专题04 几何图形的折叠与动点问题-（全国通 用）原卷版

专题04几何图形的折叠与动点问题考向1点位置的不确定【母题来源】2021年中考内蒙古通辽卷【母题题文】如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（）A． B． C．或 D．或【答案】D【试题解析】①当MB'MN时，如图：Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'AB＝1，∴AM2，∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，∴四边形ABNM是矩形，∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，设BE＝x，则B'E＝x，EN＝2x，Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，∴（2x）2+22＝x2，解得x，∴BE的长为；②当NB'MN时，如图：∵NB'MN＝1，∴MB'＝2，设BE＝y，同①可得y，∴BE的长为，综上所述，BE的长为或．故选：D．【命题意图】考查直角三角形的性质和应用，以及分类讨论思想.【命题方向】以三角形和特殊的多边形为背景，借助于勾股定理和锐角三角函数知识，利用分类讨论思想进行解答，答案一般为二或三个。【得分要点】解决几何图形折叠与动点问题的思路:(1)折叠前后的两部分图形全等,对应边、角均相等,对应点的连线被折痕垂直平分;(2)一般运用三角形全等、直角三角形、相似三角形等知识及方程思想,设一条边的长为x,再用含x的代数式来表示其他的边,最后设法用勾股定理或相似三角形性质来求线段的长.考向2边或角的不确定【母题来源】2021年中考四川阿坝州卷【母题题文】如图，腰长为22的等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与△ABC的某一条腰垂直时，BD的长为．【答案】或2【试题解析】当CE⊥AB时，如图，设垂足为M，在Rt△AMC中，∠A＝45°，由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∴∠BCM＝22.5°，∴∠BCM＝∠DCM，在△BCM和△DCM中，，∴△BCM≌△DCM（ASA），∴BM＝DM，由折叠得：∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，∴△MDE是等腰直角三角形，∴DM＝EM，设DM＝x，则BM＝x，DEx，∴ADx．∵AB＝22，∴2xx＝22，解得：x，∴BD＝2x＝2；当CE⊥AC时，如图，∴∠ACE＝90°，由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°，∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，∴∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，∴∠ADC＝∠EDC＝90°，即点D、E都在直线AB上，且△ADC、△DEC、△ACE都是等腰直角三角形，∵AB＝AC＝＝22，∴ADAC＝2，BD＝AB﹣AD＝（22）﹣（2），综上，BD的长为或2．故答案为：或2．【命题意图】考查折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，注重分类讨论思想的运用．【命题方向】以题干中的“模糊”词汇为出发点，对题目进行分类讨论作答，一般为选填的压轴位置.【得分要点】特殊图形边或角不确定时的分类讨论:(1)边不确定:①等腰三角形,按照边是底边和腰分类讨论;②直角三角形,按照边是直角边和斜边分类讨论;③全等或相似,按照对应边分类讨论.(2)角不确定:①等腰三角形,按照顶角和底角分类讨论;②直角三角形,按照哪个角是直角分类讨论.1．（2021•准格尔旗一模）如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D'处，当△APD'是直角三角形时，PD的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或2．（2021•商丘三模）如图菱形OABC，在平面直角坐标系中，点A（8，0），∠C＝60°，点P为OA上的一点，且点P（3，0），Q是BC边上的一个动点，将四边形OPQC沿直线PQ折叠，O的对应点O′，当BO′的长度最小时，则点Q的坐标为（）A．（﹣1，4） B．（﹣2，4） C．（﹣3，4） D．（0，4）3．（2021•安徽模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD折叠后，A点的对应点A'落在CD边上，EF为折痕，AA'和EF交于G点，当AG+BG取最小值时，此时EF的值为（）A． B．3 C．2 D．54．（2021•深圳模拟）如图1，有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝10，AD＝12，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图2）；然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上（如图3），给出四个结论：①AF的长为10；②△BGH的周长为18；③；④GH的长为5，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2021•滨湖区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC的面积的最小值为（）A． B． C． D．36．（2021•江油市二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AMAD，BNBC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，tan∠DEC的值是．7．（2021•平顶山模拟）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AB＝x，点E在边CD上，且CEx，将△BCE沿BE折叠，若点C的对应点C′落在矩形ABCD的边上，则x的值为．8．（2021•武进区校级模拟）如图，等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一点，且PB＝6，直线l经过点P，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点为点B'，在直线l变化的过程中，则△ACB'面积的最大值为．9．（2021•徐州模拟）如图，等边△ABC的边长为6，点D是AB上一动点，过点D作DE∥AC交BC于E，将△BDE沿着DE翻折得到△B′DE，连接AB′，则AB′的最小值为．10．（2021•卫辉市二模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是AD的中点，点F是AB上一动点将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A′处在EF上任取一点G，连接GC，GA′，CA′，则△CGA′的周长的最小值为．11．（2021•汝阳县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E是AB的中点，点F是直线BD上的一动点，将△BEF沿EF所在直线翻折，得到△B'EF，则B'C长的最小值是．12．（2021•河南模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，点E是AB边上不与端点重合的一个动点，作ED⊥BC交BC于点D，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为F，当△ACF为直角三角形时，则BE的长为．13．（2021•开福区校级一模）如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．若点P是直线l上的一个动点，则PD′+PB的最小值．14．（2021•吉安模拟）矩形纸片OABC，长AB＝8cm，宽AO＝4cm，折叠纸片，使折痕经过AB上点D，点A落在点A'处，展平后得到折痕OD，同时得到线段OA'，DA'，不再添加其它线段，当图中存在30°角时，A'的坐标为．15．（2021•蚌埠模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．（1）连接AD，若AB′⊥B′F，则∠ADE＝；（2）若△AB′F为直角三角形，则AE的长为．16．（2021•交城县二模）如图，折叠矩形纸片ABCD时，进行如下操作：①把△BCE翻折使点B落在DC边上的点F处，折痕为CE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDH翻折使点D落在线段AE上的点G处，折痕为CH，点H在AD边上．若，BC＝6，则EG的长为．17．（2021•路北区三模）在五边形纸片ABCDE中，AB＝2，∠A＝120°，将五边形纸片ABCDE沿BD折叠，点C落在点P处；在AE上取一点Q，将△ABQ，△EDQ分别沿BQ，DQ折叠，点A，E恰好落在点P处，如图1．（1）∠BPQ＝°；（2）∠BCD+∠QED＝°；（3