2024年中考数学一轮复习：直角三角形（讲义）（解析版）

第19讲直角三角形

目录

题型11勾股定理的证明方法

一、考情分析

题型12以弦图为背景的计算题

二、知识建构题型13利用勾股定理构造图形解决问题

考点一直角三角形的性质与判定题型14利用勾股定理解决实际问题

题型01利用直角三角形的性质求解类型一求梯子滑落高度

题型02根据已知条件判定直角三角形类型二求旗杆高度

题型03与直角三角形有关的面积计算类型三大树折断前高度

考点二勾股定理类型四解决水杯中的筷子问题

题型01利用勾股定理求线段长类型五选址到两地距离相等

题型02利用勾股定理求面积类型六最短路径

题型03已知两点坐标求两点距离类型七航海问题

题型04判断勾股数问题题型15勾股定理与规律探究问题

题型05利用勾股定理解决折叠问题考点三勾股定理逆定理

题型06勾股定理与网格问题题型01图形上与已知两地构成直角三角形的

题型07勾股定理与无理数点

题型08以直角三角形三边为边长的图形面积题型02在网格中判定直角三角形

题型09利用勾股定理求两条线段的平方和题型03利用勾股定理逆定理求解

（差）题型04利用勾股定理解决实际生活问题

题型10利用勾股定理证明线段的平方关系

考点要求新课标要求命题预测

>理解直角三角形的概念.该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考

>探索并掌握直角三角形的性质定理:直点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形

直角三角形的

角三角形的两个锐角互余，直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际

性质与判定

斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察

两个角互余的三角形是直角三角形.的重点.出题类型可以是选择填空题这类小题，也可

以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问

勾股定理

题的几何背景进行拓展延伸.结合以上考察形式，需

>探索勾股定理及其逆定理，并能运用它

要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形

勾股定理逆定们解决一些简单的实际问题.

的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的

理

考察方向.

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

直角三角形两个锐角互余.

，性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半.

两个内角互余的三角形是直角三角形.

判

定三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

题型01利用直角三角形的性质求解

与判定有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.>题型02根据已知条件判定直角三角形

性题型03与直角三角形有关的面积计算

如果三角形的三边长a,b,c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直

质

角三角形。

面积公式：S=1/2ab=1/2cm（其中：c为斜边上的高，m为斜边长）

题型01利用勾股定理求线段长

题型02利用勾股定理求面积

题型03已知两点坐标求两点距离

题型04判断勾股数问题

题型05利用勾股定理解决折叠问题

题型06勾股定理与网格问题

概念：如果直角三角形的两直角边分别为斜边为那么

a,b,c,a2+b2=c2.题型07勾股定理与无理数

勾

直角三角形能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即题型08以直角三角形三边为边长的图形面积

股题型09利用勾股定理求两条线段的平方和（差）

a2+b2=c2中，a,b,c为正整数时，称a,b,c为一组勾股数.

定题型10利用勾股定理证明线段的平方关系

理常见的勾股数：如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等题型11勾股定理的证明方法

勾股数----------------------------------------------------题型12以弦图为背景的计算题

---------确定是三个正整数a,b,c题型13利用勾股定理构造图形解决问题

题型14利用勾股定理解决实际问题

判断勾股数的方法确定最大的数c类型一求梯子滑落高度

计算较小的两个数的平方a2+b2是否等于c2.类型二求旗杆高度

类型三大树折断前高度

类型四解决水杯中的筷子问题

类型五选址到两地距离相等

类型六最短路径

类型七航海问题

题型15勾股定理与规律探究问题

如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个题型01图形上与已知两地构成直角三角形的点

题型02在网格中判定直角三角形

三角形是直角三角形，其中c为斜边.

勾股定理逆定理题型03利用勾股定理逆定理求解

题型04利用勾股定理解决实际生活问题

考点一直角三角形的性质与判定

―夯基•必备基础知识梳理

直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余.

2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.

