2024年中考数学一轮复习：图形的相似与位似（讲义）（解析版）

第20讲图形的相似与位似

目录

题型13平行线分线段成比例的常用辅助线之

一、考情分析垂线

考点二相似图形的概念与性质

二、知识建构题型01理解相似图形的概念

考点一比例线段的概念与性质题型02相似多边形

题型01成比例线段题型03相似多边形的性质

题型02图上距离与实际距离考点三位似图形

题型03利用比例的性质判断式子变形是否正确题型01位似图形的识别

题型04利用比例的性质求未知数的值题型02判断位似中心

题型05利用比例的性质求代数式的值题型03根据位似的概念判断正误

题型06理解黄金分割的概念题型04求两个位似图形的相似比

题型07黄金分割的实际应用题型05画已知图形放大或缩小n倍后的位似

题型08由平行线分线段成比例判断式子正误图形

题型09平行线分线段成比例（A型）题型06求位似图形的坐标

题型10平行线分线段成比例（X型）题型07求位似图形的线段长度

题型11平行线分线段成比例与三角形中位线综题型08在坐标系中求位似图形的周长

合题型09在坐标系中求位似图形的面积

题型12平行线分线段成比例的常用辅助线之平

行线

考点要求新课标要求命题预测

>了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线

比例线段的概念与

段；

性质

>通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.在中考中，该模块内容常出现在选

择题、填空题，较为简单.本节内

相似图形的概念与>通过具体实例认识图形的相似.

容是下一节相似三角形的基础，需

性质>了解相似多边形和相似比.

要学生在复习时加以重视.

>了解图形的位似,知道利用位似可以将一个图

位似图形

形放大或缩小.

定义：对于四条线段a、b、c、d,如果a/b=c/d（即ad=bc）,我们就说这四段线

段是成比例线段，简称比例线段。

比例

当比例的内项相等时，即a/b=b/d或a:b=b:d,线段b叫做线段a和d的比例中项

线段题型01成比例线段

判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判题型02图上距离与实际距离

解题思路断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可；题型03利用比例的性质判断式子变形是否正确

题型04利用比例的性质求未知数的值

基本性质a/b=c/d=ad=bc(bd#0)

题型05利用比例的性质求代数式的值

合、分比性质a/b=c/d«(a±b)/b=(c±d)/d(bd—0)题型06理解黄金分割的概念

相似比例的性题型07黄金分割的实际应用

图

形质如果a/b=c/d=e/f=-=m/n=k(b+d+f+…+nwO),题型08由平行线分线段成比例判断式子正误

基

础那么

等比性质(a+c+e+…+m)/(b+d+f+…+n)=k题型09平行线分线段成比例（A型）

点C把线段AB分割成AC和CB两段如果AC/AB=BC/AC,那么线段AB被点题型10平行线分线段成比例（X型）

黄金分割C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。题型11平行线分线段成比例与三角形中位线综合

题型12平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线

题型13平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线

线段嬴匕定理:三条平行线载两条直线所翻导的对西段成比例。

翅__________推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的

对应线段成比例.

图

形

定义：如果边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例的两

的

个多边形叫做相似多边形.

题型理解相似图形的概念

相01

相似图形的概相似多边形的对应角相等，对应边成比例.题型02相似多边形

似念与性质蜩相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平题型03相似多边形的性质

与方.

位

似定义:如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两

个图形叫做位似图形.

首先看这两个图形是否相似

判断位似图形的方法I-----------------------------------------

再看对应点的连线是否经过位似中心

位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点题型01位似图形的识别

题型02判断位似中心

位似图形的对应边互相平行或者共线

题型03根据位似的概念判断正误

位似图形的随位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比题型04求两个位似图形的相似比

—位似图形\题型05画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k,那么位题型06求位似图形的坐标

似图形对应点的坐标的比等于k或-k.题型07求位似图形的线段长度

画位确定位似中心，找原图形的关键点.题型08在坐标系中求位似图形的周长

似

图题型09在坐标系中求位似图形的面积

形

的确定位似比.

骤

步

以位似中心为端点向各关键点作射线.

顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形.

注意：画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个

考点一比例线段的概念与性质

.夯基-必备基础知识梳理

线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比.

