专题25 函数与线段问题-（全国通 用）（原卷版）

专题25函数与线段问题考向1距离最值问题【母题来源】2021年中考四川省绵阳卷【母题题文】如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒5和25个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．【答案】（1）由题意知，交点A坐标为（a，﹣2a），代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解得：a=−抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+2，当t＝1秒时，OP=5则x2解得x=1y=−2∴P的坐标为（1，﹣2）；（2）经过t秒后，OP=5t，OQ＝25由（1）方法知，P的坐标为（t，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，如图1，然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2，将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解得：t=1将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，解得：t＝1+3或t＝1−所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时，时间t的取值范围是：12≤t≤1（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n），当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，则R'M=M又∵n＝﹣m2﹣2m+2得（m+1）2＝3﹣n，消去m得：R'M==(3−n)+(n−1当n=32时，R'M长度的最小值为此时，n＝﹣m2﹣2m+2=32，解得：m＝﹣1±∴点R的坐标是（﹣1±62，3【试题解析】（1）将A（a，﹣2a）代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解方程求出a，即可求得抛物线解析式，当t＝1秒时，OP=5（2）经过t秒后，OP=5t，OQ＝25t，得出P的坐标为（1，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），进而得出M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解方程即可，将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n），当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，利用勾股定理可得R'M=(m+1)2+(n−【命题意图】代数几何综合题；压轴题；动点型；运算能力；推理能力；应用意识．【命题方向】二次函数综合题，一般为压轴题．【得分要点】距离问题（1）点到直线的距离：如图，点P到直线l的距离，可线求出△PAB的面积，则该三角形AB边上的高线就是点P到直线l的距离．（2）点到点的距离（线段长度）：=1\*GB3①若点，，则；=2\*GB3②若点A在直线上，点B在抛物线上，设点，，则，当点A，B横坐标相同时，，当点A，B纵坐标相同时，．考向2距离相等问题【母题来源】2021年中考广西桂林卷【母题题文】如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当PBPA（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5），∴5＝﹣20a，∴a=−∴抛物线的解析式为y=−令y＝0，则−1∴C（3，0），当x＝﹣5时，y=−∴B（﹣5，2），∴m＝2．（2）设P（t，0），则有(t整理得，21t2+242t+621＝0，解得t=−277经检验t=−277∴满足条件的点P坐标为（−277，0）或（（3）存在．连接AB，设AB的中点为T．①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．∵A（﹣1，5），B（﹣5，2），TA＝TB，∴T（﹣3，72∴直线CT的解析式为y=−712由y=−712x∴M（−113，②CM′∥AB时，满足条件，∵直线AB的解析式为y=34x∴直线CM′的解析式为y=34x由y=34x−∴M′（﹣9，﹣9），综上所述，满足条件的点M的横坐标为−11【试题解析】（（1）利用待定系数法求解即可．（2）设P（t，0），则有(t（3）存在．连接AB，设AB的中点为T．分两种情形：①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．②CM′∥AB时，满足条件．根据方程组求出点M的坐标即可．【命题意图】代数几何综合题；推理能力．【命题方向】二次函数综合题，一般为压轴题．【得分要点】考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会构造一次函数，利用方程组确定交点坐标，是解答的关键．1．（2021•山东枣庄模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是顶点，过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5．（1）求抛物线的解析式及直线CE的解析式；（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（3）已知点H（0，4582．（2021•四川江油市二模）如图1，抛物线y=−（1）求点D的坐标；（2）如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ⊥BC于Q，当PQ的长度最大时，在线段BC上找一点M（不与点B、点C重合），使PM+23BM的值最小，求点M的坐标及PM3．（2021•山东淄博一模）如图，在平面直角坐标