2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系a2+b2=c2,那么这个三角

形是直角三角形。

面积公式：S=^ab=\cm（其中：c为斜边上的高，m为斜边长）

提升-必考题型归纳

题型01利用直角三角形的性质求解

【例1】（2023•山东聊城•统考二模）如图，直线31%，AB1CD,Z2=68°,那么N1的度数是（）

D

C

A.68°B.58°C.22°D.32°

【答案】C

【分析】由两直线平行同位角相等得到乙2=N3,再由4B与CD垂直，利用垂直的定义得到NBMC为直角,

得到N1与43互余，由N3的度数求出41的度数.

【详解】解：：直线卬“2，

z2=z3=68°,

,：AB1CD,

"CMB=90°,

."1+N3=90。，又43=68。,

."1=22°,

故选：C.

【点睛】此题考查了平行线的性质，垂直定义、直角三角形的两个锐角互余，熟知平行线的性质：两直线

平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.

【变式2023•广东揭阳・统考一模）如图，在△ABC中，4ACB=90°,乙ABC=60°,8。平分/ABC,P点

是BD的中点，若CP=4,贝。4D的长为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】由题意推出4D=BD,在RtABCD中，PC=^BD,即可求出BD的长，进而可求出4D的长.

【详解】解："：2LACB=90°,ZXBC=6O°,

."4=30°,

平分N4BC,

:.乙CBD=4DBA=30°,

/.A.DBA=乙4,

：.AD=BD,

点是2。的中点，

1

：.PC=-BD,

2

：.BD=2CP=8,

：.AD=8.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定等知识,

熟练掌握相关知识是解题关键.

【变式「2】（2023•山西大同・大同一中校考模拟预测）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋

檐下（如图①），如图②，是六角形风铎的平面示意图，其底部可抽象为正六边形4BCDEF,连接力C,CF,

则乙4CF的度数为

图①图②

【答案】30

【分析】根据正六边形的性质求出=/.BAF-/.AFE=180。—衅=120°,4S=CB,求出，414F=90°,

根据对称性求出42FC=60。，即可得到答案.

【详解】解：在正六边形4BCDEF中，

360°

乙B=Z.BAF=Z.AFE=180°--=120°,AB=CB,

6

J.Z.BAC=Z.ACB=30°,

：.^CAF=90°,

CF是正六边形的一条对称轴，

：.^AFC=60°,

：.^ACF=90°-AAFC=30°,

故答案为：30.

【点睛】此题考查了正多边形的性质，内角和的公式，直角三角形的性质，正确掌握正多边形的性质是解

题的关键.

【变式1-3］（2023•陕西西安•校考二模）如图，在Rt△48c中，/.BAC=90°,AB=6,CD是△ABC的中线，

E是CD的中点，连接AE,BE,若4E1BE,垂足为E,则AC的长为.

【答案】3V3

【分析】根据垂直定义可得乙4EB=90。,利用直角三角形斜边上的中线性质可得DE=力。=之43=3,AE=

DE=CE=3,从而得到CD=6,最后利用勾股定理进行计算即可解答.

【详解】解：•.•4E_LBE,

•••^AEB=90°,

•••CD是AaBC的中线，AB=6,

£>£>△力BE斜边上的中线，

•••DE=AD=-AB=3,

2

VZ.DAC=90°,E是CD的中点，

4E=DE=CE=3,

.­.CD=6,

由勾股定理得4C=<CD2-AD2=V62-32=3V3.

故答案为：3b.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中

线性质.

题型02根据已知条件判定直角三角形

【例2】（2023•福建漳州・统考一模）在下列条件中：①+N8=ZC,②=1:5:6,③乙4=90°-

乙B,④乙4=AB=NC中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据三角形内角和定理，能证明有一个角是90度即可确定A4BC是直角三角形.

【详解】解:由三角形内角和定理得〃+NB+NC=180°,

①当乙1+AB=/C时，2NC=180。，ZC=90°,能确定△48C是直角三角形；

②当NA4c=1:5:6时，Z.C=」一x180。=90。，能确定△4BC是直角三角形；

1+5+6

③当乙4=9（F-NB时，N4+NB=NC=90。，能确定△4BC是直角三角形；

④当N4=NB=NC时，乙4+NB=NC=60。，不能确定△力BC是直角三角形；

综上可知，能确定AABC是直角三角形的条件有3个，

故选C.

【点睛】本题考查直角三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理.