比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度的比）与另两条线段的

比相等，如（即ad=bc），我们就说这四段线段是成比例线段,简称比例线段•其中a、b、c、d叫组

成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项，

【补充】当比的内项相等时，即或a：b=b：d,线段b叫做线段a和d的比例中项.

【解题思路】

1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段

的比是否相等即可；

2）成比例的线段是有顺序的，比如:a、b、c、d是成比例的线段,则成比例线段只能写成三=%即:厨=禁）,

bd第一条第四条

而不能写成；=

bc

比例的性质：

1）基本性质：!ad=be|»b2=ac

bdbc

（交换内项）

2）变形：（=£=｛（=：，（交换外项）核心内容：ad=be

（=2（同时交换内外项）

3）合、分比性质：?=50喈=岑

bdbd

【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差

rb-a_d-c

变化比例仍成立.如：合户区二工

、a+bc+d

4）等比性质：如果:=：=：=…=里=k,那么:…+m=k（b+d+f+…+n力0）.

bdfnb+d+f+…+n''

【补充】根据等比的性质可推出，如果贝哈=：=n（b+d40）.

bdbdb+d''

5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果发=器那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线

ABAC

段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.

【注意】1）AC=^AB=0.648AB（早叫做黄金分割值）.简记为：年

2）一条线段的黄金分割点有两个.

【扩展】作一条线段的黄金分割点：

如图，已知线段AB,按照如下方法作图：

①经过点B作BDLAB,使BD」AB.

2万

②连接AD,在DA上截取DE=DB.

③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.A^-.....J-

6）平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.

ZTN.日—1*ZQ尺尺

①已―r知13〃//I14/〃/I15,可得A一B=D一E―或p.A一B=D一E―或p.B一C=E一F—或p.BC一=E一F―或p.A一B=B一C等

BCEFACDFABDEACDFDEEF

推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.

1.求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系.

2.通常四条线段a、b、c、d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d

统一为另外一个单位也可以.

一提升・必考题型归纳

题型01成比例线段

【例1】（2023•福建泉州•校联考模拟预测）下列长度的各组线段中，能构成比例线段的是（）

A.2,5,6,8B.3,6,9,2C.1,2,3,4D.3,6,7,9

【答案】B

【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断.

【详解】解：A.V2x8力5x6,

.",2,5,6,8不能构成比例线段，不符合题意；

B.V2x9=3x6,

；.3,6,9,2能构成比例线段，符合题意；

C.V1X43x2,

.•.1,2,3,4不能构成比例线段，不符合题意；

D.V3X96X7,

，3,6,7,9不能构成比例线段，不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两

条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所

选取的单位无关系.

【变式1T】（2023・上海长宁・统考一模）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a=l,b=2,c-3,

那么d的值是（）

A.8B.6C.4D.1

【答案】B

【分析】利用成比例线段的定义得到a：b=c:d,然后根据比例的性质求d的值.

【详解】解：根据题意得：a:b=c:d,

即1:2=3:d,

解得d=6.

故选：B.

【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b,c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与

另两条线段的比相等，如a:b=c:d（即ad=be）,我们就说这四条线段是成比例线段.

【变式1-2]（2023•上海杨浦•统考一模）已知线段a=3厘米，c=12厘米，如果线段b是线段a和c的比例中

项，那么b=____厘米.

【答案】6

【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到a：b=b:c,然后利用比例性质计算即可，解题的

关键是理解四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，a:6=c:d,

我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当a：b=b：c时，线段b是线段a和c的比例中项.

【详解】•••线段b是线段a和c的比例中项，

.".a:b=b:c,即=ac=3x12,

.'.b—6（cm）,

故答案为：6.

题型02图上距离与实际距离

【例2】（2023•江苏常州•常州市第二十四中学校考模拟预测）在比例尺是1:8000的地图上，延陵西路的长

度约为25cm,该路段的实际长度约为（）

A.3200mB.3000mC.2400mD.2000m

【答案】D

【分析】首先设它的实际长度是xcm然后根据比例尺的定义，即可得方程1:8000=25:%,解此方程即可求

得答案，注意统一单位.

【详解】解：设它的实际长度为xcm,

根据题意得：1:8000=25:%

解得：x=200000,

,-,200000cm=2000m

该路段实际长度约为2000m

故选：D.

【点睛】此题考查了比例线段.此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意

统一单位.

