专题4一线三等角模型-【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案（学生版）

【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案专题4一线三等角模型解题策略解题策略在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB上，另一条边在AB同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C，D．1．当点P在线段AB上，且∠3两边在AB同侧时．（1）如图，若∠1为直角，则有△ACP∽△BPD．（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP∽△BPD．2．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB同侧时．如图，则有△ACP∽△BPD．3．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB异侧时．如图，则有△ACP∽△BPD．经典例题经典例题【例1】．（2022·全国·八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．求证：DE=BD+CE．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG=7，则【例2】．（2022·全国·八年级专题练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．(1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0<α<180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与CB的延长线交于点F，若BC=3FB，△ABC的面积是12，求△FBD与△ACE的面积之和．【例3】．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，△ABC中∠B=∠C=30°，∠DEF=30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．(1)如图1，当点Q在线段CA上时，①求证：△BPE∽△CEQ；②线段BE，BP，CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由；(2)当△APQ为等腰三角形时，求CQBP培优训练培优训练一、解答题1．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时．①请说明△ADC≌△CEB的理由；②请说明DE=AD+BE的理由；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出等量关系，并予以证明．(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．2．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．3．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD=∠B．①求证：△ABP∽②当点P为BC中点时，求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．4．（2022·山东烟台·七年级期末）问题背景：（1）如图①，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，易证：DE=______+______．（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图③，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为−2,0，点A的坐标为−6,3，请直接写出B点的坐标．5．（2021·浙江·义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线y＝34x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．6．（2022·江苏·八年级专题练习）（1）课本习题回放：“如图①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm．求BE的长”，请直接写出此题答案：（2）探索证明：如图②，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，AB=AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC．求证：ΔABE≌（3）拓展应用：如图③，在ΔABC中，AB=AC，AB>BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC．若ΔABC的面积为15，则ΔACF7．（2022·全国·八年级课时练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1S2（填“＞、＝、＜”）8．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，①求证：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）9．（2021·四川达州·九年级期中）模型探究：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：BE=CD；模型应用：（2）已知直线l1:y=2x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l（3）如图3，已知点A、B在直线y=12x+4上，且AB=42．若直线与y轴的交点为M，M为AB中点．试判断在x轴上是否存在一点C，使得10．（2022·全国·八年级课时练习）如图，线段AB=6，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边做正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使得∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合），（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）△AEF的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．11．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDE＝115°时，∠BAD＝°，点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少时，△ADE是等腰三角形．12．（2022·重庆江北·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)、B(0,b)分别在坐标轴的正半轴上．（1）如图1，若a、b满足(a−4)2+b−3=0，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限内作等腰直角（2）如图2，若a=b，点D是OA的延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰直角△BDE，连接AE，求证：∠ABD=∠AED；（3）如图3，设AB=c，∠ABO的平分线过点D2,−2，直接写出a−b+c13．（2021·湖北·咸宁市第三初级中学八年级期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，点A、B分别在x轴、y轴上．（1）如图①，若点C的横坐标为5，求点B的坐标；（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD⊥x轴于点D，求CDAM（3）如图③，若点A的坐标为−4,0，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象限中作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于点P，当点B在y轴上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变求PB的值；若变化，求PB的取值范围．14．（2022·江西·丰城九中七年级期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0（1）求A，B两点的坐标（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C点的坐标（3）已知AB＝10，试探究在x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变．（填“大”或“小”）（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．16．（2021·北京·北师大实验中学九年级开学考试）在正方形ABCD中，点E在射线CB上（不与点B，C重合），连接DB，DE，过点E作EF⊥DE，并截取EF=DE（点D，F在BC同侧），连接BF．（1）如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系，并证明；（2）如图2，点E在CB边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段BD，BE，BF之间的数量关系．17．（2022·全国·八年级课时练习）在综合实践课上，李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰△ABC纸片中，CA=CB=5，∠ACB=120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图所示放置，顶点P在线段BA上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．（1）当∠BPC=100°时，α=______°；（2）当AP等于何值时，△APD≌△BCP？请说明理由；（3）在点P的滑动过程中，存在△PCD是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角α的大小；若不存在，请说明理由．18．（2021·河南·舞阳县教研室八年级期中）如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）．（1）过点A作AD⊥x轴，求OD的长及点A的坐