【变式2-1］（2023•陕西西安・西安市曲江第一中学校考模拟预测）下列条件中不能判断A/IBC是直角三角形

的是（）

A.AB2+BC2=AC2B.AB2-BC2=AC2C.乙4+乙8=NCD.ZT!:ZB:ZC=3:4:5

【答案】D

【分析】根据勾股定理的逆定理判断A和B即可；根据三角形的内角和定理判断C和D即可.

【详解】解：A.,：AB2+BC2=AC2,

:.乙B=90°,

...△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意;

B."：AB2-BC2=AC2

：.AC2+BC2=AB2,

AzC=90°,

.•.△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

C...Z+NB+NC=180。，4+NB=NC,

?.zC=90°,

...△4BC是直角三角形，故本选项不符合题意；

D.：乙4：NB：Z.C=3：4：5,Z4+zF+ZC=180°,

最大角NC==一X180°=75°,

3+4+5

...△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；

故选：D

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容

和三角形的内角和定理等于180。是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边°、b的平方和等于第三

边c的平方，即。2+》2=©2,那么这个三角形是直角三角形.

【变式2-2］（2020•浙江绍兴•模拟预测）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）

A.a—5,b=12,c=13B.Z71:Z.B：zC=3:4:5

C.Z.A=Z.B—Z.CD.a=l,b=2,c=V5

【答案】B

【分析】根据三角形的内角和以及勾股定理的逆定理分别判断，进而得出结论.

【详解】解：A、52+122=132,故△ABC是直角三角形，不符合题意.

B.VZA：ZB：NC=3：4：5,AZC=180°x-^-=75°,故不是直角三角形，符合题意；

3+4+5

C>VZA=ZB-ZC,.,.ZB-ZC+ZB+ZC=180°,.-.ZB=90°,故是直角三角形，不符合题意；

D>12+22=（V5）2,故是直角三角形，不符合题意.

故选B.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，求出各选项中的最大角是解题的关键.

【变式2-3］（2022•河北保定•统考一模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（）

A.3,4,4B.3,4,5C.3,4,6D.3,4,7

【答案】A

【分析】根据三角形三边组成锐角三角形的条件进行判断可得答案.

【详解】解：在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；

满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角

三角形.

A项，因为32+42>42,所以这三条线段组成锐角三角形，故A项符合题意；

B项，因为32+42=52,所以这三条线段组成直角三角形，故B项不符合题意；

C项，因为32+42<62,所以这三条线段组成钝角三角形，故C项不符合题意；

D项，因为3+4=7,所以这三条线段不满足组成三角形的条件，故D项不符合题意.

故应选：A.

【点睛】本题主要考查三角形的基本概念和直角三角形，其中在能够组成三角形的条件下，如果满足较小

两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形;

满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形；掌握直角三角形的判断条件是解题的关键.

题型03与直角三角形有关的面积计算

【例3】（2023•广西南宁•统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y=：（久>0）的图象上，

点A,8在x轴上，且P41PB,垂足为P,必交y轴于点C,AO=BO=BP,AABP的面积是2.则%的

值是（）

C.V3D.2

【答案】A

【分析】连接OP,过点尸作PD1AB,垂足为D,证明△OPB为等边三角形，设OB=a,利用求出PD=亨a,

得到点尸坐标，根据AABP的面积是2,列出方程，求出a2=竽，再将点P坐标代入y=:（x>0）中，可

得发值.

【详解】解：如图，连接。P,过点尸作PO,48,垂足为£）,

\'AO=BO=BP,

：.OP=OB=BP,即AOPB为等边三角形,

:.乙DPB=30°,

设。B=a,贝ijAB=2a,

BD--a,

2

：.PD=yJPB2-BD2=^-a,即P（[a,苧a）,

的面积是2,

1

：.-xABxDP=2,

2

**•—x2ax—a.=2,

22

解得：小=竽，

.j1V3V3W、，4心]

••k=一aKxZ—ct=—ct2=—x—=L

22443

故选A.

【点睛】本题考查了反比例函数表达式，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线，勾股定理，解

题的关键是判断出△0P8为等边三角形，得到点尸坐标.