【变式2-1］（2023•上海嘉定•校考一模）甲、乙两地的实际距离为250km,如果画在比例尺为1:5000000

的地图上，那么甲、乙两地的图上距离是cm.

【答案】5

【分析】根据比例尺=图上距离?实际距离进行求解即可.

【详解】解：由题意得甲、乙两地的图上距离是250x1000x100嬴=5cm,

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺的定义是解题的关键.

题型03利用比例的性质判断式子变形是否正确

【例3】（2023•安徽合肥•校考一模）已知2x=3y（x0,y^O）,则下列比例式成立的是（）

A.—B.占C.占D.」

322y23y3

【答案】A

【分析】根据若（=5（b力0,&丰0）,贝Uad=be,进行逐一判断即可求解.

【详解】解：A.可化为2x=3y,故此项符合题意；

B.可化为xy=6,故此项不符合题意；

C.可化为3x=2y,故此项不符合题意；

D.可化为3x=2y,故此项不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了比例是性质，掌握性质是解题的关键.

【变式3-1］（2023•上海宝山•一模）已知线段°、6,如果a:6=2:3,那么下列各式中一定正确的是（）

A.2a=36B.a+b=5C.手=|D,=1—

【答案】C

【分析】根据比例的性质进行判断即可.

【详解】解：A、由a:b=2:3,得3a=2b,故本选项错误，不符合题意；

B、当a=4,b=6时，a:h=2:3,但是Q+5=10,故本选项错误，不符合题意;

C、由a:b=2:3,得竺2=3故本选项正确，符合题意；

a2

D、当。=4,b=6时，a:b=2:3,但是^=Z,故本选项错误，不符合题意.

o+28

故选：C.

【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，

比较简单.

题型04利用比例的性质求未知数的值

【例4】（2023•湖南郴州•模拟预测）若（5-%）:%=2:3,贝阮=.

【答案】3

【分析】根据比例的性质得到方程3（5-%）=2%,再解方程即可求解.

【详解】解：•••（5-x）:x=2:3,

.*.3（5—x）=2xf

15—3%=2x,

解得％=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查比例性质，熟练掌握内项之积等于外项之积是解题关键.

【变式4-1］（2023・四川成都•统考二模）若合京且a+b=7,则a的值为.

【答案】3

【分析】根据比例的性质得到3b=4a,结合a+b=7求得a的值即可.

【详解】解：由a：b=3：4知3b=4a,

所以6=（a.

所以由a+b=7得到：a+（a=7,

解得：a=3,

故答案为：3.

【点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积.若£=:，贝Uad=bc.

题型05利用比例的性质求代数式的值

【例5】（2023•浙江•模拟预测）用“▲:“・”，“，吩别表示三种物体的重量，若?=等=上，则上，・，

回团团+团

♦这三种物体的重量比为（）

A.2:3:4B.2:4:3C.3:4:5D.3:5:4

【答案】B

【分析】可设［=誓=3=k,利用等比性质可得k的值，设▲为x,•为y,♦为z,得至归个等式，联立

LuLLIL^J十Lu

可得用x表示y、z,相比即可.

【详解】解：设《=等=9=k,▲为x,•为y,♦为z,

0肉团+团J

・._x+y-z+z_x+y_1

••K———■7——f

y+x+y+x2(x+y)2

,久=\y,y-z=拉z=+y),

・・・Oy=2x,z=3-x,

AA,•,♦这三种物体的重量比为2:4:3.

故选：B.

【点睛】考查比例性质的应用；利用等比性质得到所给比值的确定值是解决本题的关键.

【变式5T】(2023•上海虹口・统考一模)己知x:y=3:2,那么(％-丫):久=—.

【答案】1:3

【分析】本题考查了比例的性质，表示出y是解题的关键.先用尤表示出》再代入比例式进行计算即可得

解.

【详解】解：..“：、=3:2,

..y=-2%,

J3

(x—y):x=(久一|久):x=|x:x=1:3,

故答案为：1:3.

【变式5-2](2023•宁夏银川•校考一模)若2=@=-aKc),则岁=

ac22a-c

【答案】1/0.5

【分析】根据等比性质、合比性质转换即可.

【详解】解：•d=@=：(aKc),

ac2

故答案为也

【点睛】本题考查了比例线段，比例的性质，正确理解等比性质、合比性质是解题的关键.

