北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列方程中，关于的一元二次方程是（

）A．B．C．D．2．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC＝1：2，AE与BD相交于点F，若S△BEF＝2，则S△ABD＝（）A．24B．25C．26D．233．若方程（a-2）x²+ax-3=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≥2且a≠2B．a≥0且a≠2C．a≥2D．a≠24．如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是（）A．B．C．D．5．如图，菱形ABCD的面积为120cm，正方形AECF的面积为50cm，则AB的长为（

）A．9cmB．12cmC．13cmD．15cm6．如图，在边长为的菱形中，，过点作于点，现将△沿直线翻折至△的位置，与交于点.则等于（

）A．B．C．D．7．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A．12个B．16个C．20个D．25个8．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．2B．3C．5D．69．如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（

）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC＝8，CE＝12，BD＝6，则BF的值是（）A．14B．15C．16D．1711．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．512．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．4：9B．2：5C．2：3D．：二、填空题13．已知菱形的周长为24，较大的内角为120°，则菱形的较长的对角线长为_____．14．方程x2＝2x的解是_______．15．在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，，，，，已知矩形与矩形位似，位似中心为坐标原点，位似比为，则点的坐标是______．16．如图，矩形纸片ABCD，BC=10，AB=8，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为____．三、解答题17．解方程：①2x2﹣4x﹣3＝0；②5（x+1）2＝7（x+1）．18．（1）解方程；（2）解方程；(3)已知a≠0，b≠0，a≠b且x=1是方程ax²+bx-10=0的一个解，求的值.19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；（2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．20．某超市准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为每个50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x元，（1）当定价增加5元时，获利是多少元？（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE（1）求证：AB⊥AE；（2）若BC2=AD•AB，求证：四边形ADCE为正方形．22．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.23．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，（1）证明ABDF是平行四边形；（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．24．已知如图，矩形ABCD的周长为64，AB=12，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于E、F，连接AF、CE、EF，且EF与AC相交于点O．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求S△ABF与S△AEF的比值．25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为4cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？参考答案1．A【解析】【详解】试题解析：A、符合一元二次方程的定义，正确；B、方程含有两个未知数，错误；C、原方程可化为-7x=0，是一元一次方程，错误；D、方程二次项系数可能为0，错误．故选A．考点：一元二次方程的定义．2．A【解析】【分析】已知平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC＝1：2，可知△BEF∽△ADF得出相似比，所以得出根据，在△BEF中，把EF作为底边，在三角形ABF中，把AF作为底边，高相等，面积比即是底边的比，即，得出，求得答案．【详解】在平行四边形ABCD中AD=BC，AD∥BC∴△BEF∽△ADF，∴∴∵∴在△BEF中，把EF作为底边，在三角形ABF中，把AF作为底边，高相等，面积比即是底边的比，即∴且∴故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质，如果两个三角形相似，面积比就等于相似比的平方，可以作为求解三角形面积的方法.3．D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得到a-2≠0，由此求得a的取值范围．【详解】解：依题意得：a-2≠0，解得a≠2．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．4．A【解析】【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形．【详解】∵四边形是平行四边形，∴，，∵对角线上的两点、满足，∴，即，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形．故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．C【解析】【分析】根据正方形的面积求出AC的长，根据菱形的面积求出BD的长,再利用菱形的对角线互相垂直平分计算菱形的边长．【详解】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC=因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD=所以菱形的边长=故选C．【点睛】此题考查正方形和菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．6．A【解析】【分析】在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=，可求得AE=，BE=，根据△ABE沿直线翻折至△的位置可知BF=3，结合菱形的边长为，可知EC=-，则CF=3-，利用菱形对边平行即CG∥AB，再根据平行线段成比例可得即，求得CG=【详解】∵∠B=30°，AB=，AE⊥BC∴AE=，BE=∴BF=3，EC=-，则CF=3-又∵CG∥AB∴∴解得CG=.【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线段成比例，图形的翻折，解本题的关键是通过利用菱形对边平行发现与要求线段CG与其他线段成比例的关系.7．B【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：设盒子中有红球x个，由题意可得：=0.2，解得：x=16，故选B．．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系8．C【解析】【详解】连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用“AAS或ASA”易证△FMC≌△EMA，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=，且tan∠BAC=；在Rt△AME中，AM=AC=，tan∠BAC=可得EM=；在Rt△AME中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C．【点睛】本题考查了菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．9．D【解析】【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题.【详解】解：如图延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．10．B【解析】【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵a∥b∥c，AC＝8，CE＝12，BD＝6，∴,即，解得：，故选：B.【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．11．C【解析】【分析】①如图，证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，②利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断；③先证明CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，表示AC的长为AO+OC可作判断；④如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断；⑤如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AF=a，想办法求出BE，EC即可判断．【详解】如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°．∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，∴△AMN∽△BME，∴，∴，∵∠AMB=∠EMN，∴△AMB∽△NME，故①正确，∴∠AEN=∠ABD=45°，∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确，在△ABE和△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF．∵BC=CD，∴CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE=OF，Rt△CEF中，OCEFx，在△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE．∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE(HL)，∴AO=AB=1，∴ACAO+OC，∴1x，∴x=2，∴，故③不正确，③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF=AH，∠DAF=∠BAH．∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE．∵∠ABE=∠ABH=90°，∴H、B、E三点共线，在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH(SAS)，∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正确，如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AFa，∵DF∥AB，∴，∴AN=NEAFa，∴AEANa，∴BEa，∴ECaBC，故⑤正确．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．12．A【解析】【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，故选：A．【点睛】本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.13．【解析】【分析】由菱形的性质可得AB=6，AC⊥BD，BD=2OB，由直角三角形的性质可得AO=1，由勾股定理可求BO的长，即可得BD的长．【详解】解：如图所示：∵菱形ABCD的周长为24，∴AB=6，AC⊥BD，BD=2OB，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠ABO=∠ABC=30°，∴AO=3，∴BO=，∴BD=，故答案为：.【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．14．x1＝0，x2＝2【解析】【分析】先移项得到x2﹣2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．【详解】解：∵x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并能够根据方程的特征灵活选用合适的方法解答是解题的关键．15．或【解析】【分析】由矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，又由点B的坐标为（8，6），即可求得答案．【详解】解：如图，∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，∴点B1的坐标是：（4，3）或（-4，-3）．故答案为：（4，3）或（-4，-3）．【点睛】本题考查了位似图形的性质，注意位似图形是特殊的相似图形，注意数形结合思想的应用．16．．【解析】【分析】由勾股定理求出AE的长，证明△ABH∽△EAD，得出求出AH的长，得出AG的长，即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠BAD=∠D=90°，∴AE5，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH=GH，∴∠BAH+∠ABH=90°，又∵∠FAH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠FAH，∴△ABH∽△EAD，∴，即，解得：AH，∴AG=2AH，∴GE=AE﹣AG=5．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．17．①x1＝，x2＝；②x1＝﹣1，x2＝．【解析】【分析】①直接利用一元二次方程的求根公式，求方程的解；②先移项得到5（x+1）2﹣7（x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程，即可求解．【详解】①2x2﹣4x﹣3＝0，a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，∴△＝b2﹣4ac＝16﹣4×2×（﹣3）＝40，∴，∴x1＝，x2＝；②5（x+1）2﹣7（x+1）＝0，（x+1）（5x+5﹣7）＝0，x+1＝0或5x+5﹣7＝0，∴x1＝﹣1，x2＝．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握公式法和因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．18．（1）；（2）；（3）5.【解析】【分析】（1）提公因式因式分解后可解；（2）把方程左边化为完全平方式的形式，再利用直接开方法求出x的值即可；（3）把x=1代入方程求得a+b=10，然后将其整体代入化简后的分式并求值．【详解】解：（1）因式分解得，∴；（2）∵原方程可化为（x-1）2=3，，，.（3）解：∵x=1是方程ax²+bx-10=0的根，∴a+b=10，∴,故答案是：5.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是解题关键．19．（1）证明见解析；（2）点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形．【解析】【分析】（1）利用等边对等角以及平行四边形的性质可以证得∠EDC=∠ACB，则易证△ADC≌△ECD，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC=DE推出即可．【详解】解：（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，又∵▱ABDE中，AB=DE，AB∥DE，∴∠B=∠EDC=∠ACB，AC=DE，在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS）．（2）点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，AE∥BC，∵D为边长中点，∴BD=CD，∴AE=CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵△ADC≌△ECD，∴AC=DE，∴四边形ADCE是矩形，即点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形．考点：平行四边形的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定的应用．20．（1）5250元；（2）当定价为70元时利润达到6000元，此时的进货量为200个【解析】【分析】（1）根据利润＝每件商品利润×销售量，列式即可求解；（2）总利润＝每件商品利润×销售量，销售量为400﹣10x，列方程求解，根据题意取舍；【详解】（1）定价增加5元即为：50+5=55元时，销售量为：400-10×5=350获利为：（50+5﹣40）（400﹣5×10）＝5250元（2）设每个定价增加x元，根据题意（x+10）（400﹣10x）＝6000，整理得：x2﹣30x+200＝0解得，x1＝10，x2＝20，∵要使进货量较少，∴x＝20，∴定价为50+20＝70元，进货量为：400﹣10x＝400﹣200＝200．当定价为70元时利润达到6000元，此时的进货量为200个．【点睛】本题是一元二次方程的实际应用问题，现列出关于x的关系式，求解一元二次方程，根据条件对x值取舍，确定最终符合题意的答案.21．（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论．（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论.（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形.【详解】证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，∴∠DCE=90°，CD=CE∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE∵在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴∠B=∠CAE=45°∴∠BAE=45°+45°=90°∴AB⊥AE（2）∵BC2=AD•AB，BC=AC，∴AC2=AD•AB∴∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB∴∠CDA=∠BCA=90°∵∠DAE=90°，∠DCE=90°，∴四边形ADCE为矩形∵CD=CE，∴四边形ADCE为正方形.22．（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为元/千克,元/千克.由题得：解之得：答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：解之得：，经检验，，均符合题意答：的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.23．（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）先证得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得．（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．【详解】（1）证明：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC，在△ADB与△CDB中，，∴△ADB≌△CDB（SSS）∴∠BCD=∠BAD，∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF，∴AB∥FD，∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD，∴四边形ABDF是平行四边形，（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，∴▱ABDF是菱形，∴AB=BD=5，∵AD=6，设BE=x，则DE=5-x，∴AB2-BE2=AD2-DE2，即52-x2=62-（5-x）2解得：x=，∴，∴AC=2AE=．考点：1．平行四边形的判定；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．24．（1）证明见解析；（2）8：17．【解析】【分析】（1）根据SSS证明△AOE≌△COF，根据全等得出OE=OF，推出四边形是平行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形；（2）由（1）知S△AEF=S△ACF，再分别求得S△ABF与S△AEF的面积即可得到其比值．【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴A