浙江省绍兴市阳明中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题含解析

PAGE20-浙江省绍兴市阳明中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题（含解析）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将直线方程变为斜截式,依据斜率与倾斜角关系可干脆求解.【详解】直线变形为所以设倾斜角为则因为所以故选:B【点睛】本题考查了直线方程中倾斜角与斜率的关系,属于基础题.2.若，，则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式得到的值，再由同角三角函数的平方关系，结合角的范围，即可得答案.【详解】∵，又，∴.故选：B.【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的平方关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理实力和运算求解实力，求解时留意符号问题.3.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】列出自变量应满意的不等式，它的解集即为函数的定义域.【详解】自变量满意，故，故函数的定义域为.故选：A.【点睛】本题考查了函数定义域的求法，属于基础题.4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，则【答案】C【解析】【分析】由线面垂直的判定定理可推断A，由线面平行的性质定理可推断B，由面面平行的性质定理可推断C，由线面平行的性质定理可推断D.【详解】解：对于A，由线面垂直的判定定理可知当直线垂直平面内的两条相交直线时，才成立，所以A不正确；对于B，若，，则或，异面，所以B不正确；对于C，由面面平行的性质定理可知是正确的，对于D，若，，则，有可能相交、平行或异面，所以D不正确，故选：C【点睛】此题考查了线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查空间想象实力和推理实力，属于基础题.5.实数x，y满意，则整点的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】利用数形结合，画出可行域，然后依据的取值范围，进行验证，可得结果.【详解】如图依据图形可知：则满意区域的整点有：故选：C【点睛】本题考查线性规划整点问题，关键在于图形描绘以及的取值范围，属基础题.6.在中，“”是“为直角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】依据充分条件，必要条件的定义即可求出．【详解】当时，即，∴，即，所以为直角三角形；当为直角三角形时，直角不肯定是角，当直角不是角时，；所以“”是“为直角三角形”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，以及向量数量积的定义的理解，属于基础题．7.已知，且满意，则的最小值为（）A4 B.2 C.16 D.8【答案】A【解析】【分析】依据题意，由指数幂的运算性质可得，即，变形可得，进而可得，由基本不等式的性质分析可得答案．【详解】解：依据题意，已知，且满意，则有，则，变形可得：，则，当且仅当，时等号成立，故选：．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，留意分析、的关系，属于中档题．8.定点，动点Q在圆上，线段的垂直平分线交于点M（O为坐标原点），则动点M的轨迹是（）A.圆 B.直线 C.双曲线 D.椭圆【答案】D【解析】【分析】依据中垂线的定义可知，，再依据，即可依据椭圆的定义可知动点M的轨迹是椭圆．【详解】如图所示：因为，所以，因此点的轨迹是以为焦点，长轴长为，焦距为的椭圆．故选：D．【点睛】本题主要考查利用椭圆的定义求轨迹方程，属于基础题．9.已知第一象限内的点M既在双曲线上，又在抛物线上，设的左、右焦点分别为、，若的焦点为，且是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据的左、右焦点分别为、，的焦点为，得到抛物线的准线方程，为：，过M作MA垂直准线，利用抛物线的定义得到，则四边形是正方形，从而是等腰直角三角形，然后再利用双曲线的定义结合离心率公式求解.【详解】因为的左、右焦点分别为、，的焦点为，所以抛物线的准线方程为：，又因为是以为底边的等腰三角形，过M作MA垂直准线，如图所示：则，所以四边形是正方形，则是等腰直角三角形，所以，所以，又，所以，即，解得.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的几何性质以及平面几何的学问，还考查了数形结合的思想和运算求解的实力，属于中档题.10.已知函数，，若有且只有两个不等的实数根，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据选项特点运用解除法，分进行探讨，然后简洁计算以及推断可得结果.【详解】当时，，则所以无解，故，解除当时，，令则则，不符合题意，故，解除D故选：B【点睛】本题考查方程根的个数求解参数，对于选填，可以运用解除法、特别值法等小技巧，使困难问题简洁化，达到解决问题的目的，属中档题.11.双曲线的焦点坐标是________；渐近线方程是___________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依据双曲线的方程可知，，再结合双曲线的简洁几何性质即可求出．【详解】依据双曲线的方程可知，，因为，所以焦点坐标为，渐近线方程是．故答案为：；．【点睛】本题主要考查双曲线的简洁几何性质的应用，属于基础题．12.设向量，，则的坐标为________，=____________【答案】(1).(2).5【解析】【分析】依据向量坐标的加法运算可得，由向量数量积的坐标运算可得.【详解】向量，，则由向量加法的坐标运算可得，由数量积的坐标运算可得，故答案为：；5【点睛】本题考查了平面对量坐标加法运算，平面对量数量积的坐标运算，属于基础题.13.如图，在底面边长均为2，高为1的长方体中，E、F分别为、的中点，则异面直线、所成角的大小为_______；平面与平面所成锐二面角的余弦值为__________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，分别求得的坐标，利用空间向量的线线角公式求解；求得平面的一个法向量，易知平面一个法向量为：，由求解.【详解】以D为原点建立如图所示空间之间坐标系：则，所以，设异面直线、所成角的大小为，所以，因为，所以.又，设平面的一个法向量为：，则，即，令，则，平面一个法向量为：，设平面与平面所成锐二面角为，所以.故答案为：①；②【点睛】本题主要考查空间向量法求异面直线所成的角和二面角问题，还考查了运算求解的实力，属于中档题.14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积是________．【答案】(1).5(2).15+．【解析】由三视图还原可知，原图形是一个长方体左右两边各切去了一个角，所以体积为15.数列且，若为数列的前项和，则_________．【答案】【解析】【分析】依据通项公式为分段函数的特点，将前2024项的和分组，分别计算奇数项的和与偶数项的和，其中奇数项可采纳裂项相消法求和，偶数项利用周期求和即可.【详解】数列且，当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以：，，．故答案为．【点睛】本题主要考查了数列求和中的裂项相消法，分组法，主要考查学生的运算实力和转化实力，属于中档题．16.已知点是直线上一动点，，是圆的两条切线，A，B是切点，若四边形的最小面积是1，则k的值为__________.【答案】【解析】【分析】先求圆的半径，四边形的最小面积是1，转化为三角形的面积是，求出切线长，再求的距离也就是圆心到直线的距离，可解的值．【详解】解：圆的圆心，半径是，由圆的性质知：，四边形的最小面积是1，是切线长）圆心到直线的距离就是的最小值，故答案为：【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等学问，属于中档题．17.不等式对随意的是恒成立的，则实数a取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】利用肯定值不等式可化，整理即可得出结果.【详解】不等式可化为：对随意的恒成立，，，故，解得：或.故答案为：.【点睛】本题主要考查肯定值不等式.属于较易题.18.已知直线，直线.（1）若，求实数a的值；（2）若，求实数a的值.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）依据两直线垂直的等价条件列式求解即可；（2）依据两直线平行，分类探讨斜率不存在和斜率存在且相等的状况，检验即可求出．【详解】（1）∵，∴，∴，∴或．（2）当时，，，∴；当时，由解得：，此时，，，即，两直线不重合．综上得：或．【点睛】本题主要考查依据两直线垂直和平行求参数，属于基础题．19.如图，在梯形ABCD中，，，，矩形ACFE中，，.（1）求证：平面ACFE；（2）求直线BD与平面BEF所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）在梯形中，通过计算得出，由勾股定理逆定理得，从而证线面平行；（2）以C为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．【详解】证明：（1）在梯形中，，，∴四边形是等腰梯形，∴，，∴，∴又∵矩形中，，又有，，∴，又∵∴平面，（2）以C为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系：，，，，.所以，，设平面的法向量为，所以∴，令，则，，∴，，，∴直线与平面所成角的正弦值是．【点睛】本题考查证明线面垂直，考查用空间向量法求直线与平面所成的角．驾驭线面垂直的判定定理是解题基础，建立空间直角坐标系，把几何问题转化为计算问题．属于中档题.20.若是公差不为0的等差数列的前n项和，，，成等比数列.（1）求等比数列，，的公比；（2）若，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，设，是数列的前n项和，求使得对全部都成立的最小正整数m.【答案】（1）4；（2）；（3）30.【解析】【分析】（1）利用数列为等差数列，，，成等比数列．可求出首项与公差的关系，即可求得公比；（2）由，结合（1）的结论，即可求的通项公式；（3）利用裂项法求数列的前项和，确定，从而可得不等式，即可求得使得对全部都成立的最小正整数．详解】解：（1）数列为等差数列，，，，，，成等比数列，，，公差不等于0，；（2），，又，，，．（3）要使对全部恒成立，，，，的最小值为30．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的结合，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，正确求和是关键，属于中档题．21.抛物线，抛物线上一点到抛物线焦点F的距离为3.（1）求抛物线C的方程；（2）若点Q为抛物线C上的动点，求点Q到直线距离的最小值以及取得最小值时点Q的坐标；（3）若直线l过点且与抛物线C交于A，B两点，当与的面积之和取得最小值时，求直线l的方程.【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】分析】（1）利用抛物线的定义可得，即可得出结果；（2）先求出与直线且与抛物线相切的直线方程，利用平行线间的距离公式求出，即可得出结果；（3）分直线的斜率存在和不存在两种状况推断，联立直线与抛物线的方程消得到关于的式子，利用韦达定理，写出面积，比较取最小值，即可得出结论.【详解】（1）由题意可得，抛物线的准线，由于，则，即，即抛物线C的方程为：.（2）设平行于直线且与抛物线相切的直线为，则，又，则直线与直线的距离，此时点的坐标为.（3）当直线的斜率不存在时，方程为：，易得；当直线的斜率存在时，设方程为，设，由消去并整理得：，，则，当且仅当时取等号，又，所以或，所以，解得：，，所以当与的面积之和取得最小值时，直线的方程为.【点睛】本题主要考查利用定义求抛物线的方程以及利用直线与抛物线的位置关系解决最值问题.属于中档题.22.已知函数对随意、且有恒成立，函数的图象关于点成中心对称图形.（1）推断函数在R上的单调性、奇偶性，并说明理由；（2）解不等式；（3）已知函数是，，中的某一个，令，求函数在上的最小值.【答案】（1）函数在上单调递减，奇函数，（2），（3）当时，函数在上最小值为，当时，函数在上的最小值为.【解析】【分析】（1）可得随意、且时，有，即函数在上单调递减，可得函数的图像关于点成中心对称图形，即函数是奇函数；（2）由（1）得函数在上单调递减，且，所以不等式，等价于，即可求解；（3）由（1）得，函数，令，在上，函数，分探讨.【详解】解：（1）因为函数对随意、且有