【变式5-3](2023•江西抚州•校联考一模)解方程：

(l)x(x—3)=2%—6；

(2)已知a:b:c=2-.3:4,且2a+3b—2c=15,求a—2b+3c的值.

【答案]⑴%i=3,&=2;

(2)24

【分析】(1)先移项，再利用因式分解法解一元二次方程，此题得解；

(2)由a:拄c=2:3:4,可设Q=2/c,贝ijb=3/c,c=4k,根据2a+3b—2c=15可得出关于上的一元一*次

方程，解之即可得出左值，进而可得出。、b、C的值，将其代入a-2b+3c中即可求出结论.

【详解】(1)解：移项得，%(x-3)-2(x-3)=0,

即(x-3)(x-2)=0,

即x-3=0或％-2=0,

解得：%!=3,x2=2；

(2)解：\'a:b:c=2:3:4,

...设a=2k,则b=3k,c=4k.

V2a+3b—2c=15,

.\4fc+9k-8k=15,

解得：k=3,

a=6,b=9,c=12,

：.a-2b+3c=6-18+36=24.

【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程、解一元一次方程以及比例的性质，解题的关键是：(1)

熟练掌握因式分解法解一元二次方程的解法；(2)根据比例关系结合2a+3b-2c=15列出关于左的一元

一次方程.

【变式5⑷(2023・安徽•校联考模拟预测)已知母=高=嬴-^—=k,求k2-3k-4的值.

a+b+c

【答案】或6.

【分析】当a+b+c+d邦时，依据等比性质可得|g察舞=k,当a+b+c+d=°时，得b+c+d=-a,代入即可计

算出k的值.

2d[

【详解】：康=熹=嬴-------二k

a+b+c

...当a+b+c+d邦时，由等比性质可得，翳震拼k

k_2(a+b+c+d)_2

3(a+b+c+d)3

当a+b+c+d=0时，b+c+d=-a,

2a2a.

••k=^^=『2；

当k*时，k2-3k-4=(-f-3x--4=--；

3\3/39

当k=一2时，k2-3k-4=(-2)2-3x(-2)-4=6.

【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质.

题型06理解黄金分割的概念

【例6】(2023•上海杨浦•统考一模)已知P是线段4B的黄金分割点，且力P>BP,那么下列等式能成立的是

AABAPnABBP

A.A—P=—BPB.—BP=—AP

-APV5-1cABV5-1

C.—=-----D.——=-----

BP2AP2

【答案】A

【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是

掌握黄金分割点的性质.

【详解】解：如图，

P

A1---------------1---------哈

•・,点P是线段的黄金分割点，且

.AP_PB_4T

AB~AP~2'

故选：A.

【变式6-1]（2023•河南郑州•统考二模）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识.如图是古希腊时期的帕提农

神庙（ParthenonTemple）,我们把图中的虚线表示为矩形4BCD,并发现2。:DC《0.618,这体现了数

学中的（）

A.平移B.旋转C.轴对称D.黄金分割

【答案】D

【分析】根据黄金分割比可得答案.

【详解】解："."ADiDC»0.618,

.•.体现了数学中的黄金分割；

故选D

【点睛】本题考查的是黄金分割比的含义，熟记黄金分割比为与0.618是解本题的关键.

【变式6-2]（2023・四川成都・校考三模）己知点C为线段48的黄金分割点，AC>BC.若AC=6cm,则4B的

长为cm.

【答案】3V5+3/3+3V5

【分析】利用黄金比例列出方程解答即可.

【详解】解：•.•点C为线段AB的黄金分割点，

.AC__用C

AB2

.6_V5-1

AB2

AB—3V5+3.

故答案为：3而+3.

【点睛】本题考查了黄金分割点的应用，正确应用黄金比是解答本题的关键.

题型07黄金分割的实际应用

【例7】（2023•云南昆明•统考二模）如果矩形4BCD满足若=空，那么矩形叫做“黄金矩形”，如图，

BC2

已知矩形2BCD是黄金矩形，对角线AC,BD相交于。且BC=2,则关于黄金矩形4BCD,下列结论不正确的

是（）

C.AC=8-2V5D.矩形48CD的周长C=2逐+2

【答案】C

【分析】计算得出48=6-1,根据矩形的性质求得各项，即可判断.