【变式3-1］（2023•河北邢台•邢台三中校考一模）如图，将两个全等的正方形ABCD与2PQR重叠放置，若

Z.BAP=30°,AB=6V3,则图中阴影部分的面积是（）

A.48B.54C.81-18^/3D.108-36V3

【答案】D

【分析】设CD与PQ交于G,连接4G,根据正方形的性质得到4B=4P=AD,^BAD=NP==90°,根

据全等三角形的性质得到NP力G=^DAP=30。，根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】设CD与PQ交于G,连接4G,

,•・四边形4BCD和正方形4PQR是正方形，

AB-AP-AD,Z.BAD=NP=4。=90°,

Z.BAP=30°,

・•・/.PAD=60°,

在RtUPG与RtUDG中，

(AP=AD

14G=AG'

・•・Rt△APG=RtATWG(HL),

・•・乙PAG=^DAG=30°,

AD=AP=AB=6V3,

.・.PG=DG=6^3X—=6,

3

・・・图中阴影部分的面积=正方形ZPQR的面积-△4PG的面积-△4DG的面积=6V3x6V3-|x6V3x6-

|X6V3X6=108-36V3,

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线

是解题的关键.

【变式3-2】（2023•云南曲靖・统考二模）如图，在团4BCD中，AD1BD,^A=30°,BD=3,贝帆4BCD的面

积等于.

【答案】9V3

【分析】根据30。角所对直角边是斜边的一半求出=6,根据勾股定理求出4。，计算出AAB。的面积,

即可得解；

【详解】VXDLBD,42=30。，BD-3,

..AB=3x2=6,

：.AD=7AB2—BD2=V36-9=V27=3百，

・・・S—X3bx3=第,

・・・S平行四边形=2sAABD=9^3；

故答案是：9V5.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理，准确根据30。角所对直角边是斜边的一半求解是解

题的关键.

【变式3-3］（2023・河北唐山•统考模拟预测）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若重叠部分的面积是12cm2,

则A8的长是cm.

A

c---------30rxg

rL45°\

【答案】4V6

【分析】根据重叠部分的面积求出力C,利用直角三角形30。角的性质求出力B的长.

【详解】解：'：Z.ACB=A.AED=90°,

CBWED,

：.^AFC=4。=45°,

J.Z.DAC=/.AFC=45°,

：.AC=CF,

•••重叠部分的面积=JC-CD=12,

.,.AC=2V6,

VZ.71CB=90。"=30°,

：.AB=2AC=4V6,

故答案为：4V6.

【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，等角对等边证明边相等，直角三角形30。角的性质，正确掌握各

知识点是解题的关键.

考点二勾股定理

f夯基•必备基础知识梳理

勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么。2+。2=。2.

变式：a2=c2—b2,b2=c2—a2,c=yld21+b2,a=Vc2—b2,b=Vc2—b2.

勾股定理的证明方法（常见）：

方法一（图一）：4SA+S正方形EFGH=S正方形ABCD，4x^ab+（b-a）?=C?,化简可证•

方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4x|ab+c2=2ab+c2

大正方形面积为S=（a+b）2=a2+2ab+b2,所以a?+b2=c2

方法三（图三）：S梯形=/a+b）•（a+b）,S梯形=2S&ADE+SAABE=24ab+[c?,化简得证a?+b?=c?

图一图二图三

勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即42+块=02中，a,b,c为正整

数时，称a,b,c为一组勾股数.

常见的勾股数:如3,4,5；6,8,10;5,12,13；7,24,25等

判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数a,b,c；

2）确定最大的数C；

3）计算较小的两个数的平方。2+炉是否等于c2.

易混易错

1.勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾

股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.

2.如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，

求解时必须进行分类讨论，以免漏解.

3.应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a?+b2=c2时，斜边只能是c.若b为斜边，则关

系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b?+c2=a2.

4.每组勾股数的相同整数倍也是勾股数.

・提升・必考题型归纳

题型01利用勾股定理求线段长

【例1】（2023•广东云浮・统考一模）如图，4B切。。于C,点。从C出发，以每秒1cm的速度沿CB方向运

动，运动1秒时OD=2cm,运动2秒时OD长是（）

ACDB

A.V5cmB.V6cmC.V7cmD.2夜cm

【答案】C

【分析】本题考查切线的性质、勾股定理，掌握切线性质是关键.先证得NOCD=90。，再利用勾股定理求

解即可.

