

DF=DM,由AMDEs^CDF可得差=誓，进而得出差=芸，再根据比例的性质解答即可.

DFCDDFCD

【详解】解：如图，延长AD,BE相交于点M,

VDF/7CH,

.,.△DFG^AHCG,

.DF_DG

**CH~GH'

.DM_DG

**BH~GHf

VCH=BH,.\DF=DM,

又•・•矩形/BCR

・•・乙CDF=Z.EDM=90。，

•・•乙BGC=90。,

・•・2CGE=90。，

•・•乙CEG=乙MED,

・•・乙FCD=Z.M,

・•・AMDE^ACDF,

.DE_DM

,・DF-CD'

,DE_DF

•・DF~CD'

：.DF2=DE•CD=1X4=4,

/.DF=V4=2.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并熟练掌握矩形的性质、

相似三角形的判定与性质是解题的关键.

【变式8-2](2023•上海松江・统考一模)如图，已知梯形ABCD中，AD\\BC.E是边4B上一点，CE与对角线

⑴△4BD〜4FCB；

(2)BD-BE=AD-CE.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)由BE?=EF•EC可证△BEF-ACEB,得至IJzlEBF=/ECB,再由4D||8