【详解】解：•••丝=更二，且BC=2,

BC2

：.AB=V5-1,

•・•四边形ABC。是矩形，

••AC=BD,故选项A正确，不符合题意；

「♦S—OB=矩形4BCO=2X（西一1）=与士故选项B正确,不符合题意；

：.AC=J（V5-l）2+22=V10-2V5彳8-2瓜故选项C错误，符合题意；

...矩形43。。的周长。=2（4一1+2）=2遥+2,故选项D正确，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了矩形的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键.

【变式7-1］（2023•陕西西安・陕西师大附中校考模拟预测）如图，点C是线段4B的黄金分割点，即能=*，

若S1表示以ca为一边的正方形的面积，52表示长为AB,宽为CB的矩形的面积，则S1与S2的大小关系是（）

Si,

L

A.>S2B.Si<S2C.Si=52D.无法确定

【答案】C

【分析】根据欧=.得出4c2=BC,根据S[=4C2,S2=ABBC,得出a=52.

【详解】解：...点C是线段4B的黄金分割点,即冷条

：.AC2=AB-BC,

2

•.§=AC,S2=AB-BC,

；.S1=52，故C正确.

故选：c.

【点睛】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是根据靠=斛出"2=AB-BC.

【变式7-2]（2023•陕西渭南•统考一模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）

的高度比，等于下部与全部的高度比（即笠=%），可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度2B为

2m的雕像，则该雕像的下部高度8c应设计为—m.（结果保留根号）

【答案】（4一1）

【分析】雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即?=4B=2,

设ac=x,根据比例即可求解.

【详解】解：•.•雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比，

.•.设4C=x,则BC=2-x,

.x_2-x

-2-x-2

解分式方程得，x=3+V5>2(舍去)或％=3—V5,

检验，当x=3-芯时，原分式方程有意义，

：.x=3-后即4。=3一遍，

：.BC=2-(3-A/5)=V5-1,

.•.该雕像的下部设计高度为(瓶-l)m,

故答案为：(病―1).

【点睛】本题主要考查比例，解比例方程，理解题意，掌握比例的性质，解比例方程是解题的关键.

【变式7-3](2023・江西鹰潭・统考二模)【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格

的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值、我们知道：如图1,如果器=2那么称点C为线

段A8的黄金分割点.

ACB

图1图2

(1)【问题发现】如图1,请直接写出CB与2C的比值是；

(2)【尺规作黄金分割点】如图2,在RtAABC中，ZC=90°,BC=1,AC=2,在BA上截取BD=BC,在

AC上截取4E=4。，求靠勺值；

(3)【问题解决】如图3,用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形4BDE得折痕MN,连接EN,

点A对应点”，得折痕CE,试说明：C是AB的黄金分割点.

【答案】(1)等

⑵誓

(3)见解析

2

【分析】⑴由%=会得到=4。2,由as=4C+CB,代入后整理得至!J®)+吟—1=0,解方

ACAB\ACJAC

程即可得到答案；

(2)在RtAABC中，ZC=90°,BC=1,AC=2,由勾股定理得，AB=V5,由BD=BC=1得到4。=AB-

BD=近一1,贝iME=AD=V^-l,即可得到茶的值；

(3)设EC与MN相交于点P,作PQ1EN于点Q,由MN||AB,MN=4B,且M为2E的中点得到彤=器=；，

ACAE2

EM=^AE=2,可得到PQ=MP=^AC,设PQ=MP=^AC=%,贝iJPN=4-x,由勾股定理得到EN=2A/5,

由sinZ^NM="=空得到/-=解得％=遍—1,贝!!/。=2西—2,求出生=出'，—=1,即可

PNEN4-x2V5AB2AC2

得到结论.