【详解】解：切O。于C,

:2OCD=90°,

•.•点。从C出发，以每秒1cm的速度沿CB方向运动，

二运动1秒时CD=1cm,

又：运动1秒时。D=2cm,

...在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC=VO£>2-CD2=V22-I2=V3,

•.,运动2秒时CD长为2cm,

此时OD=VOC2+CD2=J（V3）2+22=V7.

故选：C.

【变式1-1］（2023•浙江•模拟预测）若直角三角形的三边的长是连续的正整数，则这样的直角三角形的个数

是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】先设出直角三角形的三边长，再根据勾股定理解答即可.

【详解】设中间的一个为无，则另两边为（久-1）和（x+1）,根据勾股定理得：

（X—I）2+X2=（%+1）2,

解得：x=4或x=0（舍去），

.•.这样的直角三角形的个数只有一个，三边为3,4,5,

故选A.

【点睛】此题主要考查学生对勾股定理及一元二次方程的解法，解答此问题时，注意连续整数的特点，要

能够熟练解方程.

【变式1-2］（2023・安徽・统考模拟预测）在AaBC中,48=2,AC=2®乙C=30。,则线段BC的长为（）

A.4B.2V2C.4或2/D.2或4

【答案】D

【分析】分两种情况讨论：①为锐角时，过点4作分另!］在RtAACD和RtAAB。中求出CD,BD

从而可求出BC；②NB为钝角时，同样的方法可求出BC.

【详解】解：分两种情况讨论：

①NB为锐角时，如图，

过点4作4。1BC,

在Rt△ACD中，

\'AC=2V3,ZC=30°,

：.AD=V3,

I22

CD=y/AC2-AD2=J(2V3)-(V3)=3,

Rt△ABD中，

"：AB=2,AD=V3,

：.BD=yjAB2-AD2=J22-(V3)2=1,

：.BC=BD+CD=1+3=4；

②NB为钝角时，如图，

过点4作2D1BC交CB的延长线于点。，

同①可求得：CD=3,BD=1,

：.BC=CD-BD=3-1=2,

综上，BC的长为2或4,

故选：D.

【点睛】此题考查了勾股定理，含30。角直角三角形的性质，解题的关键是需要注意分情况求解.

题型02利用勾股定理求面积

[例2]（2023•河北石家庄•统考三模）若一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则正三角形与正六边形

的边长比为（）

A.V6:1B.1:V6C.V3:1D.2：1

【答案】A

【分析】设正三角形和一个正六边形的边长分别为a、b.构建面积相等构建方程即可解决问题.

【详解】解：设正三角形边长分别为。，如图，作4D1BC于

则BD=CD=-,AD=y/AB2-BD2=—,

22

...正三角形的面积为Jxax年=亨，

224

设正六边形的边长6,

同理正六边形的面积为6x卓=噜，

由题意：—,

42

a=V6b,

a-.b=V6:l,

故选：A.

【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解

决问题.

【变式2-1］（2023•湖南衡阳•校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，。尸与y轴相切于点C,与无轴

相交于A,B两点,假设点尸的坐标为（5,3）,点M是。尸上的一动点，那么A4BM面积的最大值为（）

A.64B.48C.32D.24

【答案】C

【分析】过点尸作轴于点。，连接PC,PA易得PC=P4=5,PD=3,然后由垂径定理，即可求得

40的长，继而求得的长，继而求得答案.

【详解】解：过点P作PDlx轴于点£）,在4B上方，PD与。尸的交点即AABM面积最大时动点的位置，连

接PC,PA,

丁点尸的坐标为(5,3),

QP与y轴相切于点C,

：.PC=5,PD=3,

：.PC=PA=5,DM=PD+PM=8

在RtAPZD中，AD=-JPA2-PD2=4,

*：PDLAB,

：.AB=2AD=8,

当点M位于(3,8)时，△ABM面积最大，最大值为：|>1S-MD=|X8X8=32.

故选C.

【点睛】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理.此题难度适中，添设辅助线，构造直角三角形

是解题的关键.