【详解】⑴解：•.与=暖,

ACAB

：.CB-AB=AC2,

"：AB=AC+CB,

：.CB■(AC+CB)=AC2,

整理得，CB2+CB-AC-AC2=0,

两边同除以a。?得，像y+,-i=o,

解得崂=亨，招=年(不合题意，舍去)，

AC*/jriC«乙

：.CB与力C的比值是年，

故答案为：誓

(2)在RtAABC中，ZC=90°,BC=1,AC=2,

由勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=V22+I2=V5,

,:BD=BC=1,

：.AD=4B—B0=遥一1,

：.AE=AD=V5-1,

・AEV5-1

••——,

AC2

即胎的值为亨;

(3)设EC与MN相交于点P,作PQLEN于点。

'：MN||AB,MN=AB,且M为4E的中点,

.MPEM_1I

'*ACAE~29

：.PQ=MP=^AC,

设PQ=MP=^AC=x,

则PN=MN-PM=4—x,

,:EN=VEM24-MN2=V22+42=2后

..j-KTiijfPQEM

..sin乙ENM=—=—

PNEN

X2

**4-x-2忖

解得％=V5-1,

经检验％=V5-1是分式方程的根，

：.AC=2x=2y/5-2,

・AC2-75-2V5-1

••——,

AB42

BC_4(2%2)_西T

AC-2V5-2-2'

.BC_AC_VS-l

**AC~AB~2'

；.C是AB的黄金分割点.

【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、锐角三角函数、折叠的性质、勾股定理、正方形的性质、

解方程等知识，正确做出辅助线是解题的关键.

【变式7-4](2023.湖北孝感.校考模拟预测)阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，

即：点P是线段4B上一点Q4P>BP),若满足第=黑，则称点P是4B的黄金分割点.黄金分割在我们的数学

学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为36。的等腰三角形称为“黄金三角形”.

ACB

图1图2图3

(1)应用：如图1,若点C是线段的黄金分割点Q4C>BC),若4B=1,贝必C的长为.

(2)运用：如图2,己知等腰三角形48c为“黄金三角形"，AB=AC,〃=36。，BO为乙4BC的平分线.求证:

点。是4C的黄金分割点.

(3)如图3中，AB=AC,NA=36。，BF平分N2BC交4C于R取4B的中点E,连接EF并延长交BC的延长线

于BC=1,请你直接写出CM的长为

【答案】⑴七1

(2)证明见解析

⑶CM=雪

【分析】⑴设2C=a,则8c=l-a,根据黄金分割的含义可得：*笫即心=山•他再解方程

即可;

(2)证明ACBD“△C4B,推出与=登，推出:=黑，可得结论.

(3)如图，连接AM,同理可得：AABC=乙4cB=72°,zl=Z2=36°=乙BAC,可得AF=BF=BC=1,

证明MEIAB,MB=MA,^CAM=72°-36°=36°=ABAC,可得C是BM的黄金分割点，且BC<CM,

可得告=黑，设CM=K,再解方程可得答案.

CMBM

【详解】(1)解：♦..点C是线段4B的黄金分割点Q4C>BC),AB=1,

设AC=a,则BC=l-a,

即4C2=BCMB,

ACAB

••a2=1—a,

CL^+CL—1—0,

解得：a=3二(负根舍去)，

•••ac=第；

(2)证明：'：AB=AC,NA=36。，

：.AABC=ZC=72°,

又平分NABC,

1

：.^ABD=乙CBD=-/.ABC=36°,

2

;•乙BDC=36°+36°=72°,

：.AD=BD,BC=BD,即AD=BD=BC,

XVzC=ZC,(CBD=CA,

△CBDs匕CAB,

.CD_BC

••—，

BCAC

.CD_AD

**AD~AC'

.♦.A点是AC的黄金分割点.

(3)如图，连接AM,

同理可得：AABC=AACB=72°,41=42=36°=ABAC,

：.AF=BF=BC=1,

为48的中点，AF=BF,

：.ME1AB,

：.MB=MA,

A

图3

J.^LABM=Z.BAM=72°,LAMB=36°,

：.^CAM=72°-36°=36°=ABAC,

同理可得C是BM的黄金分割点，且

设CM=x,

CMBM

•・•一1=——,

X1+x

整理得：%2-%-1-0,

解得：工=雪（负根舍去），

：,CM=—.

2

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，黄金分割点的含义，相似三角形的

判定与性质，一元二次方程的解法，熟记黄金分割的含义是解本题的关键.

【变式7-5］（2023•江苏南京•统考二模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用.如

图①，点C把线段4B分成两部分，如果%=啰，那么称线段48被点C黄金分割，点C为线段4B的黄金分

ACAB

割点.4C与4B的比称为黄金比，它们的比值为等.请完成下面的问题：

111

ACB