【变式2-2](2023•贵州遵义・统考三模)如图，大等边三角形中有"个全等的等边三角形，若大等边三角形

的面积为S「"个小等边三角形的面积的和为S2,则S]与S2之间的关系为()

2

A.Si=71s2B.Si=nS2C.Sr=4V3nS2D.Sr=2nS2

【答案】B

【分析】如图所示，过点A作2D1BC于D,设4B=BC=AC=x,贝UBD=|x,利用勾股定理求出4。=y%,

则•”=¥/；再求出乃个全等的等边三角形的边长为王=,进而求出52=手，即可得到S1=

24nn4n

nS2.

【详解】解:如图所示，过点A作于。，设4B=BC=4C=x,

：.BD=-BC=-x,

22

：.AD=7AB2-BD2=在久，

2

；2

.S11^-2BC-AD^—4x,

由题意得，〃个全等的等边三角形的边长为些==

nn

,V3fx\2V3x2

r-

••So=荏-----（）=----，

z4\nJ4n

/.S1=nS2，

故选B.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，正确求出SI，S2是解题的关键.

【变式2-3］（2023•山西太原•山西实验中学校考模拟预测）如图，在AABC中，AB=BC=AC,。是BC的

中点，DE14B于点E,则ABDE的面积与△力BC的面积之比为（）

A.1:8B.1:4C.1:2D.2:5

【答案】A

【分析】连接2。，易证AABC为等边三角形，从而得出=30。，根据含30度角的直角三角形的性质

得出BE=；8D,再根据勾股定理得出从而得出SABDE=^BO2,然后根据等边三角形的性质

22o

及勾股定理得出4D=?4B,从而得出

SZABCWBD?，即可得出答案•

【详解】解：连接AD

BDC

•・•AB=BC=AC

・•.△ZBC为等边三角形

・•・乙B=60°

•••DE1AB

・•・乙BDE=30°

1

・•・BE=-BD

2

iV3

・•.DE=yjBD2-BE2=—

111V3V39

S〉BDE~辽BE-DE=-x-xBDx—=—BD

••・D是BC的中点，

ii

.­.力O1BC,BD=-BC=-AB

22

i---------------V3

4D=<AB2-AD2=—AB

22

•••S^ABC=^BC-AD=^ABx^-AB=^AB=f(2BD)2=V3FD

叵BD2-1

△BDE的面积与△ABC的面积之比为看菽=[

73B8

故选A.

【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握性质定理是

解题的关键.

题型03已知两点坐标求两点距离

【例3】（2023•天津南开•统考一模）如图，矩形O4BC的顶点8的坐标为（2,3）,贝U2C长为（）

A.V13B.V7C.V5D.4

【答案】A

【分析】首先连接。8,根据两点间距离公式即可求得。B,再根据矩形的性质可得。B=4C,即可求得4c的

长.

【详解】解：如图：连接。B,

•••点8的坐标为(2,3),

•••OB=>J22+32=V13,

又•.・四边形。ABC是矩形,

•••AC=0B=V13,

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，作出辅助线是解决本题的关键.

【变式3-1](2023•广东梅州・统考一模)已知抛物线y=与一次函数y=2x+6交于48两点，则线段2B

的长度为()

A.20V2B.20V3C.40^/3D.20

【答案】A

【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到;——2久-6=0,利用根与系数的关系，再运用两点距离

4

公式变形求出长度即可得到答案.

【详解】解：?抛物线y=与一次函数y=2%+6交于48两点，

・•.联立]y~4X,消元得;*2—2x-6=0,

ky—2x+64

x±+x2-8,x1x2——24,

2

­,-AB=7(%i-x2Y+(y1-y2)

=d01一刀2)2+[(2勺+6)-(2亚+6)]2

22

=V(%1-%2)+(2X1-2x2)

=J5(X1一刀2)2

=+-2)2—

=V5x[82-4X(-24)]

=20V2

故选：A

【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关

系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公

式是解决问题的关键.

【变式3-2](2023•河北保定・统考二模)在平面直角坐标系中，点4(1,2),B(-3,6),当线段4B最短时，b的

值为()

A.2B.3C.4D.0

【答案】A

【分析】根据两点之间的距离公式即可求得b的值.

【详解】解：根据两点之间的距离公式得：